Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 144
Текст из файла (страница 144)
Напомним, что делитель единицы является делителем числа 1; т.е.элемент п — делитель единицы при условии, что существует такой элемент ц', что ии' = 1. Напомним также, что каждый ненулевой элемент поля является делителем единицы. В дальнейшем будет построена алгебраическая структура, которую мы затем применим к полиномам. Все рассматриваемые кольца будут предполагаться коммутативными. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.58.
Поле л называется подполем поля л ', если оно содержится в л' и имеет те же самые операции. Поле л' называется расширением поля л. В общем случае, поле л' называется расширением поля л, если существует изоморфизм и: р' — Е, где Š— подполе поля л'. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.59. Пусть А — область целостности. Ненулевой элемент а из А называется неприводимым, если из того, что а = Ьс, следует, что Ь или с является делителем единицы; в противном случае элемент а называется приводимым.
Пусть А[х( обозначает множество полиномов с коэффициентами из А. Полином у из А(х] с ненулевой степенью называется неприводимым, если из того, что 1 = д. Ь, следует, что д или 6 — элемент области целостности А; в противном случае полипом Г называется приводимым.
Таким образом, если полином У' приводимый, то существуют полиномы ненулевой степени д и 6 такие, что г" = д 6. Далее покажем, что определения неприводимости для областей целостности и полиномов совпадают, если А — поле или рассмотрение ограничено нормированными полиномами. РАДЕЛ 20.4. Алгебры и лолиномы 809 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.60. Полинам )' из множества А[х] называется лросглым, если его степень больше О, и всякий раз, когда у' ] д Ь, то или )' [ д, или г" [ 6. Вообще, элемент р интегральной области является простым, если из того, что р [аЬ, следует, что р [ а или р [6.
Во множестве целых чисел простые числа и неприводимые числа совпадают. Однако для некоторых колец полиномов это неверно. ТЕОРЕМА 20.61. В области целостности простой элемент всегда неприводим. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что р — простой элемент и р = аЬ; тогда, по определению, р ] а или р [ Ь. Предположим, что р [ а; тогда а = тр для некоторого т.
Далее, р = тпрЬ = гпЬр, поэтому тЬ = 1 и Ь вЂ” делитель единицы. Следовательно, элемент р — неприводимый. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.62. Пусть Ав обозначает ненулевые элементы области целостности А. Тогда А называется еоклидооым кольцом, если существует такая функция ф: Ав — )т', где Х вЂ” множество положительных целых чисел, что 1. Если а,6 е Ав, то ф(а) < ф(аЬ), или, что эквивалентно, если а [ с, то ф(а) < ф(с).
2. Если а, Ь Е Аа, то существуют д, г Е Аа такие, что а = Ьд+г и либо г = О, либо ф(г) < ф(Ь). В евклидовом кольце А величина ф(а), где а е Аа, называется нормой элемента а. ТЕОРЕМА 20.63. Пусть à — поле. Тогда Г[х] — евклидова кольцо с нормой ф(г) = г(ей(~) для у е Г[х]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А = Г[х] — ((0)'). Определим ф; Ав — Х соотношением ф(г) = аед(г), когда г" ~ О. Часть (а) следует из теоремы 2ОА6, Для доказательства части (б) пусть ( Е Г[х] — папином степени и, а д — полинам степени Ь. Пусть Я вЂ” множество полиномов вида )' — д д.
Если окажется, что произвольный элемент множества 5 равен О, то доказательство завершено. В противном случае выберем один элемент с наименьшей степенью, например, г, и пусть д — соответствующее частное. Степень этого элемента меньше, чем п, потому что если старший коэффициент полинома Ь равен е, то выберем полипом степени и — й со старшим коэффициентом, равным с, так что ос — старший коэффициент полинома а. В таком случае степень )' — д д меньше, чем п. Аналогично, если г)ек(г) не меньше, чем де8(Ь), то г=д у+г где бей(г') меньше, чем Йей(г), поэтому З вЂ” д д+г=д д+г г — (д+д)д=г, 810 ГЛАВА 20. Кольца, области целостности и поля где с)е8(т') < бе8(т).
Но это противоречит определению элемента т. Следователь- но, бей(т) ( с1ей[б). Следующая теорема является частным случаем теоремы 20.89, которая будет доказана далее. ТЕОРЕМА 20.64. Пусть à — поле и р Е Г[х] — полинам степени и. Тогда для произвольного а Е т' полинам х — а будет делителем полинома р тогда и только тогда, когда р(а) = О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если х — а — делитель полинома р, то, несомненно, р(а) = О. Обратно, предположим, что р(а) = О.
По предыдущей теореме р = (х — а) . 9+ т, где т Е т'. Поэтому р(а) = [а — а) д+ т = т и т = О. Следовательно, (х — а)— делитель полинома р. Использя две предыдущие теоремы и принцип индукции, приходим к следующему утверждению. ТЕОРЕМА 20.65. Пусть т — поле и р е т [х] — полинам степени и. Тогда урав- нение р(х) = О имеет не более и решений. Поскольку область целостности можно вложить в поле, то приходим к такому следствию. СЛЕДСТВИЕ 20.66. Пусть А — область целостности и р Е А[х] — полинам степени и. Тогда уравнение р(х) = О имеет не более и решений.
ТЕОРЕМА 20.67. Любое евклидова кольцо А есть кольцо главных идеалов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 1 — ненулевой идеал евклидового кольца А. Пусть Н вЂ” ненулевой элемент идеала 1 с минимальным значением нормы и пусть р Е 1. Однако, р = гцу+т, где норма элемента т меньше, чем норма элемента И. Поскольку т е 1, то элемент й имеет минимальную норму, а норма т меньше, чем норма б, имеем т = О и р = Нд. Следовательно, элемент Н порождает 1. СЛЕДСТВИЕ 20.68.
Пусть à — поле, тогда Г[х] — кольцо главных идеалов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.69. Идеал 1 называется максимальным в кольце Л, если для любого идеала 1 из того, что 1 С .У С В, следует, что 1 = .У или 1 = В. ТЕОРЕМА 20.70. Идеал 1 из кольца главных идеалов является максимальным, тогда и только тогда, когда р, порождающий элемент идеала 1, является неприводимым над полем т. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что идеал 1 — максимальный, и элемент р не является неприводимым, например, р = тз. Тогда элемент р принадлежит идеалу .У, порожденному элементом т(или е), и 1 с 1, что является противоречием. Обратно, если элемент р приводимый и идеал 1 — не максимальный, например, 1 с,7 и элемент т порождает,У, то р = те для некоторого элемента з, что невозможно, поскольку элемент р — неприводимый. РКЗХХЕЛ 20.4.
Алгебры и лолииомы 811 ТЕОРЕМА 20.71. Пусть 1 — идеал, принадлежащий кольцу В. Определим отношение на В таким условием: а Ь тогда и только тогда, когда а — 6 Е 1. В этом случае отношение есть отношение эквивалентности. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отношение - имеет следующие свойства: а) рефлексивность: а а, поскольку 0 Е 1; б) симметричность: если а - Ь, то а — Ь Е Х; следовательно, 6 — а = †(а — 6) Е 1, поскольку 1 — группа относительно сложения. Поэтому 6 - а; в) транзитивность: пусть а Ь и Ь с, так что а — Ь Е 1 и Ь вЂ” с Е Х. Поэтому (а — 6) + (Ь вЂ” с) = а — с Е 1.
Таким образом, а с. ТЕОРЕМА 20.72. Если а Ь и с И, то а+с 6+0 и ас Ы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если а 6 и с Н, то а — Ь Е 1 и с — Н Е 1, тогда (а — Ь) + (с — Н) = (а + с) — (Ь + й) Е 1 и а+с Ь+Н. Кроме того, с(а — 6) = ас — Ьс Е 1 и Ь(с — а) = Ьс — аа Е 1, поскольку 1 — идеал. Следовательно, (ас — Ьс) + (Ьс — Ьг)) = ас — Ы Е 1 и ас ЬИ. Теперь можно определить сложение и умножение между классами отношения эквивалентности.
Если а+1 обозначает класс эквивалентности, содержащий элемент а, и если Ь + 1 — класс эквивалентности, содержащий элемент Ь, то определим (а + 1) + (6 + 1) = (а + Ь) + 1 и (а+1) (Ь+1) =а Ь+1. Когда есть возможность умножать и складывать классы эквивалентности, то, как отмечалось ранее, отношение называется отношением конгруэнтности. Кольцо классов эквивалентности обозначается через В/1. Заметим, что О+ 1— это нулевой элемент кольца, а 1+ 1 — мультипликативная единица. Класс эквивалентности а+1 называется левым смежным классом идеала 1, точнее говоря, левым смежным классом, порожденным элементом а. Следовательно, различные левые смежные классы идеала Х вЂ” это именно классы эквивалентности в В/1.
ТЕОРЕМА 20.73. Пусть  — коммутативное кольцо с единицей и 1 — идеал кольца В. В этом случае В/1 — поле тогда и только тогда, когда 1 — максимальный идеал. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что идеал 1 — максимальный и пусть а+1 Е В/1, где а ф 1. Пусть М = (та + 6 ( г Е В и Ь Е 1). Можно непосредственно показать, что М вЂ” идеал. Поскольку а ф 1, получаем, что М с 1 и М = В. Следовательно, 1 е М и существуют элемент Ь из В и элемент с из 1 такие, что 1 = аЬ + с. Таким образом, 1+ 1 = аЬ + 1 = (а + 1)(Ь+ 1) и элемент а + Х имеет обратный элемент. Следовательно, В/1 — поле. 812 Гля8А 20. кольца, области целостности и поля Обратно, предположим, что Л/1 — поле. Допустим, что существует такой идеал Х, что 1 с,Х С В.
Рассмотрим элемент а+1, где элемент а принадлежит ,Х, но не принадлежит 1. Тогда существует такой элемент а' из Л, что а'+1— элемент, обратный элементу а+1, откуда получаем, что аа'+ 1 = 1+ 1. Более того, поскольку Х вЂ” идеал, то аа' 6,Х. Кроме того, 1 = аа'+с для некоторого с из 1. Поскольку аа' и с принадлежат Х, то 1 принадлежит Х. Но если 1 принадлежит 1, то г1 принадлежит,7 для всех г, и,1 = Л. ТЕОРЕМА 20.74. Пусть  — коммутативное кольцо с единицей. В этом случае В/1 — область целостности тогда и только тогда, когда Х вЂ” простой идеал. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если В/1 — область целостности и зз — элемент идеала 1, то гз + 1 = 0 + 1.
Следовательно, (г + 1)(1 р 1) = 0 + 1. Но поскольку В/1— область целостности, то либо г + 1, либо 1+ 1 равняется 0+ 1. Следовательно, либо г 6 1, либо з 6 1, и Х вЂ” простой идеал. Обратно, если 1 — простой идеал и (1+ 1)(1+ 1) = О, то Ц+ 1 = 0 и 11 6 1. Но поскольку 1 — простой идеал, то г 6 1 или у 6 1; поэтому, г + 1 = 0 или ~ + 1 = О, и 1 — область целостности. ТЕОРЕМА 20.75.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
