01 - (2005.2) (1125800), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Легко видеть, что если потенциальная энергия равна нулю, то длина волны частицы равна Ь/р. Когда потенциальная энергия отлична от нуля, но имеет постоянную величину, уравнение Шредингера превращается в ( — й/2т)(вогуэ/Ых~) = (Š— !')ф, а решение снова имеет вид ехр(йх), но при этом Е = 6"-кз/2т+ К. Использование соотношения й = 2к/Л дает Л = и/х/2т(Š— 1'), Из этого уравнения следует, что для постоянной полной энергии с ростом !г величина Š— !' уменьшается и поэтому длина волны растет до тех пор, пока не достигнет бесконечного значения при Е = К.
Но (Š— !') — это кинетическая энергия частицы. Следовательно, с понижением кинетической энергии длина волны 17 де Бройля растет и для состояния покоя достигает бесконечного значения. Анализ уравнения Шредингера, представляющего собой дифференциальное уравнение второго порядка, показывает„что оно имеет бесконечное число решений, т.е. энергия частицы Е может принимать любые значения. Однако энергия квантована, поэтому некоторые решения необходимо обязательно исключить.
Для этого сначала нужно придать физический смысл волновой функции ф 1.2. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФИЗИЧЕСКОГО СМЫС 31А ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ Явного физического смысла решения (ф) уравнения Шредингера не имеют. Смысл имеет квадрат волновой функции 4з. Интерпретация волновой функции у) была дана М. Борном по аналогии с волновой оптикой, в которой квадрат амплитуды электромагнитной волны рассматривается как интенсивность электромагнитного излучения.
В корпускулярной теории света интенсивность — это число имеющихся фотонов, т. е. интенсивное монохроматическое излучение соответствует большому числу фотонов (каждый с энергией Ьи), а малоинтенсивное — небольшому числу таких фотонов. Аналогия для частиц состоит в том, что волновую функцию частицы можно рассматривать как амплитуду, квадрат которой есть вероятность обнаружить эту частицу в каждой точке пространства. Например, для электрона ф2Их — это величина, пропорциональная вероятности обнаружить электрон в бесконечно малом промежутке между х и х ~ Ых; 4г(г)пт — вероятность обнаружить электрон в бесконечно малом объеме пространства дт, расположенном на расстоянии г от центра координат (который обычно помещают в центре ядра). Вероятностная интерпретация волновой функции означает, что нельзя сказать в точности, где находится частица, например электрон.
Можно говорить лишь о вероятности ее нахождения в различных областях пространства. Лучше всего это проиллюстрировать на конкретном примере. Возьмем атом водорода в низшем (основном) состоянии. Для этого случая решение уравнения Шредингера приводит к волновой функции вида ф = (!/яаа)~~зехр( — г/аа), где аа = 0,53 А — радиус Бора, г — расстояние от центра ядра.
С помощью этого уравнения можно рассчитать, что вероятность (пропорциональная ф2) найти электрон внутри небольшой сферы объемом 1 пмз (около 1/100 объема атома) в точке, отстоящей на 0,5 А от ядра„составляет 15;4 от вероятности найти электрон у самого ядра, а вероятность найти гв электрон на расстоянии 1 мм от ядра столь мала (10 ью ), что е1о можно полностью пренебречь. Однако конечная вероятность найти электрон даже в 1 км от ядра не равна нулю.
1.3. КВАНТОВАНИЕ Любое свойство объекта, любое явление квантовано, все в мире квантовано, включая само пространство. В этом заключается основной принцип квантовой механики. Энергия объекга не может измениться на произвольную величину. Объект может обладать лишь определенными значениями энергии, и нельзя сделать так, чтобы он имел какую-то промежуточную энергию. Это, между прочим, н явилось причиной введения уравнения П !редингера, которое вместе с изложенной выше интерпретацией волновой функции успешно объясняет квантование энергии. В разделе 1.1 указывалось, что для согласия с принципом квантования некоторые из бесконечного числа решений уравнения Шредингера нужно исключить.
Это можно сделать на основе вероятностной интерпретации волновой функции. Ограничение на волновые функции можно наложить с помощью простого заключения, состоящего в том, что если у)~ох или фзЫт есть вероятность найти частицу в области с!х или с1т, то сумма таких вероятностей по всему пространству должна быть равна единице. Это следует из того, что частица, если ола существует, определенно где-то находится, пусть даже она «размыта» по всей Вселенной. Таким образом, возникает критерий полной вероятности (по-иному его называют «условие нормировки»), который налагает жесткие ограничения на волновые функции, ибо ему удовлетворяют не все решения уравнения Шредингера, а только волновые функции, нормированные к единице, когда ! ф~Ах = 1 для одномерного движения илн ! ф~с!т = 1 для трехмерного движения, где х— длина, а т — объем.
Чтобы пояснить это, опять обратимся к атому водорода. В основном состоянии волновая функция пропорциональна ехр( — г/ов) (см. предыдущий раздел), т. е. спадает по экспоненциальному закону при удалении от ядра. Однако интегрируя по всему пространству, можно вычислить, что условию нормировки, т.е. критерию полной вероятности, удовлетворяют не любые коэффициенты пропорциональности А в уравнении у = А ехр( — г/ас), а только один (называемый нормировочным множителем М), А = М = (1/лаз)'~'-, который и был использован в предыдущем разделе при расчетах вероятности найти электрон на разных расстояниях от ядра. При других значениях га А критерий полной вероятности не соблюдается и эти решения уравнения Шредингера неприемлемы.
Если эти решения неприемлемы, их отбрасывают и тогда в уравнении Шредингера полная энергия Е электрона в атоме водорода не может иметь значения, соответствующие этим неприемлемым решениям. Так мы приходим к квантованию и теперь должны заявить, что возможны только некоторые значения энергии электрона в атоме водорода, поскольку другие значения соответствуют неверным свойствам распределения электрона в пространстве.
1.4. АТОМНЫЕ ОРБИТАЛИ 1А.1. ОРБИТАДИ АТОМА ВОДОРОДА Когда рассматриваются волновые функции для электронов в отдельных атомах, эти функции называют атомными орбггталязги (сокращенно АО). Экспериментальные доказательства существования атомных орбиталей можно получить из атомных спектров. Например, при электрическом разряде в газообразном водороде молекулы Нз диссоциируют на атомы, а атомы испускают свет строго определенных частот, которые группируются сериями: в видимой области 1так называемая серия Бальмера), ультрафиолетовой 1серия Лаймана), инфракрасной 1серия Пашена). Еще в доквантовый период было замечено, что все серии удовлетворяют простому уравнению 1ггЛ = к(1гпг — 1ггп2), в котором Л вЂ” длина волны испускаемого света, г1 — постоянная Ридберга, пг и п2— ггелые положительные числа.
Для серии Лаймана пг = 1, для серии Бальмера лг = 2, для серии Пашена пг = 3 1пг относится к первой линии серии). Для других линий в каждой серии лз = пг + 1 (для второй), лз = лг + 2 (для третьей), п2 = пг + 3 (для четвертой) и т. д. Таким образом, налицо явный признак квантования частоты испускаемого света. Атом водорода трехмерен, поэтому уравнение Шредингера должно включать кинетическую энергию во всех трех измерениях и будет иметь несколько более сложный вид, чем представленное в разделе 1.1 этой главы уравнение для одномерного движения.
При его решении с наложением граничных условий, которые вытекают из вероятностной интерпретации волновой функции, были получены следующие выводы. 1. Необходимо принять, что существуют три безразмерных квантовых числа, которые обозначают символами гг, / и лг. Появление квантового числа и вызвано тем, что электрон может менять свое расстояние от ядра. Квантовые числа 1 и лг связаны с угловым мо- 20 ментом количества движения электрона, которыи может вращаться вокруг ядра в трех измерениях. Число ! характеризует величину углового момента, а число т — ориентацию углового момента в пространстве, так как угловой момент--векторная величина. Допустимыми значениями квантовых чисел, которые вытекают из граничных условий, являются и = 1,2,3..., ! = О, 1, 2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
