Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Уравнение Лондонов является локалонвгдч уравнением, так как оно связывает плотность тока в точке г с векторным потенциалом в той же точке. Поскольку г'1г) есть произведение А (г) на постоянное число, то ток с необходимостью повторяет вариации векторного потенциала. Длина когерентностн й определяет расстояние, на протяжении которого мы должны усреднять А для получения г. В действительности в теории вводятся две длины когерентности, но мы не будем в это вдаваться. 44З Любые пространственные изменения в состоянии электронной системы требуют избыточной кинетической энергии') Разумно ограничить пространственные изменения у(г) так, чтобы избыточная энергия была меньше равновесной энергии сверхпроводящего состояния.
В предлагаемом ниже выводе выражения для длины когерентности прн абсолютном нуле (основанном на соотношении неопределенности) мы будем исходить из сравнения волновой функции ф(х)=ехр(йх) плоской волны с сильно модулированной волновой функцией; ф(х) =2 "(е'"+""+ '"") (12.24) Плотность вероятности, связанная с плоской волной, одинакова во всем пространстве: ф ф е-!е»вга» (12.25) тогда как для ф"ф имеем: (е-с~а+а!» ! е-ы») (ег !аее!» (,м») ! 2 ! = — (2+ е'"+ е-"") = 1+ соз дх, (12.26) причем модуляция определяется волновым вектором д, Кинетическая энергия волны ф(х) есть !!' е = — /гт. (12.
27) Кинетическая энергия модулированной плотности вероятности имеет ббльшую величину; действительно, ж — й + — йд, а» е ь' 2т 2»л (12.28) где мы пренебрегли дв, предполагая, что д « й. Наличие модуляции приводит к увеличению энергии на Лтйу12гп. Если это увеличение превышает по величине ширину энергетической щели Еа, то сверхпроводимость разрушается. Критическая величина де модулирующего волнового вектора определяется соотношением: я2 2н йРЧО=Е . (12.29) Определим собственную длину когерентности 3о через критическое значение де, а именно $о = 2и/г!о. Из (12.29) имеем: 2яа»ер яае а(' (12.30) 444 ~) Модуляция собственной функции увеличивает кинетическую внергию, так как модуляция увеличивает интеграл от В»ф!Нхв, Лоидоиовска» таубе»а сроиикковевив хы ш-' «и Соаствеииаи виоиардовска» длина когеревтиоств т., Ю аси Мета»а 23 160 8,3 76 3,8 3,4 1,6 3,7 11,0 3,9 6,2 100 2,2 6,9 0,98 8п А1 РЬ Сд ЫЬ где рр — скорость электронов на поверхности Ферми.
Теорп>т БКШ (см. книгу Киттеля [32)) дает похожий результат: (12.31) В табл. 12.5 приведены вычисленные по формуле (12.31) значения 9о (К. Мезегуеу, В. В. Вс!тшаг12), Собственная длина когерентности йе характеризует чистый сверхпроводник. В материалах с примесями и сплавах длина когерентности меньше $о.
Это можно понять качественно: в материалах с примесями собственные функции электронов испытывают возмущения. Для возмущенных волновых функций можно построить заданную локализованную вариацию плотности тока с меньшей энергией, чем для гладких волновых функций Длина когерентности впервые появилась в решениях двух феноменологических уравнений, известных как уравнения Гинзбурга — Ландау; эти уравнения также следуют из теории БКШ.
Рис. 12.22, Схематическая зависимость глубины проникновения Х и длины когерентиости $ от длины свободного пробега 1 электронов проводимости в нормальном состоянии в свининах Ь Кривые приведены для са = 10»с. При малых значениях длины свободного пробега длина когерентиосги .становится меньше, а глубина проникновения больше. Увеличение отношения Х/в характерно для сверхпроводников И рода.
1 2 1/~ — ю- 446 та алина гка Рассчитанные значения собственной длины когерентности а и лондоновской глубинм проникновения Хх прн абсолютном нуле Они описывают переходный слой между нормальной и свсрхпроводягцсй фазами при их контакте. Было показано теоретически, что длина когерентности и истинная глубина проникновения зависят от длины свободно~о пробега электронов, измеренной в нормальном состоянии.
Эта зависимость приведена на рис. 12.22. Теория сверхпроводимости Бардина — Купера — Шриффера. Выше в простой форме было изложено то основное, что мы знаем о сверхпроводниках: интересные экспериментальные данные и феноменологические соотношения. Уже из этого описания можно усмотреть. что нет никакой нужды в каких-то отдельных теориях сверхпроводящих свойств для разных столбцов и с~рок периодической системы элементов, равно как для чистых металлов, с одной стороны, для сплавов — с другой, или, наконец, для сверхпроводннков с различными кристаллическими структурами. Конечно, разные сверхпроводники обнаруживают количественное различие в деталях своих сверхпроводящих свойств, но очевидно также, что эти детали малосущественны прн подходе с точки зрения уже существующей общей кианговой теории сверлпроводимости, которую мы будем сейчас обсуждать.
Эта общая теория, как уже отмечалось вьцпе, была создана в !957 г. Бардином, Купером и Шриффером [4]. Результаты теории БКШ заключаются в слсдуюгцем. 1) Притяжение ') электронов может привести к тому, что основное состояние всей электронной системы отделяется от возбужденных состояний энергетической щелью. Критическое поле, тепловые свойства') и большинство электромагнитных свойств зависят от наличия энергетической щели. Расчеты, которые приводят к понятию энергетической щели и к частному случаю основного состояния, даваемому теорией БКШ, приведены в Приложении Б.
В специальных условиях сверхпроводимость может иметь место и без энергетической щелк. 2. Взаимодействие электрон — регнетка — электрон представляет собой притяжение и ведет к появлению энергетической щели такой ширины, что ее можно обнаружить экспериментально. Такое непрямое взаимодействие грубо можно описать следующим образом: электрон взаимодействует с решеткой и деформирует ее, для второго электрона решетка уже деформирована, и он движется так, чтобы использовать эту деформацию для понижения своей энергии Таким образом, второй электрон взаимодействует с первым через посредство решеточной деформации нли через фононное поле.
Это взаимодействие дннамиче- ') Строго говоря, полное взаимодействие пе сводится только к притяжеиикь Однако в сверхпроводянгем состояиив отталкпваиие электронов меиыпе, чем е нормальном. е) Наблюдаемые отиогоевия Еа)О)!квго приведенные в табл. !23, близки к предсказанным теорией БК!Н. Характер фазового перехода из нормального состояиия в сверхпроводящее описывается точно.
ское, и массы атомов входят в теорию взаимодействия естественным путем, обусловливая изотопический эффект. 3. Глубина проникновения и длина когерентностн появляются как естественные следствия теории основного состояния теории БКШ. Уравнение Лондонов (12.13) получено для магнитных полей, медленно меняющихся в пространстве. Таким образом, основной эффект сверхпроводимости — эффект Мейсиера — получается естественным путем' ). 4. Обнаружено, что критерий для наличия сверхпроводимости и для существования конечной температуры перехода элемента нли сплава вклгочает в себя плотность электронных состояний на уровне Ферми Ы(вг) и потенциал электрон-решеточного взаимодействия (/, который может быть оценен из электрического сопротивления.
Для (/Ы(пг) ((! теория БКШ дает: (12.32) где 0 — температура Дебая. В этом соотношении предполагается, что (/ соответствует притяжению (здесь (/ . О); в противном случае основное состояние не является свсрхпроводяц,им. 3 периментальные данные удовлетворяют результату для Т, пз крайней мере качественно. Здесь заложен интересный парадокс: чем выше сопротивление прн комнатной температуре, тем более героятио, что металл будет сверхпроводнпком, когда его охладят з). Однако это имеет место, только если мы рассматргшаем металлы со сравнимыми концентрациями электронов проводимости. Другое простое зак.чючение состоит в том, что элементы с четным числом валентных электронов на один атом имеют меньшую вероятность оказаться сверхпроводцикамн, чем элементы с нечетным числом валентных электронов; это по сути другая формулировка утверждения о том, что для заполнения зоны Бриллюэна четное число валентных электронов предпочтительнее, так что значение функции плотности состояний при в = еж т.
е. Ю(вя), будет малым. 5. Магнитный поток в сверхпроводящем кольце квантуется и эффективитйй заряд носителя тока равен 2е (а не е). Основное состояние составлено из пар одноэлектронных состояний, а естественная трактовка факта квантования мащгитного потока '), ') Значение глубины проникновения не превышает даваемого формулой (!2.23); качественное рассмотрение приводит к тому же результату.
з) Причина проста: электросопротивление при комнатной температуре является мерой электрон-фокоиного взаимодействия. Б формуле для Т, по теории БКШ мы должны в качестве Я(ет) брать значение функпяи плотности состояний для электронов с одинаковым направлением спина. ') Первые энсперименты, в которых было обнаружено квантование магнитного потока, описаны в работах (ЗЗ, 34). Простое изложение теории квантования потони дано в Приложении 3; см.
также Приложение К. 447 лстс мэ лзлел Рис. 12.23. Основное состояние нсвзаимодействующего ферми-газа; все одночастичные состояния с Й ( /ге заняты; прп й ) йг все состояния свободны. Возбужденное состояние с произвольно малой энергией можно образовать путем перемещения электрона нз точки О внутри сферы Ферми около поверхности в точку )с сразу над поверхностью Ферми. исходя из того, что заряды носителей тока равны 2е, является прямым следствием теории.
Основное состояние в теории БКШ. В гл. 7 мы видели, что основное состояние ферми-газа невзаимодействующих электронов отвечает заполненной сфере Ферми (рис. !2.23). Это состояние, которые мы называем ферми-состоянием, допускает произвольные малые возбуждения; мы можем образовать возбужденное состояние, беря электрон с поверхности Ферми и перенося его на какой-либо уровень, расположенный непосредственно над поверхностью Ферми. Теория БКШ показывает, что при соответствующем притягивающем взаимодействии между электронами основное состояние отделяется от наинизшего возбужденного состояния конечным энергетическим интервалом (щелью) Ею Возможная графическая интерпретация образования основного состояния БКШ представлена на рис. !2.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
