Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 140
Текст из файла (страница 140)
Если каждое из чисел а и Ь является целым, то, используя определение умножения и сложения классов эквивалентности лт, получим, что Г(аЬ) = (аЬ] = [а)(Ь] = Г(а)Г(Ь) и 1(а+6) = (а+6] = (а]+ (6) = Г(а) + Г(Ь). Таким образом, функция У вЂ” гомоморфнзм. Ясно, что Г представляет собой эпиморфизм, потому что Г(з) = [1] для 0 < 1 < 6. Функция У не является инъекцией, поскольку 7 = 0 (шоб 7) и, следовательно, Г(7) = (7) = (0) = 7'(0). Поэтому РАЭЙЕП 20. я Кольце и области целостности 791 функция г" не является ни мономорфизмом, ни изоморфизмом.
Те же самые рассуждения, несомненно, применимы к кольцам 2, и У„для любого положительного целого числа и > 1. Изоморфные кольца имеют одинаковую алгебраическую структуру и отличаются только именованием своих элементов. ТЕОРЕМА 20.5. Для всех а из кольца Л выполняется соотношение а 0 = О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство теоремы оставляем читателю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.6. Подмножество Л' кольца Л называется падкольаом кольца Й, если В' — это кольцо с той же самой операцией. Например, целые числа образуют подкольцо кольца рациональных чисел. Рациональные числа образуют подкольцо кольца действительных чисел. Действительные числа образуют подкольцо кольца комплексных чисел. Множество (и х и)-матриц с целочисленными элементами образуют подкольцо кольца (и х и)- матриц с рациональными элементами.
Можно легко проверить, что 1[0], [2], [4])— это подкольцо кольца Яе. Дадим теперь определение поля, хотя само понятие будет использовано лишь в следуюшей главе. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.7. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, не совпадаюшей с О, каждый ненулевой элемент которого имеет обратный элемент относительно умножения. Множества рациональных, действительных и комплексных чисел являются полями. Если рассмотреть только положительные действительные числа и положительные рациональные числа, то получим области целостности. Во многих случаях область целостности не является полем, но образует подкольцо поля.
Ранее было показано, что в случае простого числа и каждый элемент множества классов вычетов Я„имеет обратный элемент, поэтому ӄ— поле. Приведенная ниже теорема устанавливает связь между областью целостности и полем. ТЕОРЕМА 20.8. Поле является областью целостности. Конечная область целост- ности является полем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Р— поле и аЬ = 0 для а, Ь Е Г, и если а эЕ О, то а аЬ= а 0=0. Но а 'аЬ = Ь, поэтому Ь = 0 и à — область целостности. Обратно, если Р— конечная область целостности с элементами 0,1,ам аз,аз,...,а„и а = а, для некоторого 0 < 1 < и, то все элементы а О, а 1, а. аы а аго а аз,..., а а„являются различными.
Если а. аз = а. аы то а. (а — аь) = О, поэтому (ау — аь) = 0 и а, = аь. Следовательно, а О, а 1, а ам а аз, а аз,..., а а„— в точности элементы области Р, так что а. аь = 1 для некоторого й, где 0 < к < и, поэтому а имеет обратный элемент. Таким образом, область целостности В является полем. ° 792 ГллВА 20.
кольца, области целостности и поля Заметим, что целые числа образуют область целостности, но не являются полем. Следовательно, не каждая область целостности является полем. Тем не менее, будет показано, что каждая область целостности вкладывается в поле. Это означает, что для заданной области целостности А существует поле Г и мономорфизм из А в Г. Пусть А — область целостности. В частности, А может быть множеством целых чисел Я.
Рассмотрим множество упорядоченных пар Р = ((а, 6): (а, Ь) 6 А х А и Ь ~ О) и определим отношение на Р следующим образом. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.9. Если пары (а, 6) и (с,г1) принадлежит Р, то (а, 6) (с,4) тогда и только тогда, когда аЫ = бс. Например, если А = Я, то класс эквивалентности И2, 3)) содержит такие упорядоченные пары: (2,3),(4,6),(6,9),...,( — 2, — 3), ( — 4, — 6),..., которые соответствуют представлениям рациональных чисел в виде 2/3,4/6,6/9,...,( — 2)/( — 3).
( — 4)/( — 6),.... Все они являются различными представлениями одного и того же рационального числа, ~(2,3)). ТЕОРЕМА 20.10. Отношение на множестве Р есть отношение эквивалентности. Доказательство этой теоремы тривиально и предоставляется читателю. Обозначим через а/Ь класс эквивалентности, содержащий (а, Ь) 6 Р, т.е.
~(а, Ь)], а через à — множество классов эквивалентности на множестве Р. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.11. Для заданных элементов а, Ь, с и 4 из области целостности А сложение на Г определено соотношением а/Ь + с/4 = (ад + Ьс)/ЬН, а умножение на à — соотношением (а/6)(с/й) = ас/Ьй.
Покажем, что операции сложения и умножения на Г определены корректно, т.е. не зависят от выбора представителей классов эквивалентности. ТЕОРЕМА 20.12. а) Сложение в Г определено корректно. б) Умножение в Г определено корректно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть а/6 = а'/Ь' и с/д = с'/4'. Имеем непосредственно, что аб' = а'6 и сН' = с'Н.
а) По определению сложения имеем а/б+ с/Н = (ад+ Ьс)/Ьй и а'/Ь' + с'/а' = (а'й' + Ь'с')/Ь'4'. Необходимо показать, что (ай + бс)/64 = (а'гг + Ь'с')/Ы или, что равносильно, Ь'Н'(ад+ Ьс) = бг~(а'Н' + 6'с'), но Ь'~| (аг4+ бс) = Ь'аги)' + Ы'66' = = а'Ьсй' + с'Нбб' = = Ы(а'Н' + Ь'с'), где второе равенство выполняется, поскольку аЬ' = аЪ и са' = с'с~.
РАЭДел 20. б кольца и области целостности 793 б) Из определения умножения следует, что (а/Ь)(с/Н) = ас/Ы и (а'/6')(с'/й') = а'с'/6'Н'. Необходимо показать, что ас/Ы = а'с'/Ь'Н' или, что равносильно, ас6'й' = а'с'Ы. Но асЬ'г1' = абьсг(' = а'Ый = а'с'Ы. ТЕОРЕМА 20.13. Множество классов эквивалентности Г является коммутативным кольцом с аддитивной единицей О/1 и мультипликативной единицей 1/1.
Доказательство этой теоремы тривиально и предоставляется читателю. ЛЕММА 20.14. Для а и Ь из А имеем а/Ь = О/1 тогда и только тогда, когда а = О. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что равенство а/Ь = О/1 имеет место тогда и только тогда, когда а = а(1) = Ь(О) = О. ТЕОРЕМА 20.16. Коммутативное кольцо Г является полем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если а/6 ~ О, то а ~ О и Ь/а Е Г. Но (а/6)(6/а) = аЬ/аЬ = 1/1 = 1.
Следовательно, для каждого ненулевого элемента из Г сушествует обратный эле- мент, поэтому е — поле. Пусть /: А — е определено соотношением /(а) = а/1. Имеем /(аЬ) = а6/1 = (а/1)(6/1) = /(а)/(Ь) и /(а+Ь) = (а+6)/1 = (а(1)+Ь(1))/1 = а/1+Ь/1 = /(а) + /(Ь). Кроме того, функция / — инъекция, потому что если /(а) = /(Ь), то а/1 = Ь/1 и а = а. 1 = Ь 1 = Ь. Следовательно, / — мономорфизм, и элементу а из А однозначно соответствует элемент (а/1: а Е А) из Г. Таким образом, область целостности А можно рассматривать как подкольцо поля Г.
ТЕОРЕМА 20.16. Отображение /: А — г', определенное соотношением /(а) = а/1, является мономорфизмом, при этом говорят, что область целостности А вложена в поле Г или что поле е содержит область целостности А. Легко показать, что это поле Г есть наименьшее поле, в которое область целостности А может быть вложена. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.17.
Поле Г называется нолем частнык области целостности А. Если А — множество целых чисел Я, то поле с — множество рациональнык чисел, обозначаемое, как правило, через Я. В этом разделе развиваются алгебраические структуры целых чисел, и целые числа алгебраически определяются с точностью до изоморфизма. Отметим, что из такого рассмотрения не следует существование целых чисел, а только наличие присущих им алгебраических свойств, если сами эти числа сушествуют. 194 ГЛЛВЛ 20. Кольце, области целостности и поля Например, в кольце целых чисел множество всех чисел, кратных фиксированному целому числу р, образует идеал.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.19. Пусть й — коммутативное кольцо. Идеал 1 кольца Л называется главным идеалом, порожденным элементом а, если 1 состоит из всех произведений а на элементы кольца В, т.е. 1 = (а) = (ат: т е В). ТЕОРЕМА 20.20. Каждый непустой идеал 1 кольца целых чисел является главным идеалом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для 1 ф (О) пусть р — наименьшее положительное целое число в идеале 1 и пусть т принадлежит 1. Согласно алгоритму деления, та = ра+ т, где О < т < р. Поскольку т = т — ра, то т принадлежит 1. Таким образом, поскольку т < р и р — наименьшее положительное целое число в идеале 1, то т = О. Следовательно, каждое целое число в идеале 1 кратно числу р и 1 = (р). ° Заметим, что при доказательстве этой теоремы используется принцип вполне упорядочения и алгоритм деления, каждый из которых выполняется для целых чисел.
ПРИМЕР 20.21. Рассмотрим кольцо У целых чисел и два главных идеала, поро- жденных целыми числами 8 и 12: (8)=(8;тбЯ)= = (..., -24, -16, -8, О, 8, 16, 24,...); (12) = (12з: Е Я) = = (..., — 24, -12,0,12,24,...) . Пересечение множеств (8) й (12) есть множество (..., -48, -24, О, 24, 48,...), которое является главным идеалом, порожденным целым числом 24. Заметим, что 24 — наименьшее общее кратное чисел 8 и 12. Вообще, (а) Г1 (6) = (НОК(а, Ь)) .
Результаты, имеющие отношение к этому примеру, сформулированы в приведенной ниже теореме. Доказательство предоставляется читателю. П ТЕОРЕМА 20.22. Если е и с — ненулевые целые числа и (з) и (1) — соответствующие главные идеалы в кольце Я, то а) если (з) С (г), то 1 ~ з; б) (з) П (г) = (и), где и = НОК(е, с). ПРИМЕР 20.23.
Если (а,6) — наименьший идеал, содержащий а и 6, то (а,Ь) = (НОД(а, 6)) . РЯЗДел 20. 6 кольца ц области целостности 795 Например, (8, 12) = ( — 16, — 12, — 8, — 4, О, 4, 8, 12, 16,... ) = (НОД(8, 12) ) поскольку НОД(8,12) = 4 и (4) = (...,-8, -4,0,4,8,...) .
Пусть 1 — наименьший идеал, содержащий целые числа а и Ь. Тогда каждый элемент идеала 1 имеет вид ат + Ьп, где гп и и — целые числа. При этом говорят, что идеал 1 порожден элементами а и Ь. По теореме 20.22 идеал 1 порожден наименьшим положительным целым числом такого вида. Но это число, как упоминалось ранее, является наибольшим общим делителем чисел а и Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
