Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Метод разделения переменных В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях конечного отрезка струны при различных граничных условиях, а также аналогичные задачи о колебаниях из других областей физики и техники ). ') См. сноску к задаче 58. г) Выборка материала по собственным значениям и нормам собственных функций из глав 11, 1П, 1Ч, Ч, Ч1 помещена в ~ 2 гл. У11. Услееин задач 1. Свободные колебания в среде без сопротивления ). 97. Найти колебания струны с жестко закрепленными концами х = О и х = 1, возбужденной начальным отклонением, и вычислить энергию отдельных гармоник.
Начальные скорости равны нулю. 98. Струна О < х < 1 с жестко закрепленными копнами до момента 1 = 0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Ре = сопв1, приложенной к точке хе струны перпендикулярно к невозмущенному положению струны. В начальный момент времени 1 = 0 действие силы ге мгновенно прекращается. Найти колебания струны при 1 ) О.
99. Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к серодине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю. 100. Струна~) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей следующее начальное распределение скоростей: О,. О <х< хе — д, и,(х, О) = Ф(х) = по, хо — б < х < хо+ д, О, хо+б<х<й Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник.
101. Струна ) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего сй импульс 1 в точке хе. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 102. Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка ), сообщаюгцего ей начальное распределение скоростей О, 0<х<ха — д, ие = (х, О) = ео соз 1 — . ), хо — й < х < хо + д, 12 6 О, хе+0<У<К Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю.
Вычислить энергию отдельных гармоник. 103. Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = 1) свободен, при начальных и(х,О)=Й~., и~(х.,О)=0 при О< <й В В этом и следующих двух пунктах среды предполагаются однородными. з) См. )7, с. 140-143). Н То же. 4) По поводу возбуждения струны мягким выпуклым молоточком см. задачу 152.
Гл, йб Ураоиеиин гиперболического типа 104. Стержень с жестко закрепленным концом х = 0 находится в состоянии равновесия под действием продольной силы Ро = сопз1, приложенной к концу х = й В момент 1 = 0 действие силы Ро мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю. 105. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны.
Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня. 106. Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс 1 в один из концов. 107. Решить предыдущую задачу для случая, когда конец, которому не сообщается импульс, закреплен жестко. 108. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 109.
Один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а к другому (х = 0) приложена продольная сила Ео = сопзе, под действием которой стержень находится в состоянии равновесия. Найти колебания стержня после того,как в начальный момент времени сила Ра мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю. 110. Один конец стержня (х = 1) закреплен упруго, а другой (х = 0) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс 1.
Найти продольные колебания стержня, если начальное отклонение стержня равно нулю. 111. Найти продольные колебания стержня с упруго закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки концов, если начальные условия произвольны. 112. Решить предыдущую задачу, если коэффициенты жесткости заделки концов стержня различны. 113. Найти колебания уровня жидкости в кольцевом канале, ширина и глубина которого невелика по сравнению с его радиусом, если начальное отклонение уровня от равновесного состояния и начальная скорость изменения этого уровня заданы. 114. Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса свободных колебаний струны в среде без сопротивления при однородных граничных условиях первого, второго и третьего рода. 115. Найти поперечные колебания стержня 0 < х < 1 при произвольных начальных условиях, если концы стержня: а) закреплены шарнирно («свободно оперты»); б) закреплены жестко, в) свободны.
116. Решить предыдущую задачу, предполагая, что колебания вызваны поперечным ударом в точке х = хо, передавшим стержню импульс 1. 32 Услоеая задач 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. В задачах 97, 101, 103, 105, 108, 111 колебания струн и стержней рассматривались в среде без сопротивления.
Предположим теперь, что в этих задачах среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости, тогда получим задачи 117, 118, 119, 120, 121 и 122 соответственно. Решить задачи 117 — 122, не вычисляя энергии отдельных гармоник. 123. Изолированный однородный электрический провод 0 < х < 1 заряжен до некоторого потенциала по = согзе1. В начальный момент времени конец х = 0 заземлястся, а конец х = з продолжает оставаться изолированным. Найти распределение напряжения в проводе., если самоиндукция, сопротивление и емкость единицы длины провода известны ).
124. Найти электрические колебания в однородном проводе 0 < < х < з, если конец х = 0 заземлен, конец х = 1 изолирован, начальный ток равен нулю, а начальный потенциал равен О, 0 <х< а, е(х,О)= С(Ь вЂ” а), а<х<Ь, О, 6 <х< В Л С Ограничиваясь случаем, когда > — — —, найти выраже1зУС5 Л С ' ние для напряжения. 125. Найти напряжение в проводе с начальным током и начальным напряжением, равными нулю, если в начальный момент в точке х = хо этого провода помещается сосредоточенный заряд ф.
Остальные условия такие же, как в предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебании под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. В этом пункте сначала рассматривая>тся задачи с постоянными вынуждающими силами, затем задачи с гармонически меняющимися во времени вынуждающими силами и, наконец, задачи с вынуждающими силами, изменяющимися во времени по произвольному закону. 126. Решить задачу 97 при условии,что колебания происходят в поле силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, а концы страны закреплены на одинаковой высоте. 127.
Упругий стержень 0 < т < з расположен вертикально и верхним концом (х = 0) жестко прикреплен к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости ее, мгновенно останавливается. Найти продольные колебания стержня, если его нижний конец (х = 1) свободен. 128. Найти продольные колебания стержня 0 < х < ), если один его конец закреплен жестко, а к другому с момента 1 = 0 приложена сила го = сопэС. ') Утечка С = О согласно предположению об изолированности провала.
Гв. 11. Уравнения гипероолииееного тпипа 129. В конце х = 1 трубопровода 0 < х < 1 расход жидкости изменяется в момент времени 1 = О скачком на величину А = сопят; конец х = 0 соединен с большим резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до изменения расхода в конце х = 1 давление и расход в трубопроводе были постоянными, найти изменение расхода в трубопроводе при 1 > О и изменение давления в сечении х = 1 при 1 > О.
130. Найти напряжение в однородном электрическом проводе, сопротивление, самоиндукция, утечка и емкость единицы длины которого соответственно равны Л, Ь, С и С, если начальные ток и напряжение равны нулю, конец х = 1 изолирован, а к концу х = О, начиная с момента 1 = О, приложена постоянная э.д.с. Е. 131. Решить предыдущую задачу, предполагая, что конец провода х =! заземлен. 132. В точке хо струны О < х < 1 с момента 1 = 0 приложена постоянная поперечная сила Ес. Найти колебания струны, если ее концы закреплены жестко.
133. К струне О < х < / с жестко закрепленными концами с момента времени 1 = О приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(х, 1) = Ф(х) сйпый Найти колебания струны в среде без сопротивления; исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса. 134. Решить предыдущую задачу при условии, что линейная плотность силы равна Ф(х, 1) = Февшат1, О < х <1, О < 1 < +ос, где Фв = сопя1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
