Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Решить задачу об остывании бесконечной цилиндрической трубы гг < г < гз, заполненной охлаждающей жидкостью, если температура охлаждающей жидкости все время равна температуре внутренней поверхности трубы, а внешняя поверхность теплоизолирована. Начальная температура трубы равна — з (г) г~ < г < гз.
55. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на внешней поверхности трубы происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 56. Цилиндр радиуса гз с моментом инерции К на единицу длины погружен в жидкость и приводится во вращение моментом М = сопя| на единицу длины. Определить движение жидкости и цилиндра, если жидкость заполняет пространство между цилиндром и не|юдвижной коаксиальной трубой с внутренним радиусом гя ) гм Цилиндр и трубу считать бесконечно длинными. В начальный момент времени цилиндр и жидкость покоились.
57. Вне полого цилиндрического проводника гг < г < гз бесконечной длины в момент ~ = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Не,параллельное оси проводника. Найти магнитное поле в проводнике при нулевых начальных условиях, предполагая, что во внутренней полости оно однородно, а также что вне и внутри трубы вакуум. 58. Неоднородный шар 0 < г < г1 составлен из однородного шара 0 < г < гд и однородной сферической оболочки гв < г < гг, изготовленных из различных материалов.
Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна и~, = 1(г, О, ~з), О < г < г,, О < 0 < х, О < зз < 2я. ~ 3. Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматривается применение интегральных представлений к решению краевых задач теории теплопроводности.
Сначала идут задачи на применение интеграла Фурье, затем на построение и применение функций источников. 1. Применение интеграла Фурье. 59. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, начальная температура которого равна и~, = у(х, у, з), — оо < х, 9, з < +~ю. Рассмотреть также частный случай, когда ) (х, д, з) не зависит от ю Гп. К Уравнения парабопичееного пшпа 60. Е1айти температуру неограниченного пространства, вызванную непрерывно действующими источниками с плотностью д(х, д, г,1),: начальная температура пространства равна нулю.
Рассмотреть также частные случаи, когда д(х, д, г,1) не зависит от 1 и когда д(х, р, г,1) не зависит от г. 61. Решить краевую задачу ие = азези, — оо < х, д < +ос, 0 < г < -~-оо, 0 < 1 < +со, и~ =О, — <,р<+, 0<с<+ и~, = 1(х, р, г), — оо < х, д < +ею, О < г < +ос. Рассмотреть также частный случай, когда у нс зависит от д. 62. Решить краевую задачу ие — — а Ьи., — оо<х,д<+со, 0<в<+со, 0<1<+оо, и~ = у(х, д, г), — со < х, д < +ос., 0 < 1 < +со, ~, „=О, — <х,р<+, О<я<+ Рассмотреть также частный случай, когда 1 не зависит от д. 63.
Решить краевую задачу и,=а~Ли, — ос<х,д<+оо, 0<г.,1<+со, и,~ = О, — со < х, р <+ос, 0 < е < +ос, =1(х,д,г), .— <х,д<тоо, 0<я<+ 64. Решить краевую задачу ие — — а ези, — ос <х, у <+со, 0< в,1<+со, и.-~ = )(х, д,1), — оо < х, д < +ос, 0 < 1 < +ос, и~ „=О, — <х д<+, О< <+ 65. Решить краевую задачу ие = а~Ьи, — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +со, и — пи=0, — со<х,д<+со, я=О, 0<1<+ос, и~, „=~(х,д,г), — оо<х,у<+ос, 0<я<+ос.
Рассмотреть также частный случай, когда у не зависит от д. 66. Решить краевую задачу ие — — азези, — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +сю, и, = Ь[и — Д(х, д, г)), — со < х, д < +со, к = О, 0 < 1 < +со, и~, „=О, — оо<х,у<+со., 0<я<+со. 67. Решить краевую задачу и, = азии+ Дх, д, з, 1), — оо < х, д < +со, 0 < г,1 < +со, и~ =О, — со<х,д<+оо, 0<1<+ею, и~„~= О, — со < х, д < +ос, 0 < г < -ьоо. 92 Условия задач 68.
Найти температуру неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 < х < 1ы 0 < у ( Ь, — со < я < +со, если ее начальная температура равна и~, = Дх, У, г), О < Я < Уы О < У < Рь — со < з < +со, а на поверхности: а поддерживается температура, равная нулю; б имеет место тепловая изоляция; в) происходит конвективный теплообмен со средой нулевой тем- пературы.
69. Решить предыдущую задачу для полуограничснной балки с прямоугольным поперечным сечением: 0 < т < 1ы 0 < у < 1з, 0 < < з < +со; рассмотреть случаи, соответствующие граничным усло- виям а) и б). 70. Найти температуру бесконечно круглого цилиндра 0 < г < го, 0 < ~р ( 2я, — со < я < +ос, если его начальная температура равна и~г о=У~с,~Р,я) 0<г<гщ 0<Зз<2к, — со<я<+со, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю: б) поверхность теплоизолирована; в) на поверхности происходит конвективный теплообмен с окру- жающей средой, температура которой равна нулю. 71.
Найти температуру полуограничснного круглого цилинд- ра 0 < г < го, 0 < у < 2я., 0 < я < +оо, если его начальная темпе- ратура равна и~, = ~(г, ~р, я), 0 < Зз < 2я., 0 < г < гщ 0 < з < +со, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолирована. 72. Найти температуру неограниченного цилиндрического сек- тора 0 < г < ге, 0 ( у < Ззе, — со < з < +со, если его начальная температура равна и1 о=~(г.,у,я)., 0<Зз<Ззо 0<с<го, — ос<я<+ос, а на поверхности выполняется одно из следуюгпих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолировала.
73. Решить предыдущую задачу для полуограниченного цилинд- рического сектора 0 < г < ге, 0 < Зз < Ззо, 0 < я < +ос. 74. Найти температуру пластинки, имеющей форму неограничен- ного сектора 0 < г < +со, 0 ( ~р < Ззе, если ее начальная температура ранна и~', = ~(г, у), 0 < г < +со, 0 < Зз < Ззо, а на краях пластинки: а) поддерживается температура, разная нулю: б) имеет место тепловая изоляция.
75. Решить предыдущую задачу, предполагая, что один край пластинки теплоизолирован, а температура другого поддерживается равной нулю. 1"л. К Ура»пена» парабопическооо»попа 2. Построение и применение функций влиянии мгновенных точечных источников тепла. 78. Наказать, что решением краевой задачи ди »од и д»п д иЗ вЂ” =а ( — -~- —,+ —,1, — оо<х,у,»<+со, 0<1<-~-сс, (1) д, (д* ду д 1' и~ = Л(х)1»(у)1з(»), — ос < т, у, » < +ос (2) является произведение решений из(х,1), из(у,1), из(»,1) краевых задач — = а —,, — сс < х < +ос, 0 < 1 < +со, г д п~ (1) д» дх» ' из~ = 1»(х), -ос < х < +ос, (2') =а», — со<у<+со, 0<1<+со, (1о) ду» в2~»=о 12(У) сс < У < +ос (2о) = а .,', — со <» <+ос, О < Х <+ос, (1п') 01 д»» ' пз~, = (з(»), — <» <+со.
(2п') 79. Воспользовавшись выражением функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — сс < х < +оо, — со < < у < +со, — ос <» < +со и предположением, сформулированным в задаче 78, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для пространства †< х, у, » < +ос.
80. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей задаче, решить краевую задачу и» вЂ” — г» Ьи+г'(х, у, »,1), — со <х,у, » <+ос, 0<1<+со, по»( 'у: )' < 'у' <+ 81. Выразить функции влияния мгновенного точечного источника тепла для полупространства — сс < х, у < +со, 0 <» < +ос., отвечазощие граничным условиям: а) п~ =о =0~ б) и=! — =0' в) (и» Ьп)~.=о =0' через соответствующие одномерные функции влияния, аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 79.
70. Найти температуру неограниченного клина с углом раствора»эо, если на его гранях: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция. 77. Найти температуру неограниченного пространства с бесконечной круглой цилиндрической полостью, если начальная температура равна нулю, а температура на поверхности полости поддерживается равной Уо. 94 Условия задач 82.
С помощью функций влияния, найденных в даче, решить краевые задачи: а) ис — — а Ьи+ ГСх, у, ж с), — оо < х, у < +ос, ~-=о с '"' )' < 'у<+ ~~, „= У(~,у.~), — оо < х, у < +со, б) ис = а~сап+ Е(х, у, я, ~), — оо < х, у < +ею, и-~ = Ф(х,у,1), — сю < х, у < +со, ~, „=У(*,у, ), — оо < х, у < +со, в) ис = а Ьи+ ГСх, у, я, с), — оо < х, у < +со, сил — Ьи)~ = ЬФ(х,у,с), — оо < х, у < +со, и~, = Д~х,у,х), -со < х, у < +со, предыдущей за0<з,1<+ос, 0 < ~<+оо, 0<я<+со; 0<я,1<+ос, 0<1<+со, 0<я<+оо; 0<я,1<+со, о<е<+ 0<я<+со. 83.
Пусть Р есть конечная, попубесконечная или бесконечная цилиндрическая область, параллельная оси я, и пусть ее пересечением с ппоскостыо ху является область Ра . Пусть на поверхности области Р заданы граничные условия первого, второго иди третьего рода. Показать, что функцией влияния мгновенного точечного источника тепла для области Р является соответственно произведение функций влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного отрезка, полуоси или всей оси я на функцию влияния мгновенного точечного источника тепла дпя плоской области Р,, 84.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
