Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 17
Текст из файла (страница 17)
127. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере точечным зарядом, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы. 128. Решить предыдущую зада зу для изолированной заряженной сферы, находящейся в поле точечного заряда. 129. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью в безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности.
Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость ие. 1 л. !Ъ'. Уравнения эллипти ~еского типа 130. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной г1 на- ходится во внешнем однородном поле Ео, параллельном некоторой оси г. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если окружающая его среда — однородный диэлектрик с е = ез. 131. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара ра- диуса а в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная ез при г<а, гг при г>а.
Рассмотреть два случая: а) заряд находится вне шара; б) заряд помещен внутрь шара. 132. Проводящий шар с проводимостью а1 находится в среде с проводимостью пг. Определить токи, создаваемые точечным источником тока си- лы 1, помещенным: а) внутри шара; б) вне шара. 133. Решить предыдущую задачу, считая шар идеально прово- дящим. Сравнить с задачей 132. 134. Точечный источник тепла йг находится в присутствии не- проводящего шара.
Найти стационарное распределение температуры вне шара. 135. Внутри сферы, на поверхности которой происходит тепло- обмен со средой нулевой температуры, помещен точечный источник мощности ( ~о. Найти стационарное распределение температуры внут- ри сферы. 136. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между проводящими заземленными концентрическими сферами г = а и г = Ь. Определить также плотность поверхностных зарядов.
137. Неоднородный диэлектрический шар радиуса Ь с диэлектри- ческой постоянной е1 при г <а, г= л ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ | ея при а<г<Ь находится в среде с диэлектрической постоянной ез. Определить поле точечного заряда, помещенного: 1) вне шара г > Ь; 2) внутри шара г < а; 3) в области а < г < Ь. Рассмотреть предельные случаи. 138. Найти поле внутри диэлектрической оболочки, ограничен- ной концентрическими сферами с радиусами а и Ь (Ь > а), помещен- ной в однородное параллельное электростатическое поле напряжен- ности Ед, диэлектрическая постоянная оболочки ем диэлектрическая постоянная среды гг. 139. Вычислить приближенно распределение заряда на внутрен- ней обкладке несимметричного сферического конденсатора, предпола- гая, что расстояние между центрами внутренней и внешней прокладок мало.
78 Услаеин задач 140. Найти потенциал заряженного тонкого кольца, полный заряд которого равен е. 141. Сферические координаты круглого кольца равны га = а, да = гс Шар радиуса 6 из диэлектрика с диэлектрической постоянной ез расположен так, что его центр находится в начале координат. Найти выражение для потенциала между кольцом и сферой, если линейная плотность заряда кольца равна м.
Диэлектрическая постоянная среды равна гз. 142. Вычислить потенциал электростатического поля заряженного тонкого кольца, помещенного внутри сферы с проводящими стенками, если на сфере поддерживается потенциал, равный нулю. Центры сферы и колодца совпадают. Вычислить нормальную составляющую электрического поля на сфере з = и. 143. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара с проводимостью и в том случае, когда ток 1 входит в один его полюс а = О и вытекает из полюса В = я. 144. Найти потенциал поля, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектрической пластинки толщиной 1 точечным зарядом е, расположенным с противоположной стороны пластинки. 145. К поверхности земли я = О подводится ток 7 с помощью точечного электрода.
Определить потенциал на поверхности земли, считая, что удельная проводимость земли до глубины я = 6 равна а ы а на большей глубине она равна пз. Полученное решение применить для случая двух электродов, находящихся в точках к=а и л= — а. 146. Сферический электрод радиуса и до половины погружен в землю, проводимость которой и, в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном и, (анизотропия). Найти распределение потенциала на поверхности земли, предполагая, что на поверхности электрода потенциал 1' = 'гэ. Указание.
Следует ввести вместо я новую переменную 1=аз, о а, и При этом уравнение и,('гаа + г'„я) + и,'г;.— = О переходит в уравнение г' „+ гя„+ Ъп — — О. ~ 5. Потенциалы и их применение В настоящем параграфе помещены задачи на вычисление объемного и поверхностных потенциалов для некоторых простейших случаев, а также краевые задачи, которые могут быть решены методами теории потенциалов. 147. Найти объемный потенциал г' шара при постоянной плотности р = ре, поставив краевую задачу для Г и решая ее. 148. Решить задачу 147 прямым вычислением объемного интеграла.
79 Гл. !Ъ'.,Уравнения эллиптического типа муле 1 =А/ — "' +В, Л(а) = В(э) (аг + е)(Ьг + е)(сг + э) 149. Найти объемный потенциал: а) масс, распределенных с постоянной плотностью в сферическом слоеа<г (Ь: б) масс, распределенных внутри шара радиуса а с постоянной плотностью рг и в сферическом слое и < Ь < г < с с постоянной плотностью рг; в) масс, распределенных внутри сферы радиуса г = с с перемен- ной плотностью р = р(г). Получить отсюда решение задач 149,а) и 149,б).
150. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоян- ной плотностью и = ио на сфере. 151. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равно- мерно распределенных внутри шара, расположенного над идеально проводящей плоскостью г = О. 152.
Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью заряда. 153. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной плотностью заряда. 154. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов. 155. Определить потенциал простого слоя, равномерно распреде- ленного по круглому диску. 156. Найти вектор-потенциал кругового тока. 157. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Ди- рихле: а) внутри круга, б) вне круга.
158. Найти решение задачи Неймана для круга, пользуясь потен- циалом простого слоя. 159. Решить первую и вторую краевые задачи для уравнения Лапласа в полупространстве, пользуясь поверхностными потенциалами. 160. Найти решение задачи Дирихле в полуплоскости, пользуясь потенциалом простого слоя. 161.
Рассмотрим поверхности Е второго порядка, определяемые уравнением + " + =1, аг+е Ьг+е ег+л где а > Ь > с. Если — с < е < оо, то поверхности суть эллипсоиды, г при — Ь < э < — с -" однополостные гиперболоиды, при — а < л < г г г < — Ь --. двухполостные гиперболоиды. При е = оо мы имеем сферу г с бесконечным радиусом, а при э = — с эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости ту. Показать, что поверхности рассматриваемого семейства могут быть эквипотенциальными, а их потенциал определяется по фор- Условия задач 80 где А и  — постоянные, определяемые из условий на бесконечности и на поверхности Е. 162.
Пользуясь решением предыдущей задачи, найти выражение 2 3 3 для потенциала заряженного проводящего эллипсоида —, + —, + —, аз уз со 1, на котором распределен заряд е. (Ниэлектрическая проницаемость среды ж) Определить емкость эллипсоида, а также поверхностную плотность заряда на эллипсоиде. Рассмотреть эллипсоид вращения. 163. Пользуясь решением задачи 162, вычислить поверхностную плотность заряда для эллиптического диска. Определить потенциал, емкость и плотность зарядов для круглого диска.
164. Показать, что гравитационный потенциал однородного эллипсоида х у — + — + — =1 аз Ьз сз дается интегралами Г(х, у, з) = ро / ' ' ' сЬ внутри эллипсоида, о Г1 — 11х, у, яц з) $'(х, у, з) = ро ~ ' ' ' ' дз вне эллипсоида, В(в) где Л(з) = ро объемная плотность потенциала, Л --. эллипсоидальная координата --. положительный корень з = Л уравнения Дх, у, з; з) = О. 165. Вычислить гравитационный потенциал: а) вытянутого эллипсоида вращения; б) сплюснутого эллипсоида вращения (см. задачу 162). Рассмотреть предельный переход к однородному шару. 166. Найти логарифмический потенциал эллиптической области с постоянной плотностью с помощью прямого вычисления интегралов.
167. Проводящий эллипс, определяемый уравнением х у — ',+ —,=1 (а>б>0), аз заряжен до потенциала гш Определить потенциал вне эллипса, а также плотность зарядов, распределенных на эллипсе. 168. Вычислить силу взаимодействия двух коаксиальных проволочных петель С, и Со с радиусами а и 6, по которым протекают токи У и 1'. Контуры расположены в параллельных плоскостях з = 0 и я=4,центрыихнаходятсявточках х=у=я=О и х=у=О, з = И. 81 1 и 11'. Уравнения эааиптичеекоео типа 169. Вычислить коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных проволочных колец 1 и 2, пользуясь формулой Мзз = ~Азову —— ~и~~ = Лайзы 1 1 2 где Ая вектор-потенциал поля, создаваемого током единичной силы, текущим по контуру 2:, д -- магнитная проницаемость среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
