Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Воспользовавшись предложением, сформулированным в предыдущей задаче, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для плоского слоя -со < х, у < +оо, 0 < я < й Рассмотреть случаи, когда на граничных плоскостях я = 0 и з=й а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция; в) одна из граничных плоскостей (я = 0) теплоизолирована, а на другой (я = с) поддерживается нулевая температура; г) на обеих граничных плоскостях происходит конвективный теппообмен со средой нулевой температуры. 85.
Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла дпя неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 < х < )ы 0 < у < 1з, — со < х < +со, если на поверхности балки: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция. 86. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для прямоугольного паралпелспипсда 0 < х < 1ы 0 < у < 1з, 0 < г < 1з.
Рассмотреть случаи, когда поверхность параллелепипеда: а) поддерживается при нулевой температуре; б) теппоизолирована. 95 Рл. К Уравнения параболического типа 8Т. Методом отражений построить функцию влияния мгновен- ного точечного источника тепла для неограниченного клина с углом раствора я/пчо где т натуральное число. Рассмотреть случаи, когда граничные плоскости оо = 0 и во = я/т: а) поддерживаются при температуре, равной нулю: б) теплоизолированы. 88.
Найти распределение температуры в неограниченном прост- ранстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на сфери- ческой поверхности радиуса г выделилось мгновенно Я равномерно распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгно- венного сферического источника тепла.) 89. С помощью функции источника, найденной в предыдущей за- даче, решить краевую задачу ди /дои 2 диз~ — =а 1, + — — ~+у(г, е), 0<г,1<+ос, д1 ~,дго е дг/ и(г, О) = Е(г). О < ~ <+ос, ° = оз'+7 +'л 90. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на каждой единице длины бесконечной цилиндрической поверхности ра- диуса г' выделилось 12 равномерно распределенных единиц тепла.
(По- строение функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.) 91. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей зада- че, решить краевую задачу — =и, + — — +~(г,1)., 0<г,1<+ос, (1) и(г, 0) = Е(г), 0 < г < +оо, где г — т/тз + 92 92. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника для уравнения диффузии, если среда, в которой происходит диффузия, движется с постоянной скоростью и относительно рассматриваемой системы координат.
93. Найти функцию влияния неподвижного точечного источника постоянной мощности для уравнения диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью и в направлении оси 25 если процесс диффузии стационарен и если переносом вещества в направлении оси л можно пренебречь по сравнению с переносом за счет движения среды (см. задачу 2). 94.
Решить предыдущую задачу для полупространства 0 < з < < +со, рассмотрев случаи, когда: а) плоскость з = 0 непроницаема; б) на плоскости 2 = 0 поддерживается концентрация, равная нулю; в) плоскость е = 0 полупроницаема, причем под ней (т.е. при 2 < 0) поддерживается концентрация, равная нулю. Услееин задач 95.
Найти концентрацикс диффундирующего вещества в неогра- ниченном пространстве, выделяемого точечным источником мощнос- ти ~(с) с координатами х = ссзф, у = ф(1), х = зс(с), если начальная концентрация этого вещества в пространстве равна нулю. 96. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- ниченном пространстве, начальная концентрация которого равна )' ссе = сопку при 0 < г < ге, и~ с=о О при са <с <+ос, где г радиус-вектор сферической системы координат. 97. Решить предыдущую задачу для полупространства х > О, предполагая, что ге < га, (0,0,ха) координаты центра сферы, в ко- торой начальная концентрация равна Га. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость х = 0 непроницаема для диффундирующего ве- щества; б) на плоскости я = 0 поддерживается концентрация, равная нулю.
98. Найти концентрацию диффундируюшего вещества в неогра- ниченном пространстве, если его начальная концентрация равна )'~Уа = соссзФ при О ( г < га, "~=- -10 при га <г <+со, где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат.
99. Решить предыдущую задачу для полупространства х > О, предполагая, что цилиндр параллелен оси х и его ось пересекает плос- кость х = 0 в точке (ха, 0), где хе > га. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость х = 0 непроницаема для диффундирующего ве- щества; б) на плоскости х = 0 поддерживается концентрация, равная нулю.
100. Канал с вертикальными стенками и непроницаемым дном внезапно заполняется водой так, что в одной его части, при х < О, по- лучается уровень воды Нс = соссз1з а в другой, при х > О, уровень воды Нз = сопвФ, и в дальнейшем эти уровни поддерживаются неизменны- ми (см. рис, в ответе задачи, вертикальная ось Н перпендикулярна к плоскости чертежа). В начальный момент уровень грунтовых вод в грунтовом слое у > 0 равен Но = сонэк Считая, что слой лежит на непроницаемом основании, являющем- ся продолжением дна канала, найти уровень грунтовых вод Н(х, у, 1) при 1 > 0 (у > 0). 101. На поверхности сферической полости 0 < г < га неограни- ченного пространства температура должна меняться по закону п~„„= ус(1), где ус(С) заданная функция времени: начальная тем- пература пространства равна нулю. Какой тепловой поток нужно подавать из сферической полости в пространство для обеспечения такого закона изменения температуры на поверхности полости? Глава 171 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят динамические задачи механики сплошных сред (акустики, гидродинамики, аэродинамики, теории упругости) и задачи электродинамики ~).
В настоящей главе рассматривается постановка и решение краевых задач гиперболического типа для функций двух или большего числа независимых переменных, так что эта глава является продолжением и развитием гл. П, в которой рассматриваются задачи гиперболического типа лишь для функций двух независимых переменных. Как и в гл. П, колебания сплошных сред всюду в этой главе считаются малыми в общепринятом смысле слова. З 1. Физические задачи, приводягцие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В этом параграфе рассматривается постановка краевых задач для процессов механики сплошных сред.
Постановка краевых задач злекз~ тродинамики рассматривается в гл. 117 1. Поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в однородном идеальном газе, заполняющем неограниченное пространство, принимая за функцию, характеризующую процесс, одну из величин: плотность газа р, давление в газе р, потенциал скоростей !з~ частиц газа П, вектор скорости частиц газа и = ги~ ) + 7и' ' + Йи~ ), потенциал смещений частиц газа Ф, или вектор смещения частиц газа и = йиб) +,уи~ ) + ми~~). Показать, что через каждую из этих величин может быть выражена любая другая из этих же величин.
2. Вывести граничные условия для потенциала скоростей частиц газа 17 ), потенциала смещений Ф, плотности р и давления р на плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное этим газом. 1) Уравнения релятивистской теории тяготения при известных пренебрежениях также принадлежат к гиперболическому типу. з) См, также ~7, с. 440-45Ц. з) По поводу обозначений см, ответ к задаче 1. 98 Услееин задач Рассмотреть случаи, когда зта плоскость: а) неподвижна, б) движется с дозвуковой скоростью в направлении своей нормали по заданному закону. 3.
Пространство заполнено двумя различными идеальными газами, границей раздела которых является поверхность Х 1). Предполагая, что невозмущенные давления в обоих газах одинаковы, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в газе. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембраны с неподвижно закрепленным краем, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембраны.
П р и м е ч а н и е. Задача о колебаниях мембраны является двумерным аналогом задачи о колебаниях струны ). 5. Поставить краевую задачу о колебаниях мембраны, натянутой на отверстие замкнутого сосуда, учитывая изменение давления в сосуде, вызываемое колебаниями мембраны, и считая скорость распространения малых возмущений в газе значительно большей скорости распространения волн в мембране (задача о колебаниях мембраны барабана). 6. Вывести уравнение распространения малых возмущений в газе, движущемся с постоянной скоростью относительно выбранной системы координат.
7. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании неподвижного клина симметричным плоскопараллельпым потоком идеального газа. 8. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном обтекании круглого конуса идеальным газом в направлении оси конуса, считая невозмущенный поток однородным, а возмущения, вызванные конусом, малыми. 9. Пусть уровень идеальной жидкости в бассейне с горизонтальным дном и вертикальными стенками в невозмущенном состоянии равен 6 = сопз1. При малых колебаниях свободной поверхности могут возникнуть движения, при которых частицы жидкости, лежащие на любой вертикали, движутся в горизонтальных направлениях одинаково.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
