Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 147
Текст из файла (страница 147)
Если нет, то выберем элемент дг из С вЂ” Сы и пусть Сг — группа, порожденная элементом дг. Тогда дг = 1 для некоторого и, поскольку группа С конечная. Следовательно, некоторая степень элемента дг принадлежит Сы Пусть й(2) — наименьшая степень элемента дг такая, что дг ь(г1 пРинадлежит Сь Если С~ 'с1 Сг = Сг, то пеРеобозначим Сг = Сг и начнем снова. Если Сг 1.1 Сг ф Сг, то в этом случае легко показать, что каждый элемент из 822 Глдпйд 21. характеры групп а попугрупп Сз ).) Сз может быть единственным образом записан в виде д~д', где О < ) < к(1), О < г < к(2).
Если выбрать элемент дз из С вЂ” (С) й) Сз) и продолжить процесс, то получим С)СзСз . С,С,+) . А поскольку группа С конечная, то существует число т такое, что С = С = С) ЮСз ЮСз Ю ~Э С, и каждый элемент группы С может быть единственным образом записан в виде д~~~ )дз~ д~~ ) ..
д~, где О < )(г) < Е(4). ТЕОРЕМА 21.10. Группа характеров группы С изоморфна группе С. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть С = Сг й) Сз Е. Ю С, где элемент д, порождает группу С„и пусть а; — первообразный корень и;-ой степени из единицы, где С; имеет поРЯдок и,. ДлЯ каждого элемента д Е С опРеделим Хг соотношением Х гб) = аЛ)) лы)ада) л~з) . аЛ") л<,) 2 ат где элементы д и 6 группы С имеют представления через прямые суммы ЛО Га) нз) < ) д = д) дз дз л(1) л(2) л(з) лОе) =й дз дз д, где О < )(г) < и, и О < и(г) < и;. Можно показать, что для любого д е С отображение Хг является гомоморфизмом из С в корень и-ой степени из единицы. Далее, если д -,Л д', то Хг ~ Хг, поэтому существуют Ц;", и, = и характеров группы, когда группа С содержит и элементов. Определим отображение г) из С в группу характеров группы С следующим образом: П(д) =П(М'"4'"дзд" д'3 )) =(Х„)'"(Х„)""" (Хе )" ' Легко показать, что отображение г) является изоморфизмом.
Кроме того, если А — матрица, где А„= Хг,(ду), то а) 1 1 1 1 аг 1 ''' 1 1 1 аз ''' 1 1 1 1 ал [Ц [2! [3] [4] О [ц [2] (3] [4] (Ц [2] (3] [4! [2] (4] [Ц [3! (3] [Ц [4] (2] [4! [3] (2] [Ц ПРИМЕР 21.11. Рассмотрим множество Сз = ([Ц, [2], [3], [4]), которое состоит из ненулевых элементов множества Яз. Поскольку число 5 простое, то классы приведенных вычетов как раз являются ненулевыми классами в Уз, а ненулевые классы, соответствующие приведенным вычетам, образуют группу относительно умножения.
Таким образом, Сз — группа относительно умножения. Таблица умножения для Сз имеет вид РАздел 2п2. хгргкгперы групп 823 Чтобы сделать более понятным приведенное ниже построение характеров групп, будем использовать обозначения, введенные при доказательстве теоремы 21.10. Комплексное число зкм/а / 2яс 1,, 2я1 е " ' " = сов [ — ) + г з)ив [,и) п находится на единичной окружности, потому что ) зкм/и ! Для любого целого числа Г число еа "/" является корнем п-ой степени из единицы, поскольку ("" ) =""= кп е~""/") = ескм = соз(2лг) +1гш(2лг) = 1. Фактически, множество Г = 0,1,2, (и — 1)~ ( является совокупностью и различных комплексных корней п-ой степени из единицы. Для п = 4, порядка группы Сз, приведенная выше формула дает четыре корня четвертой степени из единицы.
12кн)/4 0 1 1 г 2 — 1 3 — $ Подсчитывая 14 = 14 = ( — 1)4 = ( — 1)4 = 1, проверяем, что 1,1, — 1 и — г являются корнями четвертой степени из единицы. Если положить дз = [3], то д,' = [3]' = [4], дз — [3] 3 — [2] А = Р]' = [1] = д'.
Следовательно, й(1) = 4 и Сз — — С, так что гп = 1 в обозначениях доказательства теоремы 21.!О. Для дг — — [3] выберем корень четвертой степени г~ — — г'. Поскольку гз = — 1, гз = — 1 и г4, = 1, то корень гг — — г является первообразным. С помощью этого первообразного корня можно определить характер для каждого элемента д группы Сз. Следующая таблица дает определение всех характеров группы Сз. 824 ГЛАВА 21. Характеры групп а попугрупп у(ц Хг[Ь) = Хе[В("")) Следовательно, четыре элемента группы характеров для Сз дает следующая таблица, в которой Ь = д1 л(ц 6 = [1] [2) [3) [4] 6[1) = О 3 1 2 [1! [2! [з] [4] 1 1 1 1 1 — 1 1 — 1 1 1 — 1 — 1 1 — 1 — 1 1 Очевидно, Х!» = 1 — это главный характер.
Для иллюстрации гомоморфной природы характеров групп рассмотрим Хр)1 Х[г) [[3][4]) = Хр) [[2]) = 1; х[з)[[з]) = — 1; Хр)[[4]) = — 1; Х[г)[[3])Х[г([[4!) = [ — 1)[ — 1) =1. Остальные 15 произведений для Хр! можно проверить аналогичным образом. Используя таблицу определений характеров групп, приведенную выше, легко построить таблицу умножения для группы характеров.
Х!» Хр) Х[з) Х[4! Х!» Х[з) Х[з! Х[4) Хр) Х[4) Х!» Х(з) Х[з! Х!» Х(4! Хр) Х[4) Х[з) Хр) Х!» х[» Х[з! Х[з! Х[4) ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите теорему 21.5. 2. Докажите, что если 6 — элемент коммутативной группы С и Ь ф е, единичному элементу группы С, то существует такой характер группы Х, что х[ь) Ф1. О [1] 3 [2] 1 [3] 2 [4] хе[ь) х[»(ь) хр) [6) Х[з! [6) Х[4) [6) „ел(ц о "1 з л(ц,зл(ц 1 1 л(Ц,л(ц 1 ,з л(ц;гл(ц 1 Рязйел 21.3. характеры попугрупп 825 3. Пусть д и д' — элементы конечной коммутативной группы С такие, что д ф д'. Докажите, что Хг ~ Хе .
4. Завершите доказательство теоремы 21.!О. 21.3. ХАРАКТЕРЫ ПОЛУГРУПП ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.12. Пусть 5 — конечная коммутативная полугруппа. Характером полугрупаы на Я называется гоморфизм из Я в множество комплексных чисел с операцией умножения. Как и для случая групп, в данном разделе будем предполагать, что все рассматриваемые полугруппы являются коммутативными и конечными. Пусть з е Я, где Я вЂ” конечная коммутативная полугруппа. Если )х(а)! > 1, то !х(а )! > !х(г )! что невозможно, поскольку полугруппа Я конечна. Точно так же, если О !Х(з)! < 1, то О < /Х(з~)! < /Х(з)/, О < ! ( з)! < ! ( з)! О < !х(з"+')! < !х(з")! « !х(г )! <!х(з)! < 1, что опять-таки невозможно. Следовательно, либо /Х(г)! = О, либо /Х(з)! = 1 для каждого элемента з из полугруппы Я.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.13. Подполугруппа 1 коммутативной полугруппы Я называется идеалом полугруппы Я, если из того, что 1 Е 1 и е е Я, следует, что г г е 1. Идеал 1 назывется простым идеалом, если Я вЂ” 1 — полугруппа. Доказательство следуюшей теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 21.14. Если Я вЂ” конечная коммутативная полугруппа и Х вЂ” характер полугруппы 5, то 1 = (з: !Х(е)! = О) является идеалом. Обратно, если 1 — любой идеал в Я и существует такой характер Х, что х(е) ф О для некоторого з из Я вЂ” 1, то существует такой ненулевой характер Хг, что Хг(1) = О тогда и только тогда, когда г принадлежит 1. 626 /ЛАВА 21. Характеры групп и попугрупп ТЕОРЕМА 21.17.
Пусть С вЂ” конечная коммутативная группа порядка и. Если Х вЂ” характер группы, то и, если Х=Х1, дес О, если Х~ хм хЫ= ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку Х1(д) = 1 для всех элементов д из С, то первая часть утверждения очевидна. Если Х ~ Х1 и д' — такой элемент группы С, что Х(д') ф 1, то ,> х(д) =,> х(д'д) = дес дес = ~х(д')ХЫ = дес = Х(д ) ~~' Х(д) по лемме 21.16 так что Р-х(д')!~ хЫ=О, дес и, поскольку 1 — Х(д') ~ О, то 2,' Х(д) = О. дес Теперь рассмотрим множество Я„классов вычетов по модулю и. Напомним, что множество элементов Я„, состоящее из классов эквивалентности, содержащих целые числа, взаимно простые с и, называется множеством приведенных классов вычетов.
Множество приведенных классов вычетов образует группу относительно умножения в классе. Обозначим эту группу через С„. Множество Я„является полугруппой относительно умножения в классе. Множество ߄— С„является идеалом полугруппы, поскольку произведение любого целого числа и целого числа, не взаимно простого с и, не является взаимно простым с и. Следовательно, можно сформировать характеры Я„, которые являются характерами группы С„, и отобразить все элементы группы ߄— С„в О. Эти характеры называются характерами Дирихле. Известно, что количество характеров Дирихле по модулю и равно количеству характеров группы С„. Поскольку множество характеров группы С„изоморфно С„и существуют ф(и) элементов в С„, то существует ф(и) характеров Дирихле по модулю и.
Итак, мы приходим к следующей теореме. ТЕОРЕМА 21.16. Существует ф(и) различных характеров Дирихле по модулю положительного целого числа и. ЛЕММА 21.16. Пусть С вЂ” конечная группа, д' — произвольный элемент группы С и С' = (х: х = д'д для д из С). Тогда С = С'. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что С' = (х: х = д'д для д из С). Вполне очевидно, что С' С С. Пусть д1 и да — элементы группы С. Тогда д'д, и д'дз принадлежат С'. Если д'д1 = д'дз, то д1 — — (д') 1д'д| — — дз.
Следовательно, в С' имеется столько же элементов, сколько и в С; и поскольку группа С конечная, то С = С'. РАЗДЕЛ 21.3. Харвкгперы попугрупп 827 ТЕОРЕМА 21.18. Если С вЂ” конечная коммутативная группа порядка и и д Е С, то (и, если д=е; ХЫ=~ ' (О, если дфе, х где е — единичный элемент группы, и суммирование осуществляется по всем характерам группы Х. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если д = е, то Х(е) = 1 для всех Х, так как каждый характер х является гомоморфизмом. Таким образом, сумма равна и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
