Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Рассмотреть случаи, когда: а) на поверхности сосуда поддерживается концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаема,: в) стенка сосуда полупроницаема. б) Неоднородные среды; сосредоточенные 4анторьь 23. Найти температуру балки прямоугольного поперечного сечения 0 ( х < (ы 0 < у < 1г, составленной из двух однородных балок [с различными физическими свойствами) с поперечными сечениями О ( х ( хо, О ( д ( 1г и хо ( х ( 1ы 0 < у < 1г, торцы балки теплоизолированы, а боковая поверхность поддерживается при температуре, равной нулю. Начальная температура балки равна [,,=У[х,у).
О<х<1„0<у<1,. 24. Найти температуру прямоугольного параллелепипеда, составленного из двух однородных прямоугольных параллелепипедов [О < (х (хо,О(у(1г,О(г(1з) и [хо (х(1ы 0(у(1г,О( г(1з), изготовленных из различных материалов. Поверхность составного параллелепипеда поддерживается при температуре, равной нулю, а его начальная температура равна и[, о —— з[х,у,г), 0<х<1ы 0<у<ы1г, 0<г<1з. 25. Шар 0 < т < г г составлен из однородного шара 0 < т < то и однородной сферической оболочки то < т < ты изготовленных из различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температ ра шара равна у и[, „= 1[т), 0 < т < ты 26.
Во внутренней полости толстой сферической оболочки т, < < т ( тг содержится жидкость с очень большой теплопроводностью, т.е, такая, что ее температура все время равна температуре внутренней поверхности оболочки. Найти температуру оболочки, если ее внешняя поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна "[е=о тг ~ (т ~ (тг. 2.
Краевые задачи, требующие применения специальных функций. В настоящем пункте рассматриваются такие краевые задачи для областей, ограниченных плоскостями, сферами и круговыми цилиндрами, решения которых выражая>тся рядами по общим собственным функциям оператора Лапласа для этих областей, т.е. таким собственным функциям, в состав которых входят цилиндрические или сферические функции.
а) Однородные средьь 27. Решить задачу о нагревании бесконечного круглого цилиндра 0 < т < то, начальная температура которого равна нулю, а на его Ра. К Уравнения парабоаичееноео типа поверхности поддерживается температура Ц~ = сопзФ. Найти также в условиях регулярного режима приближенное выражение для темпе- ратуры, средней по поперечному сечению цилиндра. 28. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра при условии,что начальная температура равна ~,=.=11 ( -"1' Я): а на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Най- ти в условиях регулярного режима приближенное выражение для тем- пературы, средней по поперечному сечению цилиндра.
29. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра О < г < < го, если его начальная температура равна и~ о= оо = сопят а на его поверхность с момента 1 = О извне подается постоянный теп- ловой поток плотности о. 30. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра радиу- са го, если начальная температура равна и~, = У(г)., О < г < го, а на поверхности цилиндра происходит конвсктивный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Рассмотреть, в частности, случай, когда 1) г) = Уо = сопев, и написать приближенное выражение для температуры в условиях регулярного режима. 31.
Начальная температура неограниченного круглого цилинд- ра О < г ( го равна 1~(, о= Но = солне, а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна Г1 — — сопзс. Найти температуру цилиндра при ~ > О. 32. Решить предыдущую задачу., если температура среды рав- на Уз + о1, где Гз и о постоянные. 33. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра О < г < < то в момент ~ = О мгновенно установилось постоянное магнитное поле Но,параллельное оси цилиндра.
Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра при ну- левых начальных условиях: найти затем поток магнитной индукции через поперечное сечение цилиндра. 34. Решить предыдущую задачу, если напряженность внешнего магнитного поля равна Н = Но соя ы1, Но = сопзС, О < 1 ( +ос. 35. Начальная температура бесконечной круглой цилиндрической трубы гз < г < гз равна и~ = ~(г), г1 (~ г ~ (гз.
Найти температуру трубы при 1 > О, если на ее внутренней по- верхности поддерживается температура У1 = сопз1в а на наружной поверхности температура Уз = сопок 88 Услееин задач 36. Температура бесконечной круглой цилиндрической трубы равна нулю при ~ < О. С момента ~ = 0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи постоянный тепловой поток плотности Гг, а внут- ренняя поверхность трубы поддерживается при температуре, равной нулю. Найти температуру трубы при ~ ) О.
37. Решить задачу об остывании бесконечной круглой цилиндри- ческой трубы, на внешней и внутренней поверхностях которой про- исходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. В начальный момент времени труба была равномерно нагретой. 38. Между двумя концентрическими цилиндрами бесконечной длины находится вязкая жидкость. В момент ~ = 0 внешний цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью аг = сопзи Определить скорость движения жидкости. 39.
Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 < < т < то, если его начальная температура равна и~ о= у(т, 9г), О < г' < то, О ( уг ( 2я, а на поверхности поддерживается температура, равная нулю. 40. Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 < < г < то, если его начальная температура равна гг~с==1(т ~Р), 0<с<то, 0<уг<2я, а на поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 41. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы тг ( т ( тг, если ее начальная температура равна и~ „= ~(т, уг), г г < т < гг, О < ~р < 2тб а на внешней и внутренней поверхностях поддерживается температу- ра, равная нулю.
42. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы т, ( т < тг, если ее начальная температура равна и~, =Д(т, р), тг <г'<гг, 0<~р<2тб а на внешней и внутренней поверхностях происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 43. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора 0 < т < то, 0 < р < ро, если на поверхности т = то и гранях уг = 0 и уг = ро поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна 'и~,, = 1(т, уг), О < т < то, О < уг < уго. 44.
Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора 0 ( т < то, 0 < ог < ого, если на поверхности т = то происходит кон- вективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, грани р = 0 и р = уо теплоизолированы, а начальная температура равна и~, о=~(т,гр), 0<г <то, 0(уг«ро. 89 Рл. К Уравнения параболического типа 45. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора т, < т < тя, 0 < гр < ро, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна и~ =1л(т,гР), тг <т<гг, 0<гР<гРо.
46. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора тг < т < тз, 0 < р < ро, если на поверхностях т = тг и т = = тз происходит конвективный теплообмен со средой, .температура которой равна нулю, грани гр = 0 и гр = гро теплоизолированы, а начальная температура равна и~ =1(т,гр), тг <т< та, 0 < За <гро.
47. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 < т < то, 0 < р < 2х, 0 ( я < 1, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю, если начальная температура равна и(, = 1(т, ~р, е), 0 < т < то, 0 ( ~р ( 2н, 0 < е < й 48. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 < т < < то, 0 < гр < 2н, 0 < е < 1, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру, равную нулю, если начальная температура цилиндра равна и~ о=1(т,грре), 0<~ <то, 0(р(2н, 0<я<5 49. Решить задачу об остывании шара радиуса то, на поверхности которого поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура шара равна и~в=о=У(т 0 уз), 0<т<то, 0(0(х, 0(р(2х 50.
Решить задачу об остывании шара радиуса то, если на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура шара равна и~, = 1" (т, 0, р), 0 < т < то, 0 ( 0 ( х, 0 ( ~р ( 2х.
51. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки тг < т < тя, на внешней и внутренней поверхностях которой поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура оболочки равна и~ =1(т,0,гр), тг <т <та, 0(0(х, 0(гр(2х. 52. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки тг < т < тз, на внешней и внутренней поверхностях которой происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура оболочки равна и~ = ~(т, О, |р), тг < т < тз, 0 ( 0 ( н, 0 ( ~р ( 2х. б) Неоднородные среды; сосредоточлтнные факгпоры. 53.
Неоднородный круглый цилиндр 0 ( т < ты 0 < р < 2я, 0 < е < 1 составлен из однородного цилиндра 0 < т < то, 0 < ~р < 2я, 0 < я < 1 и однородной цилиндрической трубы то < т < ты 0 < гр < < 2х, 0 < я < 1, изготовленных из различных материалов. 90 Условия задач Найти температуру составного цилиндра, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна п~ ев Д(г'|р'з)' 0<с<хм 0 < у <2з' 0<я<5 54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
