Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 141
Текст из файла (страница 141)
Эту идею можно обобщить на случай идеала, порожденного любым конечным множеством положительных целых чисел. И опять этот идеал будет порожден наибольшим общим делителем всех этих чисел. П Доказательство следующей теоремы предоставляется читателю. ТЕОРЕМА 20.24. Идеал 1 кольца Л с единицей совпадает с Л тогда и только тогда, когда 1, мультипликативная единица кольца Л, принадлежит идеалу 1. ТЕОРЕМА 20.25.
Поле не содержит собственных идеалов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.26. Идеал 1 коммутативного кольца Л называется про- стым идеалом, если аЬ 6 1 имеет следствием, что а 6 1 или Ь 6 1. ТЕОРЕМА 20.27. В кольце целых чисел идеал (а) является простым идеалом тогда и только тогда, когда а — простое число. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что число а не является простым, например, а = гз, где г и з — целые числа, каждое из которых больше 1. Тогда число а принадлежит идеалу (а), однако, числа т и з этому идеалу не принадлежат.
Если число а — простое и гз 6 (а), то а делит гз; следовательно, по теореме 3.43, а делит г или а делит з. Поэтому либо т принадлежит идеалу (а), либо з принадлежит (а). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.28. Область целостности Р является областью главных идеалов, если каждый идеал в области В является главным идеалом. Было уже показано, что Я, область целостности целых чисел, является областью главных идеалов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.29. Если А — коммутативное кольцо с единицей, то пусть А" обозначает множество (а 6 А; существует Ь 6 А такое, что аЬ = Ц.
Подмножество А является группой относительно умножения, которая называется группой делителей единицы кольца А. Каждый элемент множества А" называется делителем единицы кольца А. В кольце с единицей элемент з называется неприводимым, если он ненулевой, не равен единице и не может быть выражен как произведение двух элементов, не являющихся делителями единицы, 796 ГЛАВА 20. Кольца, области целостности и поля В области целостности х, имеем аЬ = 1 только тогда, когда а = Ь = 1 или а = Ь = — 1, поэтому 1 и — 1 — делители единицы области целостности х,.
В поле каждый ненулевой элемент является делителем единицы, поскольку а а ' = 1 для а~О. ПРИМЕР 20.30. Множество хв = 1[0], [Ц, [2), [3), [4], [5]) — коммутативное кольцо с единицей (Ц и нулем [0]. Таблица умножения в х,е имеет вид О [0] (Ц [2) [3) [4] [5] [О] [О] (О) [О] [О) [О) [О) [Ц [21 [3) [4] [5) [0] [2) [4] [0) [2) [4] [О) [3] [О) [3] (О) Р] [О) [4] [2] [О] [4] [2) [0] [5) [4) [3] [2] [Ц [о) (Ц [2] [3) (4] [5) Таблица показывает, что [3) О (2] = (0], но [3) ( [О) и [2] [ [0], так что [3] и [2] — ненулевые делители элемента [О]. Таким образом, хс не является областью целостности. 0 ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что если à — поле, то уравнение ах = 6 имеет в поле единственное решение.
2. Элемент а кольца ?? называется делителем нуля, если в кольце ?? существует такой элемент Ь, что аЬ = О. Докажите или опровергните, что сумма двух элементов, каждый из которых не является делителем нуля, не будет делителем нуля. 3. Докажите или опровергните, что в кольце 1? произведение двух элементов, каждый из которых не является делителем нуля, не будет делителем нуля. 4. Что представляют собой делители нуля в Л1о? 5. Что представляют собой делители нуля в хт? 6.
Докажите теорему 20.25. Поле не содержит собственных идеалов. 7. Докажите теорему 20.3. Пусть 1? — коммутативное кольцо с единицей. Кольцо ?? является областью целостности тогда и только тогда, когда из того, что аЬ = ас, следует, что Ь = с для всех 6, с и ненулевых а из Л. Как показывает предыдущий пример, в х,е свойство сокращения не удовлетворяется, поскольку (3) О [Ц = [3) = [15] = [3) О [5) и, хотя [3] ~ (0], имеем [Ц ф [5). Делители единицы х,а соответствуют целым числам, взаимно простым с 6; поэтому, как следует из приведенной выше таблицы умножения, делителями единицы кольца х",е являются [Ц и [5].
В кольце хз = 1[0), [Ц, [2], [3], [4)1 с единицей [Ц и нулем [0) каждый ненулувой элемент х,з представляет собой делитель единицы, поскольку является взаимно простым с простым числом 5. Следовательно, каждый элемент имеет обратный элемент, поэтому х,з — поле. Таблица результатов операций для Яз дана в примере 3.61. РАЗДЕЛ 20.2.
Области целостности 797 (а Ь1 8. Пусть М вЂ” кольцо (2х)2-матриц вида ~ ~. Докажите, что множество ~с 0~' ~ а Ь всех матриц вида ~ О О является идеалом кольца М. 9. Докажите, что сумма идеалов Х и 7 коммутативного кольца Л, определенного соотношением 1+.7 = (1+т' !1 Е 1 и З 6 .У), является идеалом кольца Л, 10. Пусть А = (14) и В = (16) . Найдите А О В и А+ В. 11. Опишите наименьший идеал целых чисел, содержащих числа 6, 9 и 12.
12. Докажите, что если 1 — идеал кольца Л и — 1 Е 1, то 1 = Л. 13. Пусть г': Л вЂ” Л' — гомоморфизм колец. Докажите, что Г(Л) — кольцо. 14. Пусть Г: Л вЂ” Л' — гомоморфизм колец. Докажите, что если Л вЂ” поле, то 7(Л) — поле. 15. Пусть 7: Л вЂ” Л' — гомоморфизм колец. Если Л вЂ” область целостности, то является ли областью целостности Г(Л)? 16.
Пусть г": Л вЂ” Л' — гомоморфизм колец. Докажите, что (х е Л ~ 7(х) = О) — идеал кольца Л. 17. Докажите или опровергните, что делители нуля коммутативного кольца Л образуют идеал кольца Л. 18. Образует ли множество полиномов с целыми коэффициентами область целостности? 19. Элемент а кольца Л называется идемпотентом, если аз = а. Докажите, что если Л вЂ” область целостности, то идемпотентами будут только элементы О и 1. 20. Докажите теорему 20.24. Идеал 1 кольца Л совпадает с Л тогда и только тогда, когда 1, мультипликативная единица кольца Л, принадлежит 1. 21. Докажите, что для любых элементов а, Ь кольца Л имеют место равенства а( — Ь) = — (аЬ) = ( — а)Ь и ( — а)( — Ь) = аЬ.
20.2. ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.31. Говорят, что область целостности Р является гвуссовым кольцом, если выполнены следующие условия: а) если элемент области Р не нуль и не делитель единицы, то его можно представить в виде произведения конечного числа неприводимых элементов; б) если элемент области Р имеет разложения рг .р„и д1...д. в виде произведения неприводимых элементов, то т = з и д, можно перенумеровать, так что р, и д, для всех 1 будут отличаться делителем единицы, т.е. р, = а,д; для некоторого делителя единицы а;. 798 ГПАВА 20 Кольца, области целостности и поля Известно, что множество целых чисел является гауссовым кольцом. Простое число было определено как число, у которого нет нетривиальных множителей. Иными словами, простое число неприводимо. Альтернативное определение простого числа сводится к тому, что р — простое число тогда и только тогда, когда из того, что р ) аЬ, следует, что р ~ а или р ~ Ь.
Для целых чисел эти определения эквивалентны, но в случае произвольных областей целостности это неверно. Например, пусть А — множество всех комплексных чисел вида а + Ь~/51 . Легко показать, что А — область целостности и что 21 = 3. 7 = (1+ 2~/5т)(1 — 2Л~) . Все эти множители неприводимые, и, следовательно, А не является гауссовым кольцом. Однако, ни один из этих множителей не является простым согласно альтернативному определению простого числа. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.32.
Коммутативное кольцо А с единицей назывется упорядоченным кольцом тогда и только тогда, когда сушествует непустое подмножество А+ кольца А, называемое подмножеством положительных элементов кольца А таких, что а) если а, Ь Е А+, то а + Ь Е А+; б) если а, Ь Е А+, то а Ь Е А+; в) для заданного элемента а е А выполняется одно и только одно из перечисленных ниже альтернативных условий; (!) аЕА+; (й) а=О; (ш) — а е Аь. Говорят, что коммутативное кольцо с единицей, которое содержит такое множество А+, удовлетворяет аксиоме трихотомии. Если а е Аь, то будем говорить, что а > О. Если — а Е А+, то будем говорить, что а < О.
Доказательство приведенной ниже теоремы предоставляется читателю. ТЕОРЕМА 20.33. Каждое упорядоченное кольцо является областью целостности. Для любого заданного а ~ О имеем аз > О. В частности, 1з > О и, следовательно, 1 > О. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.34. Упорядоченная область целостности А называется вполне упорядоченной тогда и только тогда, когда любое непустое подмножество Я множества А+ имеет первый элемент, т.е.
сушествует такой элемент зЕЯ, что еслибы< з, то1фЯ. РА311ЕЛ 20.2. Области целостности 799 Было уже показано, что целые числа образуют вполне упорядоченную область целостности. ТЕОРЕМА 20.35. Если А — вполне упорядоченная область целостности, то не существует такой элемент с области А, что О < с < 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Я вЂ” подмножество всех таких элементов с из множества А, что О < с < 1. Если Я не пусто, то существует наименьший элемент з из Я. Но зз принадлежит А; и учитывая, что з > О, получаем аз > О. Поскольку из условий з < 1, О < з следует, что аз < з, то имеем О < аз < з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
