Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 146
Текст из файла (страница 146)
Затем сравним это расширение поля с таким, которое было бы сформировано расширением поля корнем неприводимого поли- нома в комплексных числах. 818 ГЛАВА 20. Кольца, области целостности и поля ТЕОРЕМА 20.88. Пусть à — поле и р — неприводимый полинам над полем Г. Тогда Г изоморфно подпалю поля Г[х]/(р), и существует такой элемент / поля Г[х]/(р), что р(/) = О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теоремам 20.70 и 20.73, множество л [х]/(р) представляет собой поле. Поле Г можно отождествить с подполем Р' поля л [х]/(р) следующим образом; пусть д: à — Р" определено соотношением д(а) = а+ (р). Функция д является мономорфизмом (т.е, инъекцией), поскольку если д(а) = д(6), то а+ (р) = 6+ (р), и р делит а — Ь.
Поскольку р — полинам, и полиномы а и Ь принадлежат Г, то а — 6 = 0 и а = Ь. Пусть / = х + (р) и р = ао + агх + + а„х". Тогда р(/) = ао + аг(х + (р)) + + а„(х + (р))" = = ао+ агх+ + а„х" + (р) = =р+(р) = =О+(р) = =О в Г[х]/(р). ТЕОРЕМА 20.89. Пусть р — неприводимый полинам из Р'[х] и р(а) = О в расширении поля Г. Если д(а) = 0 для полинома д из Г[х], то р делит д. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Можно показать, что 7 = [д; д Е Г[х] и д(а) = О)— идеал. Вполне очевидно, что этот идеал порожден элементом р, так как р— неприводимый элемент. Следовательно, если д е 7, т.е.
д(а) = О, то полинам д должен быть кратным полиному р. ТЕОРЕМА 20.90. Пусть à — поле и р Е Г[х] — неприводимый полинам, Если К вЂ” расширение поля Г, содержащее корень а полинома р, т.е, р(а) = О, то Г[а] изоморфно Г[х]/(р). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим 6: Г[х]/(р(х)) — Г[а] соотношением 6(/+ (р)) = /(а). Вполне очевидно, что 6 — гомоморфизм. Если 6(/+(р)) = 6(д+ (р)), то /(а) = д(а) и (/ — д)(а) = О. Следовательно, по теореме 20.89 полинам р делит / — д и /+ (р) = д+ (р), поэтому функция 6 — инъекция. Пусть / Е Р[а], тогда 6(/+ (р)) = /(а), поэтому 6 — сюръекция и, следовательно, 6 — изоморфизм. ° Пусть 6 — поле действительных чисел и р = х +1, и пусть К вЂ” расширение поля Г, содержащее элемент 1 — корень полинома р(х), т.е.
ю~ + 1 = О. По теореме 20.89 поле с'[х]/(р) изоморфно полую Г[~]. Поскольку р(х) имеет степень 2, необходимо рассматривать только / б Г[г] степени 1. Следовательно, каждый элемент поля Г[г] будет иметь вид а+Ьг', где а и Ь вЂ” действительные числа. Итак, мы создали комплексные числа. Подкольцо, состоящее из элементов поля с'[г], где а и Ь вЂ” целые числа, называется множеством комплексных целых чисел, или множеством гауссовых чисел. Его можно также рассматривать как наименьшее подкольцо комплексных чисел, содержащее целые числа и число г'.
Очевидно, что число 5 не является неприводимым в этом кольце, поскольку 5 = (1 — 21)(1+21), Пусть норма элемента РАЗДЕЛ 20.4. Алгебры и лолиномы 817 пп на множестве комплексных целых чисел определена соотношением пп(а+61) = а + 62. Тогда по((а+ 62)(с+ Й)) = пс((ас — Ы) + (ад+ Ьс)1) = = (ас — Ьй) + (ай+ Ьс) агсг 2аЬс,1+ Ьглг+ аглг+ 2аЬсг1+ Ьгсг ( 2+62)( 2+ ~2) = па(а + Ьг) па(с + аг), так что по — мультипликативный гомоморфизм из множества Гауссовых чисел во множество целых чисел.
Поскольку пп(1 — 21) = по(1+ 21) = 5, то 1 — 21 и 1+22 — неприводимые элементы в кольце комплексных целых чисел. Произведение неприводимых комплексных целых чисел 2+ 2 и 2 — 2 есть также число 5. Следовательно, единственность разложения на неприводимые множители не имеет места. Обратите внимание, что неприводимые множители в данном примере не являются простыми.
Еще один пример. Пусть Р" — поле рациональных чисел, и р(х) = хг — 2. Тогда Р'[х]/(р) = Р'[~/2]. Опять достаточно рассмотреть полиномы степени 1, и Г[х]/(р) — поле, состоящее из рациональных чисел вида а+ Ь~/2, где а и Ь— рациональные числа. Мы можем рассмотреть подкольцо, состоящее только из элементов множества Цх]/(р) вида а + Ьъ~2, где а и Ь вЂ” целые числа. Но (3+ т/2)(З вЂ” ~/2) = 7, поэтому число 7 не является неприводимым в этом множестве. Мы предположили, что, начиная с рациональных чисел, все алгебраические целые числа являются подмножеством множества комплексных чисел. В рамках такого предположения докажем следующую теорему. ТЕОРЕМА 20.91.
Множество А всех алгебраических чисел над полем рациональ- ных чисел Я является подполем поля комплексных чисел. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а и 6 — ненулевые алгебраические числа. Если число а не является рациональным, то существует такой неприводимый полинам р степени 2 или выше, что а — корень полинома р.
Пусть Р' = фх]/(р). Если число 6 не принадлежит Р', то в 7г существует такой неприводимый полинам, скажем, д, степени выше 2, что Ь вЂ” корень полинома д. Пусть С = Р'[х]/(д). Тогда С— поле, которое содержит элементы а и Ь, поэтому оно содержит а+ Ь, а — Ь, аЬ и а/6. Поскольку поле С содержится в А, то все эти элементы принадлежат А, и поэтому А — поле. ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что множество Гауссовых чисел образует подкольцо множества комплексных чисел.
2. Докажите или опровергните, что множество Гауссовых чисел является областью целостности. 3. Докажите, что з1п(х) нельзя выразить полиномом. 818 ГЛАВА 20. Кольца, области целостности и поля 4. Докажите или опровергните, что произведение двух простых полиномов будет простым полиномом. 5. Докажите или опровергните, что сумма двух простых полиномов будет простым полиномом. 6. Найдите порождающий элемент наименьшего главного идеала, содержащего полиномы ха — 4 и ха + 4х+ 4, где полиномы рассматриваются над кольцом целых чисел. 7. Докажите или опровергните, что любое комплексное целое число является алгебраическим числом.
8. Найдите идеал целых чисел, который не является максимальным идеалом. 9. Опишите наименьшее подполе поля действительных чисел, содержащее корни полинома ха — 5 = О. 10. Опишите наименьшее подполе поля действительных чисел, содержащее корни полинома ха + 5 = О. 11. Опишите наименьшее подполе поля действительных чисел, содержащее корни полинома хз — 1 = О.
12. Опишите наименьшее подполе поля действительных чисел, содержащее корни полинома х4 — 1 = О. 820 ГПКВА 21. Характеры групп и полугрупп Пусть г = а + Ьг' = (а, Ь) — комплексное число. Тогда а называют его действительной частью и записывают Ве(г) = Яе(а+ Ь1) = а, а Ь называют его мнимой частью и записывают 1пт(г) = 1гп(а+ 61) = Ь. Поскольку упорядоченная пара действительных чисел обычно изображается в виде точки на плоскости с введенной на ней декартовой системой координат, то комплексное число а + Ь1 также можно изобразить точкой плоскости, как и пару чисел (а,6). В этом случае горизонтальня ось называется действительной осью, а вертикальная ось называется мнимой осью.
Таким образом, действительная часть числа а + 61 (т.е. Ке(а+61) = а) измеряется вдоль горизонтальной оси, а мнимая часть числа а+ И (т.е. 1гп(а+ И) = Ь) измеряется вдоль вертикальной оси. Когда плоскость с декартовой системой координат используется таким образом, ее называют комплексной плоскостью. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.2. Пусть С вЂ” множество комплексных чисел. Для с = а+Ьг' из С величина ~с~ = т/а~ + Ьз называется абсолютным значением, или длиной числа с.
В комплексной плоскости величина (с! равна расстоянию от точки с = а+ 61 до начала координат. Легко показать, что для комплексных чисел с и д имеем )с! ф = (сд( и )с+ д! < (с)+ )д!. Пусть г — комплексное число, которое является корнем и-ой степени из 1, т.е. г" = 1, тогда (г!" = (г"( = )Ц = 1. Поэтому число т имеет длину 1 и находится на единичной окружности с центром в начале координат, т.е. окружности, состоящей из всех точек комплексной плоскости, расстояние от которых до начала координат равно 1. Следующая теорема, формулируемая нами без доказательства, устанавливает важное свойство комплексных чисел.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. (Гаусс) Для любого многочлена р положительной степени с коэффициентами из множества действительных чисел К или множества комплексных чисел С существует такой элемент Ь из С, что р(Ь) = О. Поэтому, в частности, каждый многочлен над 2 имеет, по крайней мере, один корень во множестве комплексных чисел. 21.2. ХАРАКТЕРЫ ГРУПП ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.3. Характер группы коммутативной группы С вЂ” это гомоморфизм из С во множество ненулевых комплексных чисел с операцией умножения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.4. Числом, сопряженным с данным комплексным числом с = а+ Ьг, называется число а — 6г, которое обозначается через с. РАЗДЕЛ 21.2. Характеры групп 821 В оставшейся части этого раздела ограничимся рассмотрением характеров коммутативных конечных групп. Пусть Х вЂ” характер группы. Таким образом, существует такой элемент д Е С, что Х(д) ~ О. Поскольку группа С конечная, то существует такое и, что д" = 1. Следовательно, Х(д") = (Х(д))" = 1, Х(д) является корнем и-ой степени из 1, и элемент д отображен на единичную окружность.
Таким образом, характер группы отображает группу С в единичную окружность. Доказательство приведенной ниже теоремы предоставляем читателю. ТЕОРЕМА 21.5. Если Х(д) = а+ бг, то Х(д ') является сопряженным к Х(д), т.е. Х(д ') = а — бг'. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.6. Первообразным корнем и-ой степени г комплексного числа а называется такой корень и-ой степени из а, что г" ~ а для О < й < и. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.7. Характер группы Хы определенный соотношением Х~(д) = 1 для всех д из группы С, называется главным характером группы С. Грулла характеров группы С состоит из множества характеров группы С вместе с операцией (Х Х')(д) = Х(д)Х'(д) для характеров групп Х и Х'.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 21.8. Пусть С,, Сг,..., С вЂ” подгруппы группы С. Группа С назывется прямой суммой подгрупп Сы Сг,..., С, обозначается Сг Ю Сг ~Э Щ С, если каждый элемент группы С может быть единственным образом записан в виде агаг. а, где аь Е Сь. ТЕОРЕМА 21.9. Любая конечная абелева группа есть прямое произведение циклических подгрупп. Таким образом, если С = С~ ~Э Сг ~Э Сз 61 ~Э С для циклических групп С, с порождающим элементом д, порядка й(1), тогда каждый элемент д Е С можно единственным образом записать в виде: ЛО ~1г1 г(з1 Л > д дг уг дз где О < 2(1) < й(1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Покажем, что существует целое число т такое, что С=С!ЩСгЕСЗЕ ЕС и каждый элемент группы С может быть единственным образом записан в виде д, '~д~~~ ~дз д'~"', где О < 1(г) < й(1). пусть дг е с имеет порядок й(1), и Сг — подгруппа, порожденная элементом дь Если Сг = С, то т = 1, и доказательство завершено.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
