Задачи общего физико-механического практикума по аэромеханике (1125742), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рис. 2 Обезразмернвание параметров задачи В аэромеханике в качестве обезразмерююющнх величин обычно берутся: Р— плотность набегающего потока, Р— скорость набегающего потока и Я вЂ” характерная плошадь обтекаемого тела (обычно это максимальное сечение плоскостью х = солзг ). В качестве третьей обезразмеривающей величины часто используется Š— характерная длина— вместо характерной плошади. В случае обтекания цилиндра в силу двумерности задачи обе зги величины можно считать одинаковыми и равными диаметру цилиндра 2Я (под плошадью сечения в плоском случае подразумевается площадь, приходящаяся на единицу длины цилиндра). С помощью этих трех величин можно обезразмернть любую размерную величину. Например, вместо размерной динамической вязкости Р 1 и можно рассматривать безразмерную — (равную, кстати, — ).
РК Е Ке Вместо размерного давления мы будем рассматривать безразмерный коэффициент лавления: Р Рх с,= 1 2 — р1' 2 Силе лобового сопротивления соответствует безразмерный коэффициент сопротивления 20 Х сх = — р~' Я 1 г Аналогично, можно ввести коэффициент лобового сопротивления, обусловленный давлением с =-1с созаЖ .Д =-, Интеграл Бернулли для несжимаемой легкой жидкости 1 г 1 г р+ — рГ =р + — рК 2 2 после обезразмеривания (деления на динамический напор — рГ ) пре- 2 2 вратнтся в более компактное выражение с =1 —— В соответствии с теорией размерности, обезразмеривание переменных и функций помогает моделированию задачи. В аэродинамике можно привести наиболее характерный пример — для определения аэродинамических характеристик летательного аппарата необходимо изготовить его «натурную» копию и, затем, прицепить его к другому летательному аппарату. Но такой эксперимент даст неточные результаты, поскольку за несущей конструкцией образуется турбулентный след и, таким образом, исследуемая конструкция будет обтекаться неравномерным потоком.
Лучше всего поместить эту конструкцию в аэродинамическую трубу. Однако, размеры современных летательных аппаратов могут достигать десятков метров — размеры рабочей части трубы должны хотя бы на порядок превосходить размеры обдуваемой конструкции — то есть быть порядка сотен метров. Труба, позволяющая проводить такие натурные эксперименты имеет гигантские размеры и, кроме того, продувка в такой трубе со скоростями, соответствующими скорости полета самолетов, получается достаточно дорогостоящей. Проще сделать уменьшенную копию — модель исследуемой конструкции и в относительно небольшой аэродинамической трубе сделать 21 продувку и измерить с„. В результате, можно определить силу, дейст- вуюшую на реальную, а не модельную, конструкцию по формуле Х = с„- р(' б 1 г где р, Г„и Я вЂ” плотность, скорость набегаюшего потока и сечение для обтекания реальной конструкции.
На вопрос почему с, можно считать одинаковым для маленькой модели и для реальной конструкпии отвечает П вЂ” теорема, которая говорит, что безразмерные величины (типа с,) не могут зависеть от размерных величин — то есть неважно, каков размах крыльев обтекаемой конструкции — десять метров или десять сантиметров — безразмерная величина будет одинакова, если соблюдается геометрическое подобие. Конечно, кроме геометрического еше должно быть соблюдено физическое подобие, другими словами должны быть одинаковы все безразмерные харак,о'г' Е теристики обтекания. В частности, число Рейнольдса Ве =— н безразмерная комбинация, значит величина с, от него зависит.
Таких безразмерных комбинаций в реальной задаче может быть достаточно много. К наиболее важным, помимо Ке можно отнести число Маха н )„' Е М„= —, число Фрула Рг = —, число Струхала ЯЬ = — — хараклзв ле' =)„г тернов время задачи). Однако, если мы будем рассматривать степень влиянна каждого из этих чисел на обтекание, то окажется, что, скажем, лля статических задач (т -+ с ) число Струхаля становится несущественным; при обтекании тела тяжелой жидкостью (например, водой) число Фруда влияет на течение, в случае же аэромеханики — обтекания «легким» газом, число Фруда учитывать не имеет смысла.
То же самое можно сказать о числе Маха при существенно дозвуковых течениях (когда скорость потока много меньше скорости звука азв . В итоге получается, что единственным важным параметром для с„является число Рейиольдса. Зависимость с от Ке для плохообтекаемых тел весьма характерна На рисунке 3 приведена такая зависимость для шара (качественно гра- фик с„= Ке для цилиндра точно такой же, только цифры несколько иные). Ю ~г зи Рнс. 3 Как видно из графика, при малых числах Рейнольдса коэффициент сопротивления падает (в соответствии с формулой Стокса).
Затем паление продолжается более медленно вплоть до Ке 5 10~, где достигается локальный минимум сопротивления. В области чисел Рейнольдса 2 10 -2 1О безразмерное сопротивление с„остается практически 4 5 постоянным. При Ке 2+3 1О наступает кризис сопротивления, вы- 5 званный турбулентностью — сопротивление лапает примерно в 4 — 5 раз. Задача данного пракпжума — найти одну точку на аналогичной кривой с„(Ке) для цилиндра. 23 Плоские задачи аэрогндромеханнии В азромеханике очень важной проблемой является задача обтекания несущих поверхностей (крыльев). В случае дозвукового течения крылья большого удлинения обладают преимушеством, поскольку у них мала индуктивная сосгавляюпаш сопротивлении.
Для таких крыльев пространственные эффекты обтекания проявляются только вблизи кромок — в относительно небольшой обласпь поэтому большую часть потока, обтекающего крыло можно считать двумерным Удобно рассмотреть предельный случай — крыло бесконечного размаха, но здесь возникает следующая проблема: при вычислении коэффициента с для крыла бесконечного размаха придется интегрировать по бесконечно большой поверхности. Чтобы обойти эту проблему введем щюфильвое сопротивление крыла за счет давления и соответствующий ему коэффициент профильного сопротивления.
В крыле (не обязательно бесконечного размаха) можно выделпь профиль — сечение плоскостью х = солзг, где г — координата, направленная вдоль образующей крыла. Профильным сопротивлением, обусловленным лавленнем, назовем следующий интеграл Хд = ) рсозгай С где! — элемент контура. Очевидно, что проинтегрировав профильные сопротивления по размаху крьша, мы получим обычное сопротивление: То есть Х' можно считать производной по координате з от обычного сопротивления Х. Но, обычно, величину профильного сопротивления интерпретируют следующим обрезом — если из крыла выделить элемент длины равный единице нв достаточном удалении от кромки крыла, то сопротивление этого элемента будет гам Х= )ХНг=Х' ц в силу того, что профильное сопротивление, в данном случае не зависит от г и интервал интегрирования равен единице. Итак: профнльное сопротивление — зто есть сопротивление элемента крыла единичной длины, который расположен достаточно далеко от кро мок крыла Для козффициента профильного сопротивления, обусловленного давлением можно написать формулу с,' = ~с',, созшб' с где 1 — безразмерный злемент интегрирования по контуру.
Обтекание контура идеальной жидкостью Итак, задача обтекания крыла воздухом, может быть существенно упрощена в силу большой удлиненносги крыла — можно считать течение двумерным — и в силу большого числа Рейнсльдса — можно считать что асе вязкие зффекты сосредоточены в тонком, по сравнению с размерами крыла, пограничном слое, а вне пограничного слоя, который пракпгчески не меняет форму крылоного профиля, можно считать обтекаемый воздух идеальной жидкостью. Кроме того, поскольку предполагается, что скорости много меньше скорости звука, течение можно считать несжимаемым. Данная задача, несмотря на существенные упрощения осталась все равно достаточно сложной в силу нелинейности уравнений, описываоших зто течение.
Однако, она допускает аналитическое решение. Уравнение неразрывности в декартовых координатах можно записать так здесь к и т — компоненты скорости. Поскольку на крыло набегает безвихревой поток и нет источников тепла, то в идеальном газе можно считать, что вихрей не будет и в самом течении.
Поскольку течение плоское, то у завихренностн в всего олна якомпонента: дв д$~ в,= — — — =0 ф бг Два последних уравнения составляют условия Коши-Римана— то есть из функций и н т можно составить голоморфную функцию комплексного переменного я = х+ 0 . Можно, так же понимать зтн два соотношения как замкнутую систему уравнений с граничными условиями: то есп* равномерный поток У на удалении от тела и условие непротекання на поверхности обтекаемого тела. Некоторое неудобство при решении такой задачи состоит в том„что на поверхности в граничное условие входят обе переменные и и и Поэтому, обычно, в таком виде задача обтекания не формулируется.
Гораздо удобнее воспользовавшись условием отсутствия вихрей в потоке, которое означает, что для поля скоростей Ч можно найти потенциал ф: ар дх д~~ бг Затем можно подставить эти соотношения в уравнение неразрывности— получится уравнение Лапласа: д'ф> д'ф7 — + — =О б„з С граничным условием только для <р на поверхности контура С н~ Такого рода задача называется задачей Неймана. Можно пойти другим пугем — в двумерном течении, в силу уравнения неразрывности, всегда можно ввести функцию тока: бд И=— бу др У--— ~Ъ Подставив эту функцию [и в уравнение отсутствии вихря, опять получим уравнение Лапласа д~у д~р — + — =О г б„з Граничные условия для <р: Это задача Дирихле.
26 Можно решать задачу Неймана, нли задачу Днрихле, но гораздо удобнее воспользоваться теорией функций комплексного переменного— ведь функции р и у~ так же как и и и т удовлетворяют условиям Коши-Риманаи м=р+юзг является пшоморфнойфункцней; преобразование, переводящее физическую плоскость з на плоскость и является конформным (конформность обеспечивает условие непротекания). Поскольку линии тока соответствуют линиям Ч = солзг, иа плоскости ю линии тока окажутся горизонтальными прямыми, а обтекаемый контур — отрезком на координатной линии р. То есть, если мы решили задачу обтекания, значит мы нашли функцию м, конформно переведшую наш контур на отрезок, лежащий на оси р (рис 4). УФ 1 Ю я/ — сопят Рнс. 4 Верно и обратное — если мы нашли конформное отображение, переводящее наш контур С в отрезок — значит мы можем определить все параметры течения. Например, продифференцировав и, мы получим комплексно-сопряженную скоростгс 27 др ,д~ и" = — + ~' — = и -л дх дх Взяв действительную часть ю' мы получим х- компоненту скорости, взяв мнимую часть с обратным знаком — получим у- компоненту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
