Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Как и в предыдущем пункте, сначала идут задачи для однородных сред., затем для неоднородных. а) Однородные среды. 59. Найти поперечные колебания круглой мембраны с закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным распределением отклонений и скоростей, считая реакцию окружающей среды пренебрежимо малой. 60.
Решить предыдущую задачу, предполагая, что начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю. 61. Найти колебания воды в круглом вертикальном пилиндрическом сосуде с горизонтальным дном, если начальные условия обладают радиальной симметрией, а давление на свободной поверхности воды остается постоянным. 62. Найти колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным постоянным давлением, действующим на одну сторону мембраны с момента 1 = О, предполагая, что окружающая среда не оказывает какого-либо другого сопротивления колебаниям мембраны.
63. Найти колебания круглой мембраны 0 < т < то с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные переменным давлени м е р = ~(т.,1), 0 ( т ( то, 0 < 1 < +ею, приложенным к одной стороне мембраны. 64. Найти колебания круглой мембраны 0 < т < то с закреплен- ным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распре- деленным давлением р = ро зшсЛ, 0 < 1 < +со, приложенным к одной стороне мембраны. 65. Найти при нулевых начальных условиях колебания круглой мембраны 0 < т < то в среде без сопротивления, вызванные движением ее края по закону и(то,1) = Авшие, 0 < 1 < +со.
108 Условию задач 66. Решить задачу 59 в случае,. когда окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 67. Найти установившиеся колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенного (приложенного к одной стороне мембраны) давления: а) р = ро зшы1,. О < 1 < +ос, ра = сопз1; б) р = ро соя ы1., О < 1 < +оо, ро = сопв1. 68.
Найти установившиеся колебания круглой мембраны О < г < < ге в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, вызываемые движением ее края по закону и(го, 1) = А з)п ы1 (ср, с задачей 65). 69. Найти колебания круглой мембраны барабана ), вызванные радиально симметричными начальными возмущениями. 70.
Найти колебания круглой мембраны барабана, вызванные равномерно распределенным давлением р = По зш оз1; О < 1 < +ею, По = сопзс, приложенным к внешней стороне мембраны. 71. Найти поперечные колебания круглой пластинки с жестко закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные радиально симмотричными начальными возмущениями.
72. Найти поперечные колебания пластинки предыдущей задачи, вызванные поперечным сосрсдоточенным ударом по центру пластинки, передавшим ей импульс 1. 73. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с плотностью р = = ра вшсо1, приложенной с момента 1 = О.
74. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызываемые сосредоточенной поперечной силой Р = Ро зшоз1, приложенной в центре пластинки с момента 1 = О (колебания мембраны репродуктора). 75. Найти поперечные колебания круглой кольцевой мембраны с закрепленными краями, вызванные радиально симметричными начальными возмущениями. 76. Найти поперечные колебания описанной в предыдущей задаче мембраны, вызванные равномерно распределенным давлением р =розшсо1, О < 1 <+ею, ро = сопз1, приложенным к одной стороне мембраны. 77.
Найти колебания жидкости в сосуде с горизонтальным дном, стенками которого являются два коаксиальных круглых цилиндра, если глубина жидкости в невозмущенном состоянии равна й = сопят, а начальные возмущения радиально симметричны ). ') См, задачу 5. а) См. задачу 9. Гл. У!..Уравнения гиперболического типа 109 78. Найти колебания газа (потенциал скоростей) в круглом замкнутом цилиндрическом сосуде, вызванные радиальными колебаниями боковой стенки, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц стенки равны 1(г) сов~А, 0 < г < 1 (1 длина цилиндра), 0 < г < +со.
Верхнее и нижнее донья неподвижны. 79. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре, вызванные поперечными колебаниями одного из его доньев, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц этого дна равны 1'(г) созсо1, О < «< «о (го радиус цилиндра), О <1 < +ос. Второе дно и боковая стенка сосуда неподвижны. 80. Найти колебания газа в замкнутом сосуде, образованном двумя коаксиальными круглыми цилиндрами и двумя поперечными плоскими доньями, вызванные радиальными колебаниями внешнего цилиндра, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц этого цилиндра равны 1(г) сов аЛ, 0 < г < 1, 1 — длина цилиндра. Донья и внутренний цилиндр неподвижны.
81. Найти колебания газа в сосуде, описанном в предыцушей задаче, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев, начавшимися в момент г = О, если скорости частиц этого дна равны 1(г) сов сог, г* < «< «"*, г* и г*' — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров. Второе дно и цилиндры неподвижны. 82. Найти поперечные колебания круглой мембраны О < «( го с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (г ы ио1 ), 0 < «з < «о, импульс К. Рассмотреть случай, когда окружающая среда не оказывает сопротивления движению мембраны. 83. Сосуд с водой, представляющий собой вертикальный круглый цилиндр с горизонтальным дном, длительное время движется со скоростью ио = сопз1 в направлении, перпендикулярном к оси сосуда. Найти колебания воды в сосуде при 1 > О, если в момент 1 = О сосуд мгновенно останавливается и если при 1 < 0 вода относительно сосуда была неподвижной.
Давление на свободной поверхности воды считать постоянным. 84. Найти колебания круглой мембраны О < г ( га с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенным переменным давлением р = 1'(г) соз(ао — ы1), 1'(го) = О, О < 1 < -«оо, приложенным к одной стороне мембраны. 85. Найти установившиеся колебания мембраны, описанной в предыдущей задаче, в среде с сопротивлениом, пропорциональным скорости. Условия задач 86. Найти колебания круглой мембраны 0 < г < тш вызванные колебаниями ее края по закону а(ге, сэ,1) = ~Я созглр, ДО) = ~'(О) = О, и целое > О, О < ~ < +ос.
87. Найти колебания круглой мембраны О < г ( гд, вызванные колебаниями ее края по закону и(ге, ~р, Г) = Е(~р) зшы1, Р(~р) — гладкая функция с периодом 2я. 88. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре О < г < < ге, О < я < 1, вызванные радиальными колебаниями его боковой стенки со скоростью, меняющейся по закону ~Я созгкр соя ал, и — — целое > О, О < ~ < +со. Донья сосуда неподвижны.
89. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре О < ( г < ге, О < я < 1, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев со скоростью, меняющейся по закону ~ Я соз пу созы1, и целое > О, 0 ( ~ < +со. 90. Найти поперечные колебания мембраны с закрепленным краем, вызванные начальным сосредоточенным поперечным импульсом Л, сообщенным мембране в некоторой ее внутренней точке, если мембрана имеет форму кругового сектора, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям. 91.
1'ешить предыдущую задачу для мембраны, имеюгцей форму сектора кругового кольца. 92. Найти колебания газа в области, ограниченной двумя коаксиальными неподвижными круглыми цилиндрами, двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндров, и двумя плоскостями, проходящими через их ось, если эти колебания вызваны начальными возмущениями, не зависящими от ж 93. Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью ц, а затем в момент ~ = О мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. 94.
Сферический сосуд, наполненный газом, начиная с момента ~ = О, совершает малые гармонические колебания в направлении одного из своих диаметров; смещение сосуда в направлении этого диаметра равно Авшьл, О < 1 < +со. Найти колебания газа в сосуде, предполагая,что при ~ < 0 газ покоился. 95. Найти колебания газа в сферическом сосуде 0 < г < ге, 0 < 0 < х, О < у < 2х, вызванные малыми деформациями стенки сосуда, начавшимися с момента 1 = О, если скорости частиц стенки сосуда направлены по его радиусам, а величина скоростей равна АР„( соз О) соз ыг з) . ~) Р„® . — полипом Лежандра. Гл. 11.
Ууивнения гиперболического типа 98. Решить предыдущую задачу при условии, что скорости частиц стенки равны АРо„,(сову) сов пирсовео1 '). 99. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны 110) соя пир соя оИ. 100. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны 1ЯР (сову) совшр, 110) = 1 (0) = О.
101. Решить задачу 93 для газа, заключенного между двумя концентРическими сфеРами Я„, и Я„„гт < гг. 102. Решить задачу 94 для газа, заклю венного между двумя концентрическими сферами Я„, и Я„, г, < гг. б) Неоднородные среды. 103. Найти поперечные колебания неоднородной круглой мембраны О < г < гг с закрепленным краем, полученной соединением однородной круглой мембраны О < г < гз и однородной кольцевой мембраны т, < г < гг, если начальные поперечные возмущения заданы. В 4.
Метод интегральных представлений В первом пункте этого параграфа собраны задачи на применение интеграла Фурье, во втором — на построение и применение функций влияния мгновенных сосредоточенных источников. 1. Применение интеграла Фурье. а) Преобразование Фурье. 104. Решить краевую задачу ии — — а езги, — ею<а,у<+ос, 0<1<+ос ), и~ = Ф(ж,у), ие! = ф(х.,у), — со < х,у < +~. (1) (2) ~) Р ® — присоединенная функция Лежандра, ти < и. г) гьг = д)ийгае) оператор Лапласа для плоскости; в декартовых д' д' координатах Ьг дхз дуг 96.
Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента 1 = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда, а величина скоростей равна Р„(соя В) 1 Я, где 110) = 1 (0) = О. 97. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные малыми колебаниями его стенки, начавшимися в момент 1 = О, если скорости частиц стенки направлены по радиусам, а величина скоростей равна 1(д) совеов, 0 < 1 < +со. 112 Условия задач 105. Решить краевунг задачу ии =азЬзи, — со < х,у,з <+со, 0<1<+со'), и~ = Ф(х,уья), иг~ „= Ф(х,у,я), — со < х,у,я (+ос. 106.
Решить краевую задачу иег — — а Лги+ ах,уА), — сс < х,у <+ос, 0 < 1 <+со, и(, = О, иь( „ = О, — со < х у < +ос. 107. Решить краевую задачу ии = а Ьзи+~(х,у,я,с), — оо < х,уья <+оо, 0 (1<+со, и) =О, иь(, =О, — оо<х,у,я<+оо. (1) (2) (1) (2) (1) (2) 108. Решить краевую задачу ии+Ь ьгзггзи = О, — сс < х,у <+ос, О <1<+ос ), (1) и~, = Ф(ху), иь~ь = Ф(ху), — оо < х у <+со. (2) ') г1з = с)ьвягас1 оператор Лапласа для пространства; в декартовых дг дг координатах г)з = д г д„г д г' ) Вигармонический оператор ЬзЬз, означающий двукратное применение оператора Лапласа газ. б) Преобразование Фурье-Бесселя (Ханкеля). 109. Применяя преобразование Фурье- Бесселя, решить краевую задачу зди1ди =а + — —, 0(г(+ос, 0(1(+ос, (1) и(г,О) =, иг(г,О) = О, О < г < +ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
