Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 143
Текст из файла (страница 143)
В этом случае говорят, что 1 и 6 являются делителяли полинома д. Например, если г' = (0,1,1,0,1,0,0,...), то с)е8(~) = 4. Если д=(1,0,0,0,...), то с1ек(д) = 0 и д — константа. Тождественно нулевой полинам (0,0,0,...) не имеет степени. Предоставляем читателю доказать, что равенство есть отноше- ние эквивалентности на множестве А[х]. ТЕОРЕМА 20.46. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, пусть А[х]— кольцо полиномов над кольцом А и пусть )' и д принадлежат А[х]. а) Если )',д ф О, то с)е8(~+д) < шах(с1е8()'),с)е8(д)). б) Либо 1д = О, либо с)еб(Уд) < с)е8(~) + с)е8(д).
в) Если А — область целостности, то либо (д = О, либо с1е8(1'д) = с1ея(Х) + с)е8(д). г) Если А — область целостности, то А[х] — также область целостности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. а) ПУсть 1 = (ао, а„аз,...) и д = (Ьо, Ьс, Ьз,...), где и = с)е8()') и т = с)е8(д). Поскольку а, = 0 для | > и и Ь = 0 для | > т, то если Ь > шах(т, и), то аь + Ьь = 0 и с)е8(~ + д) < шах(с)е8(У'), с(ек(д)). б) Пусть и = с)е8(~), т = с)ек(д) и )д = (со,с|,сз,...), так что сь = 2 а|Ь..
с ьувь Произведение а|Ь = О, когда с > и, поскольку ас = О. Если | < и и | + |' > т+ и, то | > т + (и — с), поэтому Ьу = 0 и, в любом случае, сь = О. Следовательно, с)е8(~д) < с)е8(~) + с)е8(д). в) Согласно пункту (б) с)е8()д) < с1ей()') + с)ея(д).
Однако, поскольку а„и Ь не равны О, то с„.ь = а„Ь не равно О. Следовательно, с)е8(Уд) > с)е8(Х) + с)е8(д), и требуемое равенство доказано. г) Пусть |" и д — ненулевые элементы множества А[х] степени и и т, соответственно. Поскольку А — область целостности, то с(е8(~д) = с(ей(~) + с)ея(д) и 1д не равно О. 804 ГЛАВА 20. Кольца, области целостности и поля ТЕОРЕМА 20.41. Существует мономорфизм из А в А[х], кольцо полиномов над кольцом А, для которого образ кольца А является подкольцом кольца А[х]. Если А — область целостности, то каждый делитель единицы в А[х] соответствует делителю единицы в А согласно мономорфизму. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Определим функцию ф: А — А[х] следующим образом: если а Е А, то пусть ф(а) = (а,0,0,0,...). Если а и Ь принадлежат А, то ф(а+Ь) = (а+ Ь,О,О,О,О,...) = = (а,0,0,0,0,...) + (Ь,О,О,О,О,...) = = ф(а) + ф(Ь), ф(а Ь) = (а Ь,О,О,О,...) = = (а,0,0,0,...) (Ь,О,О,О,...) = = ф(а) . ф(Ь) . Кроме того, ф(1) = (1,0,0,0,...) = 1.
Следовательно, ф — гомоморфизм из А в А[х]. Если (с,0,0,0,...) = ф(с) = 0 = (0,0,0,0....), то с = О. Если ф(а) = ф(Ь), то ф(а) — ф(Ь) = 0; т.е, ф(а — Ь) = 0 и а — Ь = О. Поэтому а = Ь, и функция ф— инъекция. Напомним, что делитель единицы кольца — это элемент, который имеет обратный элемент; т.е. если Ь вЂ” делитель единицы, то существует такой элемент Ь, Ь Ь Предположим, что А — область целостности и Х вЂ” делитель единицы в А[х]. Пусть д — соответствующий обратный элемент, поэтому Уд = 1 = (1,0,0,0,...).
Но 0 = г)ед(~д) = г)еб(Х) + бея(д), откуда следует, что с)еб(~) и с)ея(д) — обе равны О. Таким образом, 1 = (а,0,0,0,...) и д = (Ь,О,О,О,...) для некоторых а, Ь е А. Поскольку ф(а Ь) = Уд = (1,0,0,0,...) = ф(1) и, учитывая, что ф — инъекция, получаем, что аЬ = 1, поэтому а и Ь вЂ” делители единицы области целостности А. Поскольку мономорфный образ ф(А) в кольце А[х] является кольцом, изоморфным кольцу А, то А можно отождествить с ф(А) как подкольцом кольца А[х] и считать А подкольцом кольца А[х].
РАздел 20.3. полиномы 805 Например, если У = (ао, ам аз,...), где а; = йю, то 5 Если д = 2; (Б; )', то з=1 д = (0,1,1,1,1,1,0,0,...). ТЕОРЕМА 20.49. Если х = (0,1, 0,0,0,...) = (с,)', где с, = а,ы то для каждого й ) 0 имеем х" = (ао, ам аз,...), где а; = й,ь. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При й = 1 теорема, очевидно, справедлива. Предположим, что теорема справедлива для к = и. Поскольку х"+' = х х", то простое умножение показывает, что г-ый член в последовательности х"~' равен й; „ч.ы Если а Е А и У = (ао,аыаз,..,), то а~ = (аао,ааыааз,...). В частности, если а а А, то ахь = (0,0,0,...,а,0,0,0,...), где а находится на (0+1)-ом месте.
Пусть У с А[х] имеет степень п. Тогда ~ = (ао, ам аз,..., а„, 0,0,... ) = = (ао,00,...) + (ОаыО,...) +. + (00,...,0а„,00,...) = = ао(1, О, 0,...) + аг(0, 1, О, 0,...) + . + а„(0, О,..., О, 1, О, 0,...) = = ао + агх+ азха + + а„х" . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.60. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и пусть А[х] — множество полиномов над кольцом А. Символ х назовем переменной над кольцом А. С каждым полиномом ~ = ао+ агх+ азх + ..
+ а х" е А[х] связана функция из А в А вида ,у(х) = ао+ агх+ аах + + а„х" или 1(х) = а„х" + + азх + агх+ ао, которая называется полиномиальной функцией. Пусть А(х) = Щх): Г' Е Я). Степень функции 1(х) совпадает со степенью соответствующего полинома 1 Е А[х]. Элементы 1" множества А[х] будем называть полиномиальныии формами, чтобы иметь возможность отличать их от полиномиальных функций. Определим функцию д: А[х] — А(х) соотношением д(1) = У(х). Легко показать, что отображение д, которое устанавливает соответствие между элементами множества А[х] и соответствующими полиномиальными функциями из А(х), представляет собой гомоморфизм. Поскольку отображение д — сюръекция, оно является также эпиморфизмом.
Таким образом, все свойства множестаа А[х], 808 гЛдьгл 20. кольца, осласти целостности и гюля сохраненные гомоморфизмом, перенесены на коммутативное кольцо полиномиальных функций А(х). Вскоре будет показано, что если А — бесконечная область целостности, то д: А(х] — А(х) — изоморфизм. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.51. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей. Если ,Г" (х) = а„х" + ..
+ азх + а,х+ ао д(х) = 6„х" + . -. + Ьзх~ + 61х + Ь, где некоторые из а, и Ь, из А могут быть О, включая а„или 6„, то ((х) + д(х) = (а„+ Ь„)х" + + (а1 + Ьг)х + (ао + Ьо) ~(х)д(х) = с х™ + + сзх + сгх + со, где сь = ~ , „ а,Ь . Будем говорить, что У(х) = д(х) тогда и только тогда, когда г"(Ь) = д(6) для всех 6 е А. Решением уравнения г'(х) = О называется элемент а й А такой, что г"(а) = О. На основании вышесказанного мы можем сформулировать следуюшую теорему относительно полиномиальных функций над областью целостности А.
ТЕОРЕМА 20.52. Если г'(х) и д(х) — полиномиальные функции над областью целостности А, степень г"(х) равна и, а степень д(х) равна гп, то а) степень Г(х) + д(х) меньше или равна, чем шах(ги,п); б) степень у(х)д(х) равна ги + п Согласно определению две полиномиальные формы г и д равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты. Две полиномиальные функции Д(х) и д(х) по определению равны тогда и только тогда, когда ('(6) = д(6) для всех 6 е А. В следующем разделе для полинома (' степени п будет показано, что уравнение ~(х) = О имеет не более п решений. Сейчас без доказательства сформулируем теорему, утверждение которой используем для доказательства более слабого результата. ТЕОРЕМА 20.53. Если г" — полинам степени п над бесконечной областью целостности и г'(х) — соответствующая полиномиальная функция, то уравнение Дх) = О имеет не более п решений.
СЛЕДСТВИЕ 20.54. ПУсть Г'(х) = а„х" + .. +азха+а|х+ао — полиномиальнаЯ функция над бесконечной областью целостности А. Если г'(а) = О для всех а а А, тоао=аг=аз= =а„=О. ТЕОРЕМА 20.55. Пусть (' и д — полиномы над бесконечной областью целостности А. Тогда г' = д тогда и только тогда, когда соответствуюшие полиномиальные функции У(х) и д(х) обладают таким свойством, что г"(6) = д(6) для всех Ь е А. РАЗДЕЛ 20.3.
Полиномы 807 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если 1 и д — полиномы над областью целостности А такие, что 1 = д, то очевидно, 1(Ь) = д(Ь) для всех Ь е А. Пусть )'(х) = а„х" + + азх + а1х + ао д(х) =Ь„х" + +Ьзх +Ь1х+Ь вЂ” полиномиальные функции степени п и т, соответственно, и 1(с) = д(с) для каждого с Е А. Пусть | и д — соответствующие полиномы.
Тогда полиномиальная функция Ь(х) = с,х' + + сзхз + с|х + с, где з = шах(п,т) и с, = а,— Ь„обладает свойством: Ь(с) = 1(с) — д(с) = 0 для всех с е А. Но, согласно предыдушему следствию, если Ь(с) = 0 для всех с из А, то Ь(х) должен быть нулевым полиномом. Поэтому с; = а, — Ь, = 0 или а, = Ь, для 1 > 1 и 1' = д, ° Из предыдушей теоремы непосредственно следует теорема, упоминавшаяся нами ранее. ТЕОРЕМА 20.56.
Пусть А — бесконечная область целостности, определим д: А[х] — А(х) соотношением д(1") = 1(х). Тогда функция д является изоморфизмом. Следуюший пример демонстрирует, что для справделивости приведенных выше следствия и теоремы существенно, чтобы область целостности А была бесконечной. ПРИМЕР 20.57.
Множество 2з = ([0], [1], [2], [3], [4]1 классов вычетов по модулю 5 является полем, поэтому по теореме 20.8 представляет собой область целостности. По теореме Ферма, если для простого числа р имеем а ф 0 (пюд р), то ао ' = 1 (шоб р). Тогда аг = а (пюд р) для любого целого числа а, даже если а = 0 (шоб р). Для р = 5 имеем аз = а (шод 5) для всех а Е 2. Это сравнение равносильно [а]з = [а] или [а]з — [а] = [0] для любого целого числа а. Таким образом, если д(х) = хз — х, то д(х) = [0] выполняется для любого х из 2з. Однако, если Ь вЂ” полинам, равный нулю, то Ь(х) = [О] для всех х из 2з.
Полиномы д и Ь не равны, но д(Ь) = Ь(Ь) для всех Ь из области целостности 2. Таким образом, над конечной областью целостности равенство полиномиальных форм не эквивалентно равенству полиномиальных функций. С другой стороны, поскольку множество целых чисел бесконечно, то понятия равенства для полиномиальных форм и полиномиальных функций над 2 совпадают. П ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите теорему 20.44. 2. Покажите, что равенство на множестве Я в определении 20.45 есть отношение эквивалентности.
3. Докажите или опровергните: пусть 1 и д — полиномы над коммутативным кольцом А. Если 1', д ф О, то с1ей(~ + д) = шах (де8(~), бея(д)) . 808 Глдйд 2О. Кольца, области целостности и поля 4. Найдите такие два полинома из множества полиномов над областью целостности Ящ (т.е. коэффициенты полиномов пРинадлежат Яга), что бей(1д) ( Йе8(у) + ое8(д). 5. Докажите или опровергните: для множества полиномиальных функций над областью целостности Яв, если У'(х) = д(х) для всех х, то соответствующие полиномы равны. 20.4. АЛГЕБРЫ И ПОЛИНОвяЫ В этом разделе рассматриваются особые подкольца и подполя комплексных чисел. Они состоят из комплексных целых чисел, алгебраических целых чисел и алгебраических чисел. В данном разделе будут изучены также другие свойства полиномов, и для заданного поля с будут найдены такие расширения поля, что полиномы, которые не могут быть разложены на множители в поле л, могут быть разложены на множители в расширении этого поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
