Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 142
Текст из файла (страница 142)
Поэтому зз е Я и зз < з, что противоречит тому факту, что з — наименьший элемент множества 5. Следовательно, Я вЂ” пустое множество. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.36. В упорядоченной области целостности пусть й+1 = и+ 1, где 1 — мультипликативная единица. ТЕОРЕМА 20.37. В любой упорядоченной области целостности А для подмноже- ства положительных элементов А+ следующие утверждения эквивалентны: 1) Первый принцип индукции. 2) Принцип полного упорядочения. 3) Второй принцип индукции. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) — (2). Пусть 5 = 1п Е А+: если й Е Т, где Т подмножество множества А+, то Т имеет наименьший элемент ). Необходимо показать, что 5 = А+, Очевидно, 1 Е 5, так как если 1 Е Т, то 1 — наименьший элемент множества Т.
Предположим, что й е Я и пусть й+ 1 е Т. Требуется показать, что множество Т содержит наименьший элемент. Если 1 Е Т, то Т содержит наименьший элемент, что и требовалось доказать. Предположим, что 1 ф Т. Пусть Т' = (з: з + 1 Е Т). Поскольку й Е Т', то Т' имеет наименьший элемент, например, г. По определению, г+1 Е Т. Кроме того, г+1 — наименьший элемент множества Т. В противном случае, если и Е Т и и < т+ 1, то в силу того, что и = и + 1 для некоторого и Е Т', получаем, что и < т, что является противоречием.
Следовательно, множество Т имеет наименьший элемент, й + 1 Е Яика=А+. (2) — (3). Предположим, что Я вЂ” подмножество множества А+, обладающее следующими свойствами: а) 1 Е Я; б) если 1 е А+ и з е Я для всех е < л, то й е Я. Требуется показать, что 5 = А+. Выберем подмножество Я с перечисленными выше свойствами. Пусть Т = 1й; й Е А+ и й ф Я. Теперь необходимо показать, что множество Т пустое. Если Т не пусто, то по принципу вполне упорядочения Т содержит наименьший элемент, например, 1, причем г ф 1, потому что 1 принадлежит множеству Я, а г ему не принадлежит. Следовательно, С = г + 1 дЛя НЕКОтОрОГО г. МНОжЕСтВО ВСЕХ таКИХ Х Е А+, ЧтО Х < С, НЕ ПуСтО, т.К. ЕМу принадлежит г. Все эти элементы принадлежат Я, поскольку 1 — наименьшее 800 ГЛАВА 20. Кольца, обласгли целостносгли и поля положительное целое число, которое не принадлежит Я.
Следовательно, согласно пункту (б) имеем ~ Е Я, что является противоречием, поэтому множество Т пусто. (3) — (1). Пусть ьо — подмножество А+. Пусть р(1) есть утверждение: "й Е 5 имеет следствием (й+1) Е Я", а р(2) есть утверждение; "Если для всех т < й имеем т е Я, то и е Я". Очевидно, что из р(1) вытекает р(2). Второй принцип индукции можно сформулировать так: "Если 1 Е Я и р(2), то Я = А+", а первый принцип индукции можно сформулировать таким образом: "Если 1 Е Я и р(1), то 5 = А+". Поскольку 1 Е Я и р(1) имеет следствием 1 Е 5 и р(2), то из утверждения: "1 е 5 и р(2) имеет следствием Я = А+" вытекает утверждение вй Е 5 и р(1) имеет следствием 5 = Аь)".
(Это верно, потому что (р — д) ~ ((д — ~ т) — (р — ~ т)).) ТЕОРЕМА 20.38. Любые две вполне упорядоченные, упорядоченные области целостности являются изоморфными, поэтому они изоморфны л. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть А — вполне упорядоченная, упорядоченная область целостности и М вЂ” множество положительных целых чисел. Пусть 1 — мультипликативная единица области целостности А. Определим 1: Аг — А+ соотношением 1(1) = 1, и если 1(й) = К, то 1"(к + 1) = К + 1. Легко показать, что 1()т') удовлетворяет первому принципу индукции и, следовательно, 1(Аг) = А+.
Необходимо показать, что )(т+ п) = 1(т) + Г(п) и 1(т п) = 1(т)1(п). Используя индукцию по и, покажем сначала, что 1(т+ и) = 1(т) + 1(п). Для п = 1, 1(т+ 1) = Г(т) + 1 по определению функции 1, поэтому 1(т+1) = 1(т) + 1'(1). Предположим, что )(т+ й) = Дт) + 1(й). Тогда 1(т+ (Й+ 1)) = 1((т + й) + 1) = = 1 (т + Й) + 1 = = 1'(т) + 1(й) + 1 = = 1(т) + 1'(й + 1) и для любых т, и Е Аг 1(т+ п) = 1(т) + 1'(п). Индукцией по п покажем, что 1"(т и) = )'(т)1'(п). При п = 1 1(т 1) = ) (т) = 1(т) 1 = 1(т)Д1) . Предположим, что 1(т й) = 1(т)1(й). Тогда г"(т (/с+ 1)) = 1((т. 0) + т) = =1(т.й)+1(т) = = 1(т)1(гс) + 1(т) = = 1(тЩЙ) + г (т)1 = = 1(т) Щй) + 1) = = Дт) ~(й + 1) и 1(т. п) = 1(т)1(п) для всех т,п ~ Аг.
Поэтому функция 1 — изоморфизм. Этот изоморфизм легко расширить до изоморфизма из с. в А. РАДЕЛ 20.3. Полиномы 801 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.39. Область целостности называется минимальной областью тогда и только тогда, когда она не содержит никакой подобласти, кроме самой себя. Минимальную область можно найти, построив пересечение всех подобластей области целостности. Доказательство следуюшей теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 20.40. Любые две упорядоченные минимальные области целостности изоморфны.
Они изоморфны целым числам и, следовательно, вполне упорядочены. ° УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите, что пересечение всех подобластей произвольной области целостности является областью целостности, и используйте этот факт для доказательства того, что каждая область целостности содержит минимальную область целостности.
2. Докажите, что любые две упорядоченные минимальные области целостности изоморфны. Докажите, что они изоморфны множеству целых чисел, поэтому вполне упорядочены. 3. Докажите, что в упорядоченной области целостности для любого ненулевого элемента а имеем аа > О. В частности, 1 > О (теорема 20.33). 20.3. ПОЛИНОМЫ В этом разделе будут формально определены полиномиальные формы и изучены некоторые их алгебраические свойства. Полиномиальные функции У(х) и д(х) равны при условии, что Д6) = д(6) для всех 6 из их обшей области определения. Полнномиальные формы г" и д равны при условии, что равны коэффициенты при соответствующих степенях х.
Для полиномов над целыми числами эти два понятия совпадают; однако, в обшем случае коммутативных колец с единицей это неверно. В конце раздела будет показана согласованность этих двух понятий равенства. Большинство из приведенных ниже рассуждений изложено в терминах коммутативных колец с единицей и областей целостности, однако, использоваться будут, как правило, кольца целых или рациональных чисел. Для простоты, в большей части последующего изложения можно представлять себе А как множество целых чисел. В дальнейшем станет понятно, что фактически полиномы определяются как производяшие функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.41. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и пусть 5 — множество всех последовательностей (ао, ам аз,...) элементов кольца А таких, что если у е о, то существует целое число Агу, так что а = О для всех у > Ху. Если г" е о, то говорят, что ~ — полинам, или полиномиальнал форма над кольцом А.
802 ГЛЯВЯ 20. Кольца, области целостности и попе Например, (1,0,0,0,0,...) и (1,1,1,0,0,0,...) принадлежат 6', но (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,...) и (1, О, 1, О, 1, О, 1, О, 1,...) множеству о не принадлежат. Если А = 2, то (О, — 5,2,0,0,...) и (3,7,5,8,0,0,...) являются полиномами из о. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.42. Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и пусть ,)' = (а,)' = (ао,а„аг, .), и д = (6,)* = (Ьо,быЬг .) принадлежат 5, множеству полиномов над кольцом А. Определим сумму полиномов г' и д как последовательность г" + д = (а; + Ь,)* = (ао + 6о, аг + Ьы...) и произведение полиномов У и д как последовательность Уд = (сь)', где сь = ~ а,Ь,. ьеу=ь ТЕОРЕМА 20.43.
Пусть У',д Е 5, где о — множество полиномов над коммутативным кольцом А с единицей. Тогда 7" + д е о и Уд е 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Случай суммы Г' + д мы оставляем читателю. Для доказательства того, что 1д е о, заметим, что для любого й > )Ут+)Ус+1, если г+ г = й и 1 < Мт, то г > )тс + 1, и если г < )тд, то г > Хт + 1. Следовательно, сь = 0 для любого Е > Хт + )ча+ 1, поскольку в выражении для сь либо а, = О, либо 6, = О. Доказательство следующей теоремы оставляем читателю. ТЕОРЕМА 20.44.
Если 5 — множество полиномов над коммутативным кольцом А с единицей, то о — также коммутативное кольцо с единицей. Его единицей является (1,0,0,0,...), а нулевым элементом — (0,0,0,...). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.45. а) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей, пусть 1 Е о и Г" = (а,)*. Для 1 ф 0 пусть де8()') равно наибольшему целому числу й такому, что аь ф О.
Функция де8(~) называется степенью полинома 7". Множество о называется кольцом полиномов над кольцом А. Множество о обозначается через А[х]. Произвольный элемент множества А[х] называется полиномом над кольцом А, Любой полинам степени 0 или равный нулю называется константой. б) Пусть 1 = (ао,аыаг,.,.) принадлежит А[х]. Члены последовательности а; называются коэффициентами полинома )'. Если )' ф 0 и п = де8(7'), то а„называется старшим коэффициентом полинома 7". Если а„= 1, то полинам 7" называется нормированным.
Если 7' ~ 0 обладает таким свойством, что наибольший общий делитель всех его ненулевых коэффициентов равен единице, то 1 называется примитивным полиномом. РАЗДЕЛ 20.3. Полиномы 803 в) Два элемента )' и д множества А[х] Равны (( = д), если равны их соответствующие коэффициенты; т.е, если )' = (ао, а|, аз,...) и д = (Ьо, Ь!, Ьз,...), то | = д тогда и только тогда, когда ас = Ь, для любого неотрицательного целого числа г. г) Полинам 1 делит полинам д в том случае, если сушествует такой полинам Ь, что 1 й = д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
