Дж. Андерсон - Дискретная математика и комбинаторика (2004) (1127091), страница 145
Текст из файла (страница 145)
Любой максимальный идеал является простым идеалом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство следует непосредственно из теорем 20.73 и 20.74. ТЕОРЕМА 20.76. В кольце главных идеалов А каждый неприводимый элемент является простым. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р — неприводимый элемент кольца А и пусть (р)— главный идеал, порожденный элементом р. Поскольку элемент р неприводим, то по теореме 20.70 (р) — максимальный идеал и, вследствие теоремы 20.75, является простым идеалом. Поэтому, если р ] (аЬ), то аЬ 6 (р).
Таким образом, а 6 (р) или Ь 6 (р), так что р [ а или р[ Ь, и элемент р — простой. Комбинируя следствие 20.66 и теорему 20.76, получаем следующий результат. СЛЕДСТВИЕ 20.77. Если Р' — поле, то каждый неприводимый элемент множества Хг[х] является простым. Следующая теорема является аналогом принципа единственности разложения целого числа на простые множители. ТЕОРЕМА 20.78. Если Р' — поле, то каждый неконстантный полипом из множества Хг[х] можно единственным образом представить в виде произведения неприводимых полиномов в том смысле, что множители являются единственными с точностью до умножения на делитель единицы. РКЗДЕЛ 20.4. Алгебры и полиномы 813 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользовавшись индукцией по степеням полинома, покажем, что любой полинам степени и, не равный константе, можно единственным образом разложить на неприводимые элементы. Для и = 1 имеем полинам вида ах+ Ь, который уже является неприводимым, поскольку в противном случае ах+Ь = 7д, но дея(ах+6) = бей(7)+с)ей(д) > 2, что составляет очевидное противоречие. Предположим, что Ь > 1, и теорема справедлива для всех и ( Ь, и пусть полинам 7' имеет степень Ь. Если полинам 7' — неприводимый, то доказательство завершено. Если нет, то 7" можно разложить на полиномы д и Ь, степень каждого из которых меньше, чем степень )'. Следовательно, каждый из полиномов д и Ь можно разложить на неприводимые элементы, поэтому полинам Х также можно разложить на неприводимые элементы. Для доказательства единственности разложения опять воспользуемся индукцией по числу множителей в разложении.
Для и = 1 результат очевиден. Предположим, что единственность имеет место для и = Ь множителей. Предположим, что 7" можно разложить на Ь+ 1 неприводимых элементов ды дз,..., дь+г и на т неприводимых элементов д'„д',..., д„',. Из 6+1 неприводимых элементов выберем множитель дь Поскольку, в силу следствия 20.77, неприводимый элемент является простым и д~ делит 7, то дг должен делить один из т неприводимых элементов во втором разложении, например, д'. Но так как д' — неприводимый элемент, то д~ и д,' отличаются множителем — делителем единицы.
Следовательно, делим оба разложения на ды оставляя первое разложение полинома )' состоящим из й неприводимых множителей дз,...,дь.ьы а второе разложение — состоящим из т — 1 неприводимых множителей д',,...,д',,д ч.ы...,д,'„и возможного множителя— делителя единицы. По индуктивному предположению разложение полинома 7/д~ единственно, и поэтому разложение полинома 7 единственно. Напомним, что полинам 7' = ао + а~х + + а„х" примитивный, если НОД(ао, аы, ..,а„) равен единице. ТЕОРЕМА 20.79. (Гаусс) Пусть А — область целостности. Произведение двух примитивных полиномов из множества А(х] является примитивным полиномом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть )' = ао+агх+...+а„х" и д = Ьо+Ь|х+ +Ь х и пусть р — неприводимый элемент из А.
Поскольку полинам 7' — примитивный, то существует такой коэффициент а„что р не делит а,. Пусть а„— первый такой коэффициент. Аналогичным образом, существует такой коэффициент Ь, что р не делит Ь . Пусть Ь, — первый такой коэффициент. Пусть Ь = со+ с~х+ + с ь„х +" — произведение полиномов 7 и д.
Тогда с„.ь, — — аоб„.ь, + .. + а„гб,ег + а„Ь, + а„егЬ, ~ + + а„ч.,Ьо. Нор делит ао,...,а„ы поэтому р делит аоЬ„.ь,+ ..+а, ~6+г', при этом р делит Ьо,..., 6,, поэтому р делит а„ч.гЬ, з + + а,~,Ьо. Но р не делит а„б„поэтому р не делит Ь. Следовательно, полинам Ь вЂ” примитивный. Может показаться, что полинам, неприводимый над полем целых чисел, может и не быть неприводимым, если допустить разложение на полиномы с рациональными коэффициентами.
Приведенная ниже теорема, однако, показывет, что это не так. 814 ГЛЯВА 20. Кольца, области целостности и поля ТЕОРЕМА 20.80. Пусть А — область единственности разложения на множители, т.е. область целостности, в которой разложение на простые множители единственно, и пусть т' — его поле частных. Если р Е А(х] и если многчлен р приводимый в л'[х], то он приводимый в А(х].
Если полинам р — примитивный в А[х], то он приводимый в т [х] тогда и только тогда, когда он приводимый в А[х]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть полинам р Е А(х] — приводимый в с'[х], например, р = Гд. Пусть и — наименьшее общее кратное знаменателей коэффициентов полиномов 7" и д. Тогда и р = ~'д', где [' и д' принадлежат множеству А(х]. Но 7"' = агап и д' = Ьд", где 7л и дл примитивные полиномы, и р = ср', где с— ПрИМИтИВНЫй ПОЛИНОМ.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, ио р' 7лдл. НО ПОСКОЛЬКУ Глдл — таКжЕ примитивный полинам, то легко показать, что два выражения для примитивного полинома отличаются множителем — делителем единицы. Итак, исс = аЬ, где и — делитель единицы. Следовательно, иср' = исс7""д". Поэтому ир = исс7 д или Р = ~1лд", и мы получили разложение полинома р на множители в А(х].
Очевидно, что если полинам разлагается на множители в А[х], то он разлагается на множители в т'[х], но если полинам р не является примитивным в А[х], то он приводимый в А[х], потому что он является произведением целого числа и полинома. Однако, в поле т [х] полинам может быть неприводимым, поскольку целое число может быть делителем единицы. ТЕОРЕМА 20.81. Область целостности А является областью единственности разложения тогда и только тогда, когда таковой является область А[х]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть т — поле частных области целостности А и р— полинам из А(х]. Тогда полинам р разложим на неприводимые множители в т [х], следовательно, р разложим на неприводимые множители в А[х], где каждый неприводимый множитель разложения в т'[х] равен соответствующему неприводимому множителю разложения в А(х], умноженному на элемент поля .Р.
Пусть б равно наибольшему общему делителю коэффициентов полннома р, так что р = 12р', где р' — примитивный полинам. Поскольку полинам а' разложим единственным образом, то необходимо только показать, что р' разложим единственным образом. Поэтому предположим, что полинам р — примитивный. Поскольку, по теореме 20.78, поле т [х] — область единственности разложения на множители, то пусть / Р = Т132 Тп а1а2 ' ' ' ап ° Допустим, что после перегруппировки имеем, что т, и я, отличаются только ненулевым множителем из т'.
Например, т, = [а/Ь)я1, поэтому Ьт; = аз,, но поскольку т; и я; примитивные полиномы, то а и Ь отличаются множителем — делителем единицы из А[х], поэтому разложение будет единственным. Обратно, поскольку область целостности А — подмножество множества А[х], то если А(х] — область единственности разложения на множители, то каждый элемент из А должен раскладываться на множители единственным образом, поэтому А — область единственности разложения на множители. РАЗДЕЛ 20.4. Алгебры и полиномы 815 ТЕОРЕМА 20.82. Пусть А — область единственности разложения на множители, тогда два полинома из А[х) имеют наибольший общий делитель.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р и д — полиномы из А[х]. Поскольку А[х] — область единственности разложения на множители, то разложим р и д на неприводимые множители. Тогда НОД(р,д) равен произведению множителей, которые присутствуют в разложениях как р, так и д, в самых низких степенях.
ТЕОРЕМА 20.83. Пусть А — кольцо главных идеалов и 1 — идеал, порожденный элементами р и у. Если а' порождает 1, то а' = НОД(р,у) и а' можно записать в виде ир+ оо. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вполне очевидно, что б делит р и д. Поскольку а' е 1, то а можно записать в виде ир+ ьо. Если с делит р и с делит о, то с делит ир+ оо и с делит а. Таким образом, а' = НОД(р,у). Начиная с области целостности А, такой как целые числа, несомненно, можно найти поле частных области целостности А, например, поле Г, и сформировать множество Г[х]. Поскольку А[х] — область целостности, то можно сформировать поле частных области целостности А[х], порождая, по существу, элементы вида р/у, где р и у принадлежат А[х].
Поскольку Г[х) — также область целостности, то можно сформировать поле частных области целостности Г[х], которое состоит из элементов вида р/у, где р и д принадлежатГ[х]. Это поле называется полем рационалычых функций над полем Г. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.84. Элемент с б С, множеству комплексных чисел, называется алгебраическим целым числом, если он является нулем некоторого нормированного полинома р из Я[х), т.е, р(с) = О. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.85. Элемент а поля Š— расширения поля à — называется алгебраическим над полем г, если 1(а) = О для некоторого ненулевого полинома 1 е Г[х). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.86. Элемент с е С, алгебраический над полем рациональных чисел Сг, называется алгебраическим числом; т.е.
с е С вЂ” алгебраическое число, если существует такой полипом р Е гг[х), что р(с) = О. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 20.87. Пусть А — область целостности. Элемент а Е А назы- вается корнем полинома р, если р(а) = О Далее в абстрактной форме покажем, как по заданному полю и неприводимому полиному над этим полем можно найти расширение поля, содержащее корень неприводимого полинома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
