Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 18
Текст из файла (страница 18)
170. Показать, что выражение для потенциала, созданного заряженным кольцом радиуса а, имеет вид 2е г — ~ Ке(Ла)1е(Лр) сов Ляе)Л при р < а, о 2е — ~ 1а(,Ла)Ке(Лр) соз Ля е)Л при р > а, о где е заряд кольца. 171. Показать, что потенциал, созданный в окружающем пространстве диском радиуса а, несущим заряд е, равен Ъ'(р,з) = — ' ) е ~'~,Уе(Лр)е е~Л. еа у Л о 6 Б.М. Булак и яр. Глава у' УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЬ1ЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и др.
В настоящей главе рассматривается постановка и рещение краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изучаемые физические процессы характеризуются функциями двух, трех или четырех независимых переменных, она является продолжением главы третьей, в которой рассматриваются уравнения параболического типа для функций двух независимых переменных.
З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 1. Полупространство я > О заполнено жидкостью с коэффициентом теплопроводности Л, плотностью массы р и удельной теплоемкостью с. Поставить краевую задачу о нагревании жидкости, если жидкость движется со скоростью пэ — — сопзФ в направлении оси я, между нею и плоскостью я = О происходит тсплообмен по закону Ньютона, температура граничной плоскости у = О равна ие. Рассмотреть, в частности, случай стационарного распределения температуры при условии, что переносом тепла в направлении оси т за счет теплопроводности можно пренебречь по сравнению с переносом тепла движущейся массой жидкости.
2. Сформулировать диффузионную задачу, аналогичную задаче 1, предполагая плоскость г = О непроницаемой для частиц диффундирующего вещества; поставить соответствующие краевые задачи в нестационарном и стационарном случаях. 3. Вывести уравнение диффузии для вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ, радон), причем скорость распада в каждой точке пространства пропорциональна концентрации; 83 1'л. К Уравнения параболического пвипа б) размножаются (например, диффузия нейтронов при наличии деления ядер), причем скорость размножения в каждой точке пространства пропорциональна концентрации.
4. Поставить краевую задачу о распространении электромагнитного поля в неограниченном пространстве, заполненном проводящей средой с проводимостью ц = сопзФ,магнитной проницаемостью )з = = сопев и диэлектрической постоянной е = сопзц 5. Поставить краевую задачу об остывании неограниченной плоской пластины, если на ее поверхности происходит конвективный теплообмон с окружающей средой, температура которой равна нулю. Рассмотреть, в частности, случай, когда изменение температуры по толщине пластины пренебрежимо мало. 6.
Круглая цилиндрическая труба заполнена жидкостью с очень большой теплопроводностью ); вне трубы находится воздух с температурой Пе = сопз). Поставить краевую задачу об определении температуры трубы, предполагая, что она не зависит от расстояния, отсчитываемого вдоль трубы. Т. Бесконечный круглый цилиндр радиуса гв с моментом инерции К на единицу длины находится в вязкой жидкости; при 1 ) 0 он приводится во вращение действием момента М на единицу длины. Пользуясь выражением в цилиндрических координатах уравнений движения вязкой жидкости и составляющих тензора напряжений ), поставить краевую задачу о движении вязкой жидкости и цилиндра. 8. Слой грунта лежит на водонепроницаемом горизонтальном основании и содержит в себе грунтовые воды.
Вектор 11 потока грунтовых вод связан с вектором Ъ' скорости движения частиц этих вод соотношением 11 = гпЪ' где коэффициент гп называется пористостьк> грунта. Сила сопротивления, приложенная к частице воды, отнесенная к удельному весу воды, согласно экспериментальному закону равна 1 1 = — — Е7, )о где Й есть так называемый коэффициент фильтрации ).
Назовем избыточным давлением отнесенную к удельному весу воды разность между истинным и гидростатическим давлением в грунтовых водах. Поставить краевую задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод при следующих предположениях: 1) горизонтальная составляющая градиента избыточного давления пренебрежимо мала: 2) инерционные силы, действующие на частицы грунтовых вод, пренебрежимо малы.
в) Речь идет о суммарной теплопроводности, включая перенос тепла конвективными токами жидкости. о) См, ответы и указания. з) По поводу терминологии см. (23). 84 Услоеин задач 2 2. Метод разделения переменных ) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций. В этом пункте рассматриваются такие краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. а) Однородные среды. 9.
Найти температуру параллелепипеда О < х < 1м О < у < 12, О < г < 1з, если его начальная температура является произвольной функцией х, у з, а температура поверхности поддерживается равной нулю. 10. Решить предыдущую задачу для куба с ребром 1, если в начальный момент он был равномерно нагретым. Найти момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О ~). 11. Найти температуру параллелепипеда 0 < х < 1м 0 < у < < 1з, О < з < 1з, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, если его начальная температура равна д(х, у, х); рассмотреть, в частности, случай, когда Д(х, у, я) = 17о = сопз1.
12. На поверхности куба, равномерно нагретого в начальный момент времени, происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Найти выражение для температуры в центре куба и определить момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О. 13. Стенки полуограниченной прямоугольной трубы О ( х < < +со, 0 < у < 1ы 0 < х (1з поддерживаются при температуре, равной нулю.
По трубе с постоянной скоростью по в направлении оси х движется некоторая среда. Найти температуру движущейся среды, пренебрегая переносом тепла в направлении оси х за счет теплопроводности ) при следующих условиях: 1) процесс стационарен: 2) между средой и стенками трубы происходит теплообмен по закону Ньютона; 3) температура среды в сечении х = О равна с7о = сопзп 14. Пусть в кубе О < х, у, х < 1 происходит диффузия вещества, частицы которого размножаются со скоростью, пропорциональной концентрации (см.
задачу 3). Найти критические размеры куба, т, е. найти длину ребра 1, начиная с которой процесс размножения приобротает лавинный характер~). Рассмотроть случаи, когда: ') См. вторую сноску иа с. 29. Ч См. гл. П1, з 2, задачу 22. з) См. задачу 1. ~) Более подробно а понятии критических размеров см. (7, с. 471]. Рл. К Уравненан парабалинеенаев нвппа 85 а) на всех гранях концентрация поддерживается равной нулю; б) все грани непроницаемы; в) все грани полупроницаемы. 15. Найти температуру шара радиуса то, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю. В начальный момент времени температура шара была равна и~ о= У(т), О < т < то. 16.
Начальная температура шара 0 < т < то равна и~е о= Но = солз1, а на поверхности шара поддерживается температура 11з = сопз1. Най- ти температуру шара при 1 > О. Определить момент времени, начиная с которого в центре шара заведомо будет иметь место регулярный ре- жим с относительной точностью е > О. 17. Начальная температура шара 0 < т < то равна и~е о= Но = сопз1, а внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности ф Найти температуру шара при ~ > О.
18. Найти температуру шара радиуса то, на поверхности которо- го происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей темпе- ратуру, равную нулю. Начальная температура шара равна и~, „= ~(т), 0 < т < то. 19. Начальная температура шара 0 < т < во равна. и(, о= 11о = сопз1, а на его поверхности происходит конвективный теплообмен со сре- дой постоянной температуры Г~ = сопз1. Найти температуру шара при1 > О. Определить момент времени, начиная с которого в центре ша- ра заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О. 20. Начальная температура шара 0 < т < то равна и~, о= со —= сопзе, а на его поверхности с момента 1 = 0 происходит конвективный теп- лообмен со средой.,температура которой равна Уо + ог, 0 < 1 < +со., Уо = сопз1, се = сопз1.
Найти температуру шара при ~ > О. 21. Решить задачу об остывании сферической оболочки т, ( т < < ттп на внутренней и внешней поверхностях которой происходит кон- вективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. На- чальная температура оболочки равна ~,,=У(), « ° 22. В замкнутом сферическом сосуде 0 < в < Л происходит диф- фузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость Уелоеин задач размножения пропорциональна концентрации [см. задачу 14). Найти критические размеры сосуда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
