Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 23
Текст из файла (страница 23)
г) См, задачу 8. 33. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сферическая оболочка радиуса го с центром в фиксированной точке. Начиная с момента 1 = О,. радиус сферической поверхности непрерывно меняется по заданному закону, причем радиальная скорость точек поверхности равна ул(е). Найти движение в случае, когда р(1) = А яшеой 34.
Решить предыдущую задачу, если сфера находится в полу- пространстве, ограниченном неподвижной плоскостью. 35. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сфера фиксированного радиуса га. С момента 1 = 0 центр сферы совершает малые колебания со скоростью Ъ'(1), причем )Ъ'(е)~ << а, где а скорость звука. Найти потенциал скоростей частиц газа. 36. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании клина потоком идеального газа: найти потенциал скоростей в возмущенной области и возмущение давления на клине ~).
37. Решить задачу о стационарном симметричном светгзхзвуковом обтекании кругового конуса с небольшим углом раствора ). 38. Распространяющейся плоской волной для уравнения иее = а'Ьи+ си,. (1) д и, д и, где. Ьи = +... +,, называется решение вида дх', ''' д: г' и = ~(~ а,хе — И). ~=ч Плоская волна и = 1(" а;х, — 61) имеет одно и то же постоянное значение на каждой плоскости семейства п а;х, — Ы = солям (3) г=-1 Расстояние от плоскости (3) до начала координат хз = О, хз = О, ...
..., х„= 0 равно ЬЕ ч- совая ~,,-:)'" С изменением 1 плоскость (3) движется со скоростью (,,')' оставаясь параллельной своему начальному положению (при 1 = О) п а,х, = сопев; Ф) ~ =- 1 104 Условия задач 39. Решить задачу о стационарном обтекании волнообразной стенки у = ез1палт, где е мало, — со < я < +со, потоком идеального сжимаемого газа, невозмущенная скорость которого совпадает по направлению с осью я и равна сГ = сопза Рассмотреть случаи: а) дозвуковой скорости потока; б) сверхзвуковой скорости потока.
40. Путем суперпозиции плоских волн с фронтом, параллельным оси я, Д~а1 — о а — Ду), где о и )з — направлякицие косинусы нормали к фронту волны, получить цилиндрические волны ф(г 1) = где г = уаз Найти явное выражение для 1д(г,1) при условии, что при — оо < С < — га, — ге <~< „ при га < С < +ос. О У(Е) = гза = сопзг О у~ (аС вЂ” г) 41. Путем суперпозиции гферически симметричных волн и Гз (аг -Г г) где 11(Я и уз(с) — — произвольные функции, получить цилиндрические волны /' 2Я4) 44 ф ~ ) /' 21г(4) 44 'аг-б' — '' ' .,~, заг — а'-а" Р =я+у предполагая интегралы сходящимися.
иными словами, со скоростью (5) она удаляется от своего первоначального положения (6). Для упрогдения выкладок будем в дальней- а шем считать, что лз а, = 1, т.е. что а, являются направлякзщими 2 г=1 п косинусами нормали к плоскости (3); Я = ~ а,т, — 61 называется фазой волны (2), а у --. формой волны. д 1) для существования плоских волн произвольной формы у уравнения (1), распространяющихся со скоростью а в любых направлениях, необходимо и достаточно, чтобы было с = О; 2) при с ф О у уравнения (1) существуют плоские волны любых направлений распространения и любых скоростей, кроме скорости а, однако их форма не может быть произвольной, а является решением дифференциального уравнения Уа(Ф(а' — 6') + 111д) с = О. 105 Гл. у1, уравнения гиперболического типа 42. Найти цилиндрически симметричные монохроматические волны в неограниченном пространстве, решая уравнение ип = и ели, 2 а затем получить эти волны путем суперпозиции плоских монохроматических волн.
43. Путем суперпозиции плоских волн получить сферическую волну вида 44. Решить задачу об отражении и преломлении плоской моно- хроматической волны на плоской границе раздела двух различных идеальных газов; найти соотношение между углами падения, отражения и преломления, а также между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Невозмущенные давления в обоих газах предполагаются одинаковыми. 45.
Найти соотношение между углами падения, отражения и преломления плоской монохроматической электромагнитной волны на плоской границе двух однородных изотропных диэлектриков. 46. Рассматривая случай нормального падения плоской монохроматической электромагнитной линейно поляризованной волны на плоскость раздела двух однородных изотропных диэлектриков, найти соотношение между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн и дать выражение для этих волн. 9 3. Метод разделения переменных ) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций.
В этом пункте рассматриваются также краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. Сначала среды предполагаются изотропными и однородными, затем приводится несколько задач для неоднородных сред.
а) Однородные среды. 47. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 1ы 0 < у < 1г с закрепленным краем, вызванные начальным отклонением и(х,у,О) = Аху()з — х)(Ьг — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 48. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 1ы 0 < у < 1з с закрепленным краем, вызванные начальным распределением скоростей н,(х, у, 0) = Аху(1з — х)(~г — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь.
П См, вторую сноску на с. 29. РОО Услееин задач 49. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < т < 11, 0 < у < 11 с закрепленным краем, вызванные поперечным сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (хо, уо), 0 < хо < 11, 0 < уо < 17, считая, что реакция окружающей среды пре- небрежимо мала. 50.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 11, 0 < у < 17 с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью Р(х,у,1) = А(х,у)взпа71, 0 <1< +со, считая, что реакция окружающей среды пренеброжимо мала. 51.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < < х < 11, 0 < у < 1з с закрепленным краем, вызванные сосредоточен- ной гюперечной силой г'(1) = Асйпа71, А = сопЯ, 0 <1<+ос., пРиложенной в точке (хо,Уо), 0 < хо < 11, 0 < Уо < 1ю считаЯ, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала.
52. Найти колебания воды в прямоугольном резервуаре 0 < х < < 11, 0 < у < 17 под действием переменного внешнего давления на свободной поверхности ро(х,у,1) = А соз — соз †' у(1), 0 < 1 < +оо, у(0) = О, Н Н если глубина воды в невозмущенном состоянии равна Ь. Функция Д(1) предполагается имеющей непрерывную производную ). 53. Решить задачу 49, .предполагая, что окружающая среда ока- зывает сопротивление, пропорциональное скорости. 54. Найти установившиеся колебания прямоугольной мембраны 0 < х < 11, 0 < у < 17 в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенной поперечной силы с плотностью Е = А з)п а71, 0 < 1 < +ос, А = сопвг.
Контур мембраны закреплен неподвижно. 55. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„, и Яеа Радиус внутренней сферы Я„, меняется по за- кону г(1) = г1+ евши, — оо < 1 < +со, О < с << гз — гз, а внешняя сфера остается неизменной. Найти установившиеся коле- бания газа между сферами. 56. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я,з и Я„, с фиксированными радиусами г, и гз. Найти коле- бания газа между сферами, вызванные начальным радиальным воз- мущением плотности Р(7',0) = 7 (7'), 7'1 < 7' < 7'з. 1) См.
задачи 9 и 10. Гл. 'т!..Уравнения гиперболического типа 107 б) Неоднородные среды. 57. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 < ( т ( Ры 0 < у < Гз, составленной из двух однородных прямоугольных кусков 0 < л < то, 0 < у < Рз и яо ( т < Еы 0 < у < 7з. вызванные начальными поперечными возмущениями. 58. Сферическая полость фиксированного радиуса тз заполнена двумя различными идеальными газами, поверхностью раздела которых является сфера Я„(0 < т, < тз), концентрическая поверхности полости. Найти колебания газов при следующих начальных условиях для потенциала скоростей и(т,1) и давления рот,1); ист, 0) = ~(т), Р(т, 0) = Ро, 0 < т < тз. 2. Краевые задачи, требуюгцие применения специальных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
