Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 12
Текст из файла (страница 12)
55. ие — — ази,, + Д(х, «), — со < х < +со, 0 < «< +ос, и(х, 0) = О, — оо < х < +ос. е) См. ответы и указания, гл. П, е З4, с. 255. Гп. 1П. Уравнения парабопипеепоео типа 56.не=а и„, 0<х, 1<+со, и(0,~) =О, 0<1<+со, и(х, О) = Дх), О < х < +со. 57.не=а и„, 0<х,1<+со, и,(0, с) = О., 0 < 1 < +со, и(х,О)=Дх), 0<х<+со. 58.ие — — а и,, 0<х,1<+со, и(0, 1) = ~р(1), 0 <1< Ч-со, и(х, 0) = О, 0 < х < +со. 59. ие — — а,'и, „0 < х, с < +ею, и,(0, й) = ср(Х), 0 <1 <+ею, и(х, 0) = О, 0 < х < +сю.
60.ие —— ази +1(х,1), 0<х,1<+со, и(0, й) = О, О < 1 < +со., и(х, 0) = О, 0 < х < +со. 61.ие — — а и, +зе(х,А), 0<х,~<+со, и,(0, С) = О, О < 1 < +со, а(х, 0) = О, 0 < х < +со. 62. Воспользовавшись уравнением из задачи 186 гл. П, доказать, что /' ' "ы= " ~. "( ." .' )ес.
о е 63. Воспользовавшись уравнением из задачи 187 гл. П, доказать, что -~-ее Еее """"*ы= — ")' °" ( .' —;*..")ее 64. Применяя преобразование Фурье с ядром К(х, Л) = 2 ЛсоеЛх+ йз1пЛх , решить краевую задачу 7Г + ие=а и „0<х,~<+со, и. (О, с) — Ьи(0, е) = — лср(с), и(х, 0) = О, 0 < х < +ос. 65. Применяя преобразование Фурье с таким же ядром, как в предыдущей задаче, решить краевую задачу не=ази„, 0<х,1<+со, и,(О,с) — Ьи(О,с)=0, 0<й<+оо, и(х, 0) = с" (х), О < х < +сю. 54 Условия задач 2.
Однородные изотроцные среды. Построение функций влиянии сосредоточенных источников. В настоящем пункте собраны главным образом задачи на построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла («функций Грина» для уравнения теплопроводности). Сначала идут задачи для неограниченной прямой, .затем для полупрямой, причем среда предполагается изотропной и однородной, затем рассматриваются задачи для неоднородной прямой, составленной из двух однородных полупрямых, и некоторые другие задачи с неоднородностями сред и сосредоточенными факторами для неограниченной прямой и полупрямой; наконец, идут задачи для конечного отрезка, причем рассматриваются два различных представления функций влияния мгновенных источников тепла: одно получается методом разделения переменных 1методом Фурье), другое методом отражений, и производится их сравнение.
а) Неограниченная прядая. 66. Поверхность неограниченного стержня — со < х < +со тепло- изолирована, начальная температура равна нулю. В начальный момент времени в точке х = С' стержня выделилось мгновенно Ц единиц тепла. Найти температуру стержня. (Построение функции источника для уравнения па — — а иаа на прямой — оо < х < +оо.) 67. Решить предыдущую задачу для стержня, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю.
1Построение функции источника для уравнения и, = а и, — Ьи на прямой — оо < х < +со.) 68. Используя функцию источника, полученную в решении задачи бб, решить краевую задачу и~ — — ази«а + 7(х, 1), — оо < х < +со, О < 1 < +со, и(х, 0) = у(х), — оо < х < +со. 69. Используя функцию источника, полученную в решении задачи 67, решить краевую задачу и~=а и„— Ьи+71х,1), — ос<х<-соо, 0<1<+ж, и(х, 0) = ~р(х), — со < х < +со.
70. При условиях задачи бб найти тот момент времени, в который температура в точке х достигает максимума, и найти это максимальное значение температуры (задача о распространении теплового импульса). 71. На поверхности стержня — оо < х < +ос происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура стержня равна нулю; в точке х = 0 непрерывно действует тепловой источник постоянной мощности Ц. Найти температуру и(х, 1) стержня. Найти также стационарную температуру и(х) = Нгп и(х, 1).
1 — ь-ьза Какова была бы стационарная температура, если бы поверхность стержня была бы теплоизолирована? Гж 1П. Уравнения пвробовинееноео типа 72. С помощью формулы, полученной шить задачу ие = а и„, — со < х < +со, 2 в решении задачи 68, ре- О <1 <+оо, — оо < х < — 1, -1<х <1, 1<х<+со. (о при и(х, 0) = Оо = сопз1 у'. -0 при 0 при 73. С помощьк> формулы, полученной в решении задачи 68, ре- шить задачу ие — — а и ., — ос < х < +со, 0 < 1 < +со, )(0 при — оо < х < О. (Ае ' при 0<х <+со, А=сопз$, о=сопз1>0. 74. Решить краевую задачу ив=а и.,— Ьи, — со<х<+со, 0<1<+ос, (О при — оо < х < -1, и(х, 0) = ~ По = сопза при — 1 < х < 1, 0 при — 1<х <+со 81.
Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу ие = а и,е + 1(х, 1), О < х, 1 < +со, и,(0, 1) — Ьи(0, 1) = — Ь~р(1), 0 < 1 < +со, и(х, 0) = ф(х), 0 < х < +со. (ср. с задачей 72). 75. Решить краевую задачу 14 о нагревании стержня подвижной печкой при нулевом начальном условии. б) Полупрнмая. 76. Построить функцию источника для уравнения ие —— а и., на 2 полупрямой 0 < х < +со, на конце которой задано граничное условие первого рода. Перейти затем к случаю уравнения ие = а и, — Ьи. 77. Решить предыдущую задачу, если на конце полупрямой 0 < < х < +со задано граничное условие второго рода.
78. Решить задачу 76, если на конце полупрямой 0 < х < +со задано граничное условие третьего рода. 79. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу не=а~и„+1(х,1), .0<х,1<+со, и(0, 1) = ув(б), 0 <1 < +оо, и(х, 0) = ф(х), 0 < х < +со. 80. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу ие — — азии + 1'(х, 1), О < х, 1 < +со, и,(0, 1) = |р(1), 0 <1 < +ос, и(х, 0) = у (х), 0 < х < +ос.
Условию задач 82. Локазать справедливость следуя>щего утверждения. Лля того чтобы решение краевой задачи и> — †а~в, 0 < х, С < +со, ~АС вЂ” =О, х=О, 0<С<+со, д'» дх" я=о и(х, О) = у(х), О < х < +ос, можно было представить в виде С -Оо и(х, С) = / у'(С)е в ~Г а>С, 2аъ>яС достаточно функцию С(х) продолжить на отрицательную полуось х так,чтобы функдия ж ( ) = ~ А,('"'(х) о=о была нечетной. 83. Локазать справедливость следующего утверждения.
Лля того чтобы решение краевой задачи и> = а~и„+ у(х, С), 0 < х, С < +со, Х Аь „=О, 0<С<+со, х=О, и(х,О)=0 я=о можно было представить в виде > С Г>2 и(х,С)= ~сСС ~ (' е ""и — >оСт, 2ач>я,/ з >(С вЂ” т — о достаточно продолжить функцию Дх, С) на отрицательную полуось х так, чтобы функция Р(х С) ~А д'.С(',С) была нечетной по х.
84. Решить краевую задачу и> =а~и,а, 0<х, С<+ос, и(0, С) = О, 0 < С < +ею, и(х> 0) = ССо> 0 < т < +со. Начертить графики распределения температуры в моменты времени С = 1>(8аз), С = 1>(4а )> С = 1С(2а ) на отрезке 0 < х < 4, а также графически изменения температуры в точках х = 1С4> х = 1>>2, х = 1 на отрезке времени 0 < С < 1>а~. Найти также скорость движения фронта температуры о(Со, где 0<о<1, о=сопяС.
Гв. 1П. Уравнен««я наробовичесново тина 85. Решить краевую задачу и« вЂ” — а и, 0<х,1<+со, и(0, 8) = 11о, 0 < 1 < +со, и(х, 0) = О, 0 < х < +со. В какой момент времени 1 температура в точке достигнет значе- ния а11о, О < а < 1? 86. Решить краевую задачу «и=а и„., 0<х,1<+ос, и«(0,1)=0, 0<С<+со, и(х, 0) = у«(х) = о' + 87. Решить краевую задачу и«=а и«, 0<х, 1<+ос, (1) и (0,1) — Ьи(0,1) =О, 0<1<+ос, (2) и(х, 0) = 1?о = сопз1, 0 < х < +ж.
(3) Получить асимптотическое представление для температуры конца стержня при больших значениях времени 11 (1 1 1.2 „1 2.,.(2а — З)) и(0,. 1) — — ~ — — — + —, —... -~- ( — 1)" 1 2«з 2" '««" ' ) «=он Л (4) Пать выражение для оценки погрешности при пользовании фор- мулой (4) и найти, .с какого момента времени вычисление и(0,1) по формуле и(0, 1) (5) аЬ «IЯ дает погрешность, заведомо не превышающую по абсолютной вели- чине наперед заданного е > О. 88.
Решить краевую задачу и,=а и,, — Ьзе ь', К>0, 0<х,1<+со, и(0, 1) = 1?е — — сопз1, 0 < 1 < +со, и(х,О)=0, 0<х<+со. 89. Решить краевую задачу и«=а и„. 0<х,1<+ос, — и«(0,1)=а, 0<1<+ос, и(х, 0) = О, 0 < х < +со. 90. Решить краевую задачу ив — — а и,« — Ь(и — 1Ъ), Уг = сопв1в 0 < х,. 1 < +со, и(0, 1) = Вы 0 < « < +со, 11« = сапего и(х, 0) = 11о, 0 < х < +оо, 11е = сопзк 91. Начальный ток и начальное напряжение в полуограниченном однородном проводе 0 < х < +со равны нулю. Самоиндукция единицы 58 Угловая задач длины провода пренебрежимо мала. Начиная с момента Г = О, к кон- цу провода приложена постоянная электродвижущая сила Еа.
Найти напряжение в проводе. 92. Решить краевую задачу ис = а и,„, 0 < и, г < +со, и (О, й) — ли(0, Е) = — Ал созыв, 0 < й < +ос, и(т, 0) = О, 0 < и < +со. 93. Найти установившиеся температурные волны в полуограни- ченном стержне 0 < т < +ос с теплоизолированной боковой поверх- ностью, если температура конца стержня меняется по закону и(0, г) = АсояаЛ.
Найти скорость распространения температурной волны с данной час- тотой ы (дисперсия температурных волн). 94. Начальный ток и начальное напряжение в однородном прово- де 0 < и < +оо равны нулю. Начиная с момента ~ = О, в точке и = 0 приложена электродвижущая сила Еф = Еа соя азй Найти напряже- ние в проводе, если самоиндукция и утечка единицы длины провода пренебрежимо малы. 95. Начальная температура полуограниченного стержня с тепло- изолированной боковой поверхностью задана и(и, 0) = т'(т), 0 < и < +со. Какой тепловой поток должен подаваться в стержень через его конец, чтобы температура конца менялась по заданному закону и(0, г) = иф, 0 < Х < +со, р(0) = Х(0)? Рассмотреть частный случай, когда Д(т) = О.
96. Начальная температура полуограниченного стержня с тепло- изолированной боковой поверхностью задана и(т, 0) = Дт), 0 < и < +ос, а на конце т = 0 происходит конвективный теплообмсн с внешней сре- дой. Как должна меняться температура внешней среды, чтобы тем- пература конца стержня менялась по заданному закону и(0, г) = р(г), д(0) = Д(0), 0 < ~ <+со? Рассмотреть частный случай, когда Д(т) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
