Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 28
Текст из файла (страница 28)
И" = И'(х,д,г) произвольные, достаточно гладкие вектор-функции, Т вЂ” — некоторый объем, ограниченный поверхностью Е, и — — единичный вектор нормали к поверхности Х. 74. Доказать справедливость векторного аналога основной формулы Грина 1У [ЛХа) = ГУ(х, сб г) = — I 1ег(гог гог УУ вЂ” йг УУ) + ягас1 аг с11ч 1У у с4тр— 4нд т — — 1 ~[п гос 1У]ср+ [[тК7] цгас1 ср] + [пйУ) атас) р) Йтр, 4яз где 1У произвольный вектор, е'"' ср = ., т = (х — Р)г+ [у — д)2+ [2 Р)г расстояние между точками Мо[х,у; г) и Р[чс гс: й).
127 Гл. У1..Уравнения гиперболического типа 75. Пользуясь основной векторной формулой Грина, полученной в предыдущей задаче, непосредственно, не вводя потенциалов, написать выражение для Е и Н -" решений уравнений Максвелла 4я . оо гозН = — ИоеЕ+ —.у, йо = —, й = йо /гд, го1 Е = 1КодНе с с ЙУН = О, сйяЕ =— 4кр во внутренних точках некоторой области Т через их значения на поверхности Х, ограничивающей объем Т.
2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах. 76. Выяснить возможность распространения электромагнитных волн вдоль бесконечно длинного круглого цилиндра, проводимость которого бесконечно велика. Проводимость окружающей среды и конечна. 77. Решить предыдущую задачу, предполагая, что проводимость цилиндра конечна и равна пм 78. Показать, что внутри бесконечной полой цилиндрической трубы (волновода) произвольного сечения с идеально проводящими стенками может существовать конечное число бегущих электромагнитных волн. Найти выражение для фазовой скорости и потока энергии бегущей волны в волноводе.
79. Показать существование бегущих электромагнитных волн внутри полости, ограниченной двумя коаксиальными цилиндрическими поверхностями р = а и р = Ь. Стенки коаксиала считать идеально проводящими. Вычислить поток энергии и написать выражение для составляющих поля для основной волны, соответствующей наибольшей длине волны.
80. Найти собственные частоты и соответствующие электромагнитные поля сферического резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. 81. Найти собственные электромагнитные колебания цилиндрического резонатора, являющегося с<отрезком» цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с идеально проводящими стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. Рассмотреть частные случаи резонаторов; а) прямоугольного сечения; б) круглого сечения. 82. Определить собственные частоты электромагнитных колебаний внутри тороидального резонатора прямоугольного сечения, считая стенки резонатора идеально проводящими.
83. Дифракция на цилиндра Плоская электромагнитная волна падает на бесконечный круглый цилиндрический провод, ось которого перпендикулярна к направлению распространения волны. Найти дифрагированное поле, считая цилиндр проводящим. Цилиндр окру- 128 Углевик задач жен диэлектриком с диэлектрической постоянной вг и проводимостью, равной нулю. Рассмотреть случай идеально проводящего цилиндра. Предполагая, что радиус цилиндра а мал по сравнению с длиной Л Л падающей волны (Йа (( 1, Й = — ), вычислить полную рассеянную 2я!' мощность. 84. Дифракеия па идеально проводящей сфере. Рассмотре~ь задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны на идеально проводящей сфере.
Найти электромагнитное поле. 85. Дифрапеия на проводящей, сфере. Плоская электромагнитная волна, распространяюгцаяся в среде с параметрами в = вы а = О, 1г = 1, встречает на своем пути проводящую сферу радиуса а с параметРамив=вг, 1г=дг; в =аг фО. Найти электромагнитное поле внутри и вне сферы (задача Ми о дифракции на сфере). 3. Излучение электромагнитных волн. 86. Найти поле излучения бесконечно малого электрического диполя, находящегося в неограниченном непроводящем пространстве. Вычислить среднюю за период мощность излучения.
8Т. Решить предыдущую задачу, пользуягь представлением составляющих электромагнитного поля с помощьк> функции Боргниса в сферической системе координат дгП 1 даП д дВ' ' "ЫВ д др' гй до' Рй дП Н„=0, Н= — — —, Н г дгг' г дд где функция Г удовлетворяет уравнению дгП дгг тгчпд Тд 1 ддУ г'зшгд дггг о' так что функция и = — удовлетворяет уравнению г ~ц -)- йгп = О. 88. В центре сферического резонатора с гшсально проводящими стенками помещен бесконечно малый электрический диполь, направленный по радиусу. Определить электромагнитное поле, возбуждаемое диполем внутри резонатора.
89. Однородный проводящий цгар радиуса а с постоянным вг, 1гг, аг помещен в сРедУ с дРУгими физическими константами вы Ды аы В центре шара находится электрический диполь, колеблющийся по гармоническому закону е ' ~. Вычислить поле внутри шара, среднюю за период мощность излучения и рассмотреть предельный случай аг — г оо. Рассмотреть частный случай, когда а — г со. 90. Стенки сферического резонатора сделаны из однородного проводящего материала, обладающего проводимостью а. Пусть г = а и г = 6 радиусы стенок резонатора.
В центре резонатора поме- 129 Гл. У1. Уравнения гиперболического типа щен электрический диполь, колеблющийся по гармоническому закону е '"'. Найти вынужденные электромагнитные колебания резонатора, считая, что область г > Ь непроводящая (воздух). Рассмотреть предельные случаи Ь вЂ” ь со и Ь в а. 91. Внутри сферы радиуса а помещен электрический диполь, ориентированный по радиусу и отстоящий от центра сферы на расстоянии г = гт. Определить электромагнитное поле излучения внутри сферы, предполагая, что сфера окружена однородной средой, обладающей конечной проводимостью о.
Рассмотреть предельный случай о -в со. Рассмотреть частные случаи: радиус сферы мал по сравнению с длиной волны и а -у со. 92. Вертикальная электрическая антенна над сферической землей. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое электрической антенной, находящейся над поверхностью земли, которая рассматривается как шар радиуса а, имеющий конечную проводимость о и диэлектрическую проницаемость е.
Антенну считать элементарным диполем, совершающим гармонические колебания вдоль направления диаметра земли. Атмосферу считать однородной и непроводящей (е = р = 1, о- = О). 93. Вергпмкильноя интенно на сферической земле. Решить предыдущую задачу (92), считая, что антенна находится на поверхности земли и направлена по нормали к ней. 4. Антенна на плоской земле.
В задачах 94 — 101 рассматривается распространение волн, излучаемых антеннами, находящимися на поверхности земли. При этом мы будем предполагать землю плоской, однородной и проводящей (иногда идеально проводящей, иногда обладающей конечной проводимостью), антенну мы трактуем как диполь, момент которого периодически меняется во времени с частотой ел р = рое '~', для простоты будем считать ~ро~ = 1.
Задачи 94-97 носят постановочный характер, здесь требуется ввести вектор Герца и поставить для его составляющих, отличных от нуля, краевую задачу. При решении задач 98 — 101 требуется провести расчет электромагнитного поля, излучаемого антенной, а также среднюю за период мощность излучения. Здесь существенным для метода решения является разложение в интеграл Фурье — Бесселя с использованием интеграла Зоммерфельда ьн = )'уо<Лг)е —." -"~-' '" Л= 4 +г"-.
Л 1 ьуЛ'-' — йг 'о 94. Вертикальном электрическая антенна. На плоской поверхности земли, заполняющей полупространство г ( О, помещена вертикальная электрическая антенна, направленная вдоль оси г. Ввести вектор Герца и сформулировать для него граничные условия на поверхности земли, а также выделить особенность в источнике.
При решении считать д = 1. О Б.М. Булак и яр. 130 Услоепн задач 95. Вертикольния магнитная антонии На поверхности земли з = О находится вертикальная магнитная антенна (горизонтальная рамка). Поставить краевую задачу для соответствующего вектора Герца, если земля обладает конечной проводимостью. 96. Горпзонтильная электрическая антенна. Поставить краевукь задачу для горизонтальной антенны, лежащей на поверхности земли, проводимость которой конечна. 97.
Горизонтальная магпппьпая анпьзнна. Элементарный магнитный диполь, расположенный на поверхности земли з = О, ориентирован вдоль оси 9, т. е. рамка с током находится в вертикальной плоскости ию Сформулировать соответствующую краевую задачу для вектора Герца, считая землю проводящей. 98. Найти электромагнитное поле излучения вертикальной электрической антенны на поверхности плоской земли (см. задачу 94). Вычислить поток энергии излучения, полагая р = 1. Рассмотреть случаи, когда земля идеально проводящая и когда земля заменена воздухом. 99. Определить поле, излучаемое вертикальной магнитной антенной, находящейся на плоской земле (см.
задачу 95). 100. Решить задачу о распространении волн, излучаемых горизонтальной электрической антенной, находящейся на поверхности земли (см. задачу 96). 101. Найти электромагнитное поле,. создаваемое горизонтальной магнитной антенной, лежащей на поверхности плоской земли (см. задачу 97). 102. Вертикальный электрический диполь расположен в среде 1, постоянная распространения которой равна кы в точке з = зо, г = О. Среда 2 имеет вид плоскопараллельной плиты с постоянной распространения к и границами з = а < яо и з = О. Полупространство з < 0 ицеально проводящее.
Найти поляризационный потенциал вторичного поля П„„р. 103. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое линейным током в неограниченном пространстве, .и вычислить поле в волновой зоне. Определить сопротивление излучения. 104. Определить сопротивление излучения полуволнового диполя в неограниченном пространстве, а также реактивную часть входного сопротивления (реактанц) полуволнового диполя. 105. Внутри цилиндрического волновода, рассмотренного в задаче 78, помещен точечный диполь, параллельный оси волновода и гармонически колеблющийся по закону е Найти средний за период поток энергии, излучаемой диполем. Вычислить сопротивление излучения.
Решение искать для волновода произвольного сечения и затем рассмотреть волновод круглого сечения, предполагая, что диполь находится на оси волновода. Гл. Ъ7. Уравнения гипероолииеекого типа 106. Найти выражение для электромагнитного поля внутри волновода, возбуждаемого линейным током длиной 21, параллельным оси волновода, и вычислить поток энергии через поперечное сечение трубы для частного случая полуволнового диполя, лежащего на оси радиоволновода круглого сечения. Найти активную и реактивную составляющие входного сопротивления. Задачу решать в приближении заданных токов, пренебрегая влиянием вторичного поля на распределение тока в диполе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
