Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть Ц(х, у, г) означает возвышение возмущенной поверхности над уровнем покоящейся жидкости. Считая давление р в возмущенной жидкости на глубине равным гидростатическому, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в слое, принимая за функцию, характеризующую процесс: 1) Дх,у,1): 2) потенциал (горизонтальных) скоростей частиц жидкости, если давление ре на поверхности жидкости остается постоянным (см. задачу 7 гл.
П, 3 1). ') Геометрическая поверхность. Предполагается, чта за рассматриваемое время границу раздела газов Е можно считать бесконечно тонкой поверхностью. з) См. гл. П,. ез 1, а также (7, с. 31- 34). Гл. Уй уравнения гиперболического и~ива Ех 7«у 7хх (Д) = 7ох ео 7«х хо Ех В случае, когда среда является однородной и изотропной, компоненты тензора напряжений (см, ответ к предыдущей задаче) т. х тих а компонентами тензора дефор- и, т,„ (Н) = т„, еео тхх тх, связаны следующими соотношениями с маций: а, = ЛО -~-2ее —, оо —— ЛО+ 2ее дх' д. д — и- = ЛО -~-21е —, ду' - д.
' 1дш д.'1 т„, = тх„ = р ~ †, + — ~, тхх 'Л ду дг/ ') «Продольные» упругие волны распространяются быстрее «поперечных». 10. Поставить краевую задачу 9 для случая, когда ро является заданной функцией х, у, е, принимая за функцию, характеризующую процесс, потенциал горизонтальных скоростей. 11.
Вывести уравнения движения центра масс бесконечно малого элемента упругой среды, беря элемент в виде прямоугольного парал- лелепипеда с ребрами, параллельными осям координат. 12. Пользуясь законом Гука для однородной изотропной упругой среды, представить уравнения движения, найденные в предыдущей задаче, в форме, содержащей только составляющие вектора объемных сил и вектора смещения 11 = йи(х, у, г, 1) + у и ( х, у, г, 1) + кш(х, у, г, 1), и доказать, что «всестороннее растяжение» О = е)1н 11 и вихрь Ю = = гот Гг удовлетворяют, каждый в отдельности, волновому уравнению деР 2 Л+ 2Р Даламбера — = а Ьу, причем для О константа а =, а для.В д21 Р 2 р ю константа а Р Примечания.
1. Всякий вектор ГТ однозначно определяется по его расходимости йн Г1 и вихрю гое 11 (см. [14, с. 209)). 2. Форма элемента упругой среды, имеющего в недеформирован- ном состоянии вид, описанный в задаче 11, в деформированном состо- янии определяется величинами ди ди ди е,= —, ео — — —, е.= —, дх' " ду' ' дг' до ди до дш 7хо = 7ох = " 7ох = 7хо = — + — ) дх ду' дг дд ' дш ди дх дх' образующими тензор деформации Условия задач (да ди 1 т =т„=р~ — + — ) )х дя ду з) где О = йя 1У, а Л и р — константы Ламэ, связанные следующим образом с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ви р(зл+ гр) л Л -Ь и ' 2(Л+ р) Коэффициент Пуассона пз характеризует отношение к продольному растяжению соответствующего поперечного сжатия. Модуль сдвига С = р.
13. Представляя вектор объемных сил в виде Е = 8габ Ф + гоб В (о возможности представления произвольного вектора в таком виде см. ~14, с. 209)), доказать, что если р —, = (Л+ 2р)Ьр+ Ф, р —, дар да А дР дР = дЬА + В, то вектор Г = 8габ аз + го1 А удовлетворяет уравнениям движения, полученным в задаче 12. 14. Задача о распространении возмущений в упругой среде называется плоской, если составляющая ю вектора смещения Е7 и составляющая Я вектора плотности объемных сил Е = 4Х + уУ + ЙЯ равны нулю, а остальные величины не зависят от я.
Например, задача о распространении деформаций в тонкой пластинке, вызванных силами, действующими в ее плоскости, является плоской ). Показать, что в случае плоской задачи вектор смещения Г выражается через два скалярных потенциала, каждый из которых удовлетворяет соответствующему волновому уравнению. 15. Выразить через компоненты вектора ьу и тензора (Н) (см. задачу 12) граничные условия для распространения упругих возмущений в однородном изотропном полупространстве, если ограничивающая плоскость а) свободна, б) фиксирована жестко. Выразить для плоской задачи эти граничные условия через скалярные потенциалы (см.
задачу 14). 16. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях круглой цилиндрической трубы под действием радиальной силы Е(г,б), где ЕГт,1) — сила, приходящаяся на единицу массы, отстоящую на расстоянии т от оси трубы. 17. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях упругой сферической оболочки т1 < т < тз под действием переменного давления р(1) во внутренней полости. 18.
Вывести дифференциальное уравнение для отклонения от не- возмущенного состояния точек тонкой изотропной однородной пластинки, совершающей малые поперечные колебания. Рассмотреть,в частности, случай, когда пластинка лежит (и прикреплена) на упругом основании. Примечание. Задача о поперечных колебаниях пластинки является двумерным аналогом задачи о поперечных колебаниях стержня (см. 6' 1 гл. П). ') Более подробно см. )26, с. 92).
Р01 Гл. У1. Уравнения гиперболического типа 19. Переходя к полярным координатам, поставить краевую зада- чу о поперечных колебаниях круглой пластинки, если край пластинки защемлен жестко. 20. В начале координат неограниченного пространства х,у,г, представляющего собой вакуум, находится электрический диполь, па- раллельный оси я. Момент диполя меняется по закону Мо =сопэ1, — оо <1(0, М= Мз = Ма соз ы1, 0 < 1 < +со. Поставить краевую задачу об определении электромагнитного по- ля, порожденного диполем, при 1 > О. 3 2.
Простейшие задачи; различные приемы решения 21. а) Решить краевую задачу ип = овеяли, — оо < х, у, г < +ос, 0 < 1 < +со, (1) и~, „ = ув(г), ие~ = ерш, гз = хз + у + г~, .О ( г < +ос. (2) б) Найти 1пп и(х,у,г,1). е,ул-ло 22.
Решить краевую задачу иее — пзЬи+((г,1), г = ха+уз+я, 0 ( г < +со, 0 < 1 < +со, (1) и), о — — О, ие!е=о = 0 (2) 23. Решить краевую задачу иге=а Ьи, — оо<х,у,я<+ос, 0<1<+ею, (1) при начальных условиях: ( 11о = сопэ1 а)и~, =~ 0 внутри сферы радиуса го, вне этой сферы, ие(, о = 0 всюду: ( с10 = ползу б) ие~е — а= ~ 0 внутри сферы радиуса го, вне этой сферы, б) ~,-! = О. и~ = 0 всюду. 24. В начальный момент времени 1 = 0 газ внутри сферического объема радиуса го сжат так, что возмущение плотности р = ры а вне объема р = О. Начальная скорость частиц газа равна нулю во всем пространстве.
11айти движение газа при 1 > О. 25. Решить задачу 23, б) для полупространства г > О, если центр сферы находится в точке (О, О, га), га > ео, .рассмотреть частные случаи, когда: 102 Условия задач 26. Решить задачу 23,б) для двугранного угла у > О, н > О, если центр сферы находится в точке (О,уо;яо) до > го, яо > го; рассмотреть случаи, когда: о — — О, лл„-~ о — — О; б) ллн~ о —— О, и~ о — — О. 27. Неограниченное пространство заполнено покоящимся идеальным газом. В момент времени 1 = О в некоторой фиксированной точке этого пространства начинает непрерывно действовать сферически симметричный источник газа мощностью л)(1).
Найти потенциал скоростей частиц газа при 1 > О, предполагая возмущения, вызываемые источником, малыми. 28. Решить предыдущую задачу, если источник находится: а) внутри двугранного угла —, где и — целое число, большее и нуля; б) внутри плоского слоя, О < я < 1, причем ограничивающие плоскости являются неподвижными. 29. Из решения краевой задачи илл — — азлззи+ 1(х,у.,з,т), — оо < х.,у.,з < +ос, О < 1 <+ос, и~, = Ях,у,я), ил~ = рл(х,у,я), — оо < х,у,я < +со, методом «спуска» ) получить решение краевой задачи илл = а алаи'-~-1*(хцр,1), — со < х,д < -~-оо, О < 1 <+со, и'~, = ~р*(х,лу), ил*~ = ф'(х,лу), -сю < х,у <+ос. 30. Из решения краевой задачи ип = азлззи жги+1(х,у,я.,1); — со < х,.у,я <+со, 0 <1<+со, ~,,=Ф "у, ), ~,,=Ф(*,д, ), — <:у: <+~, методом «спуска» ) получить решение краевой задачи и", = а~лззи* хе и*+)*л,х,у,1), — оо < х,у < +со, 0 < 1 < +ос, ~л-о з~ ~™)' лЬ вЂ” о т л 'д)' х:у + 31.
На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом., непрерывно распределены источники газа, начинающие действовать в момент 1 = О, причем мощность источников единицы длины этой прямой равна 0(1). Найти потенциал скоростей частиц газа при 1 > О, предполагая, что возмущения, вызываемые источниками в окружающем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, несущей на себе источники).
32. Решить предыдущую задачу для квадранта х > О, у > О, ограниченного абсолютно твердыми плоскостями х = О, у = О, если прямая, на которой расположены источники, параллельна оси я и определяется координатами хо, уо, хо > О, уо > О. ') См. )7, с. 408 410); )2, т. 11, с. 553-.555). л) То же. 103 Гл. У1. Уравнения гиперболического пшпа (2) (4) ') См, задачу 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
