Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(2) А ,/Т+ тг~бг 110. Найти радиально симметричные поперечные колебания неограниченной пластинки, решив краевую задачу 2 д'и,/д' 1 д'1 — + Ь вЂ”, + — — и = О, 0 ( г < +со, 0 < 1 < -ьос, (1) дбг ~,дгз г дт) и(г,О) =11т), иг1т,О) =О, 0<с<+со. (2) Рассмотреть, в частности, случай, когда Дг) = Ае " г", 0 < г < +ос. (2') 111. Найти радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки 0 < г < +ос, если точка г = 0 этой пластинки с момента 1 = 0 движется по заданному закону. Рассмотреть, в частности.
случай, когда ) А11в — 1), О (1( 1в, гг(Ог) = ~ О., 1в < з < +ос. Гл. Уй уравнения гиперболического пшпа 113 112. Найти чисто вынужденные радиально симметричные поперечные отклонения точек неограниченной пластинки 0 < г < +оо под действием распределенных поперечных сил с плотностью р1т, 1) = 16рЬЬ11т) бо'Я, — оо < 1 < +со, гдв 26 — толщина пластинки, р — плотность массы пластинки, й имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах ), усф = дз ф1г) зависит только от 1, а 1 Я зависит только от о.
Рассмотреть, в частности, случаи, когда: а) движение пластинки вынуждается сосредоточенной поперечной силой 16рйб ф'(1), — оо < 1 < +со, приложенной в точке т = 0„. б) движение пластинки вынуждается поперечной силой 16рйЬ ф'(1), — < 1 < + равномерно распределенной по кругу 0 < т < а; в) описанная в пункта б) сила действует в течение времени 1в, а именно 0 при — ос<1<0, ф'ф = фв = сопз1 при О <1< 1о, 0 при 1в <1 < -~-оо, дать асимптотичсские формулы для представления решения при ма- лых и больших значениях т; г) р(т,г) = ., с "1' 1'(1), — оо < г <+ос,: д) найти поперечные скорости точек пластинки при р(т,1) =,, с " 1с б(1), — оо <1 < +ос, 4Арб та са са где В1г) — импульсная дельта-функция (т.е.
в момент Г = 0 пластин- ка получает поперечный удар с непрерывно распределенным импуль- сом — с " 1с ). 4Арй,.г,л сг 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников. а) Функции влияния мсновснных сосрсдотаочснньсс импульсов. 113. Построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса единичной мощности для уравнения им=а Ьзи 2 в неограниченном пространстве х, у, г, считая сначала, что импульс имел место в начале координат в момент 1 = 0; найти функцию влияния, решая краевую задачу ии = азЬзи, — оо < х, у.
г < +ж., 0 < 1 < +ос, (1) и~с в — О, исус о — б(х)б(У)б(г), -оо<т,У,.<+сю, Р) П Подробнее см. задачу 18. 8 Б.М. Булак и др. 114 Условии задач а затем перейти к случаю, когда импульс имел место в точке 1й,у,~) в момент 1 = т. 114.
Решить предыдущую задачу для уравнения им=а Ьзижс и. 2 2 115. Решить двумерный аналог задачи 113. 116. Решить двумерный аналог задачи 114. 117. Разделением переменных построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для первой, второй и третьей краевых задач для уравнения ии = а Ьзи: 2 а) для прямоугольной мембраны 0 < х < 1ы 0 < у < 1з,. б) для круглой мембраны 0 < г < го, 0 < 1о < 2п, 118. Методом отражений построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса для уравнения ип —— а Ьзи х с и для г 2 угла 0 < вз < —, где и — — целое число, большее нуля, если на граничи ных лучах уз = 0 и ~р = — выполняется граничное условие второго рода.
119. Пусть плоская область С ограничена кусочно гладким контуром Г. Предполагая возможным применение формулы Грина- Остроградского, связывающей криволинейный интеграл с двойным, найти решения а) первой, б) второй и в) третьей краевой задач для УРавнениЯ ип = а Ьзи х с и + 7 (х, У, 1) пРи неодноРодных начальных з з и граничных условиях, если известна функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса для каждого из перечисленных случаев.
120. С помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, найденной в решении задачи 113, вывести формулу Кирх- гоффа ) ДлЯ УРавнениЯ им = а Ьзи+ 7(х, У, з,1). б) Функции влиинии непрерывно действующих сосредоточенных исто ~ников. 121. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной могцности Я) (7(1) = 0 при г < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для уравнения ии = а Ьзи, т.
е. решить краевую задачу 2 им = а~Ьзи + й(х — хо)Б(у — уо)й(з — зо) ~Я: — со < х, у, з < +со, 0 < 1 < +ею, (1) и), =и~), =О. (2) 122. Построить функцию влияния непрерывно действующего сосредоточенного источника переменной мощности 7(1) ®1) = 0 при 1 < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для урав- ') См. )7, с. 414-417].
Гл. У!. Уравнения гиперболического и~ива пения им = а ваги, т.е. решить краевую задачу 2 им — — агеелги + б(т — то)д(У вЂ” Уо)1Я, — оо < х, у < -ьсо, 0 < 1 < +со, (1) и(, = О, и~), = О. (2) 123. Построить функцию влияния непрерывно действующего со- средоточенного источника переменной мощности 1(е) (1(г) = 0 при 1 < 0), движущегося по произвольному закону, для уравнения ип = = а Ьзи, т. е. решить краевую задачу иее = а йзи+ б(х — Х(1))б(у — У(1))б(г — Я(С))1(1), — оо < х, у, г < +со, 0 < 1 < +ос, (1) 1е=о = ие~еьо =0 (2) где Х(г), У(г), Я(е) координаты источника; Х(0) = У(0) = Л(0) = = О. В частности, найти функцию влияния сосредоточенного источ- ника, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью и; рассмот- реть случаи, когда: а) и < и; б) и > и.
124. Учитывая, что если источник обладает постоянной мощ- ностьнз д и движется прямолинейно с постоянной скоростью и, то в системе координат, движущейся вместе с источником, процесс будет стационарным, найти функции влияния такого источника: а) при о < а; б) при о > и; отбрасывая члены с производными по времени в урав- нении колебаний, преобразованном в этой движущейся системе коор- динат. 125. Найти электромагнитное поле, создаваемое электроном, дви- жущимся в диэлектрике прямолинейно с постоянной скоростью, пре- вышающей скорость света в этом диэлектрике (электрон Черенкова). 126.
Решить краевую задачу 20. 12Т. Найти колебания упругой изотропной однородной среды, за- полняющей все неограниченное пространство, вызванные непрерывно действующей силой г (1) (г (г) = 0 при г < 0), приложенной к опре- деленной точке среды и параллельной фиксированному направлению. Глава. з1П УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~1~и+ си = — у З 1. Задачи длн уравнения 2и — хэи = — 1" В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые задачи для уравнения эллиптического типа Ьи — хэи = О (х~ ) О), (1) к которому приводят, например, задачи о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии.
Уравнение (1) имеет фундаментальные решения: е а) ис(М) = в трехмерном пространстве; б) ио(М) = Ко(хт) на плоскости (г расстояние точки М от начала координат). Функция Кс(х), как известно, имеет при х = О логарифмическую особенность и экспоненциально убывает на бесконечности. Метод разделения переменных при решении уравнения (1) часто приводит к уравнению Бесселя для мнимого аргумента л 1 р +-р — 1+ — р=о, х ),, х / общее решение которого имеет вид р = А1,(х) + ВК,(х), где 1,(х) и К,(х) — — цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода.
Функция 1,(х) ограничена при х = О и экспо- ненциально возрастает при х -> оо. 1. Определить стационарное распределение концентрации неус- тойчивого газа в неограниченном пространстве, .создаваемой точеч- ным источником газа мощностью (~с. 2. Точечный источник неустойчивого газа расположен на высо- те ~ над газонепроницаемой плоскостью х = О. Найти стационарное распределение концентрации. 3. Построить функцию точечного источника для уравнения Ьи — х и = О на плоскости и дать ей физическую интерпретацию. 2 4.
Решить задачу 3, предполагая, что плоскость р = О газонепро- ницаема. 117 Гл. У11,Уравнения эллиптического тапа 5. Построить функцикв источника для уравнения диффузии не- устойчивого газа, если источник находится внутри слоя (О < г < 1), ограниченного газонепроницаемыми плоскостями г = 0 и г = 1. 6. Решить аналог задачи 5 для двумерного случая. 7. Точечный источник неустойчивого газа помещен внутри беско- нечной цилиндрической трубы с газонепроницаемыми стенками. Определить стационарное распределение концентрации газа, считая, что сечение трубы может иметь произвольную форму.
8. Построить функцию источника для уравнения Ьи — эсзи = 0 внутри сферы при граничном условии второго рода. 9. Точечный источник газа действует в неограниченной среде, движущейся с постоянной скоростью оо. Найти стационарное распре- деление концентрации газа. 10. Найти стационарное распределение концентрации неустойчи- вого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентра- ция и~ = ио. Е 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
