Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Граничные условия получаются аналогично тому, как это было сделано в случае продольных колебаний стержня. 4. Плотность р, давление р, потенциал скорости ео, скорость о частиц газа и продольное отклонение и частиц газа удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению дгн~ г дгш дег д с одной и той же константой и =Й вЂ”, ра ср где гс = —" показатель адиабаты с,. равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к тепло- емкости при постоянном объеме, а ро и ро - давление и плотность в невозмущенном газе, Если концы трубки закрыты, то граничные условия для каждой из функций и, и, во, р, р имеют соответственно вид и(0, г) = п(г, г) = О, о(0, г) = о(г, г) = О, р.(о, г) = ря(г, г) = о, ря(о, г) = ря(г, г) = о, .р.(о, г) = р (г, г) = о.
Если концы трубки открыты, то и,(0, г) = и,(г, г) = О, о,(0, г) = о,(г, г) = О, р(о, г) = р(г, г) = о, р(о, г) = р(г, г) = о, р(о, г) = р(г, г) = о, гдер(х,г) =р(х,г) — ро «возмущениедавления», ар(х, г) = р(х, г)— — ро «возмущение плотности». При наличии в конце т = г трубки газонепроницаемого поршень- ка с пренебрежимо малой массой, насаженного на пружинку с коэф- фициентом жесткости оз) и скользящего внутри трубки без трения, для и(х,г) получаем граничное условие пя(г, г) + Ьи(г, г) = О, и где 6 =, а й -- показатель адиабаты. Аналогично при наличии олро ' г) Пля вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеем: произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси.
а) Пружинка будет действовать на поршенек с добавочной силой упругости, равной — ов(г, г) при отклонении поршенька, равном и.. Мы говорим о добавочной силе упругости, так как в положении равновесия на поршенек уже действует сила упругости, уравновешивающая новозмущенное давление ро. 10 Б.М. Булак в яр. 146 Ответив указания и решения такого поршенька в конце х = 0 трубки получаем и«(0,1) — Ьи(0,1) = О. Пля и(х,1) при этих же условиях имеем ия(0, 1) — Ьи(0, 8) = О, т,(Ь 1) + Ьи(Ь 8) = О. Для р(х, 1) и Р(х, 1) получаем рц(0,1) — Ь'ря(0, 1) = рп(1, 1) -~- Ь'р. (1, 1) = = Рн(0, 1) — Ь'Р*(0, 1) = Рее(1, 1) + Ь "Р«(1,1) = О, (1') (2') (3') ') См. [7, с.
27). а) См. введение к З 2 (условиям) настоящей главы. где Ь' = —. Эти условия выполняются также и для про р(х: 1), Р(х, 1) Р(х, 1). Указание. В лагранжевых координатах ) уравнение неразрыв- ности (1) и уравнение движения (2) («основные уравнения гидроди- намики») имеют вид Ро = Р(х, 1) [1 + ия (х, 1)), (1) раин(т. 1) = — ря(х, 1). (2) Вместе с уравнением адиабаты р = 7(р), где 1(р) = —, р~, й = — ", (3) Ро е., они составляют полную нелинейную систему уравнений для опреде- ления функций р(х, 1); и(т, Ц); р(х, 1). Уравнение (1) выражает закон сохранения массы элемента газа, заключенного между двумя поперечными сечениями, составленными из частиц газа, а уравнение (2) выражает второй закон Ньютона для этого элемента газа.
Отбрасывая квадраты, произведения и высшие степени величин и(х, 1), Р(х, 1) = р(х, Ю) — ро, Р(х', 1) = р(х, Х) — Ро и их производных, нетрудно из уравнений (1), (2), (3) получить соот- ветственно линейные уравнения Р(х, 1) + рои«(х, 1) = О, Роим(х г) = — Ра(х г) р(х,1) = а Р(х, 1), о = й —, Ро и скорость распространения малых возмущений в газе, «скорость звука»~). Этот переход от нелинейной системы (1), (2), (3) к линейной системе (1'), (2'), (3') называется «линеаризацией». Уравнения Рм —— = азр„и рц = озр„получаются из (1'), (2'), (3') дифференцирова- нием и исключением остальных функций.
Потенциал ~р(х, 1) опреде- ляется соотношением Ов,(х, 1) = т(х, 1) с точностью до произвольной 147 Рл. !й ,Уравнения еиперболииееноео типа слагаемой функции времени;так как и,(х, 1) = и(х, 1),то из уравнения (2') получим Роев е +Ри = О~ т. е. д — (ро~ре+р) = О, д* поэтому в силу того,что потенциал скоростей 1в(х, 1) определяется с точностью до произвольной слагаемой функции времени, можно написать: Ро'Ре +Р = О. (4) Соотношение (4) дает возможность найти возмущение давления Р, если известен потенциал скоростей. Из уравнения (1'), дифференцируя по 1 пол чим (5) У ре+Ро'Р л =О Из (4) и (5) получается уравнение з ~рн = а У*а, — — + 2се(рои), др д(рои) дх де др Лз д(Ро'в) де дх О<х<1; 0<1<+ос, (2) (3) (4) Р(0,1) =Ро, и(в,1) =0; 0<1<+со, р(т, 0) = ро, и(х, 0) = ио, 0 < т < 7, где ро плотность воды в резервуаре, Л= (5) ро 211врв Л.
Еб причем к есть модуль упругости воды, входящей в закон Гука для воды, Р = к — (Р = Р— Ро Р = Р— Ро) (6) ро Йо внутренний радиус трубы в невозмущенном состоянии, Я модуль упругости материала трубы, 5 толщина трубы, ее опре- 10* дифференцирование которого по х приводит к уравнению 2, им =а Аналогично получаются уравнения для потенциала смещений и для смещений. рассматривая движение граничного элемента газа и используя уравнения (1'), (2'), (3'), (4) и (5), нетрудно получить приведенные в ответе граничные условия.
5. Ось Ох направлена вдоль трубы, причем начало координат О лежит в плоскости входного сечения, ро — давление воды в резервуаре. Для определения осредненных (по внутреннему поперечному сечению трубы) значений скорости и(х, 1) и давления р(х, 1) получаем краевую задачу 148 Ответы, указания и решения делявмый экспериментально коэффициент сопротивления трения единицы длины трубыз). При составлении уравнения движения можно, как показал Н.Е.
Жуковский, для тонких труб при не слишком больших возмущениях давления пренебрегать радиальным движением их частица), в то время как при выводе уравнения неразрывности радиально симметричное растяжение трубы необходимо учитывать. Силу сопротивления трения, действующую на элемент воды, заключенный между поперечными сечениями х и х + Ьх, можно опредслить по формуле, приведенной в сноске.
При выводе уравнений краевой задачи величины Р, Р, и будем считать малыми, а величину Ро Лэ Е6 значительно меньшей единицы. Установим связь между внутренним радиусом Л трубы и давлением Р в трубе. Лля этого рассмотрим состояние половины элемента, отсекаемого от трубы близкими поперечными сечениями х и х+ Ьх, изображснного на рис. 16. Силы упругости, развивающиеся в сечениях 1 и 11 этого полукольца, равны сумме проекций сил давления жидкости на средний радиус полукольца, т. е. 26ЬхЕ ' = 2ЯЬх(р — Ро) или Е6— Р = —, Л.
(7) Ео Следовательно, величина Л = Л вЂ” 17о также будет малой, равно как и величина оо 2яЛЛо = Яо Е6 Р (8) ВывЕдем уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы вещества для объема, заключенного между плоскостями х и х + Ьх (рис. 16, 6): д ъ зя д, / Ерп = Ф~ ). — 1Е )я,ая, т. е. ~ о. (БР)г1х = (Бри), — Фри)я а„ ') Пусть Я внутреннее поперечное сечение трубы, тогда сила сопротивления, прилОженная к эломЕнту жидкооти, заключэннэму мсжду Сечениями х и х + азх, равна ъа 2о / Яро в1х. 0 более точной постанове задачи, где подробнее анализируется сила сопротивлоння, см.,например,~44).
з) В этом случае производсние массы кольцевого элемента трубы на радиальное ускорение пренебрежимо мало. 149 1"л. 11. Уровненин еиперболинееноео типа откуда д($р) д($р ) дс дх В силу малости величин $, р, и это уравнение преобразуется в уравнение (2). Рис. 16 Аналогично (рис. 16, а) составляем уравнение движения, выражающее второй закон Ньютона для элемента воды, заключенного в рассматриваемый момент времени между сечениями х и х + Ьх: — / ($ри) дс = ($р) — ($р) ~ — 2а / ($рп) е1х, Ы бс с л-~- Хс а=салаг, а>0., / ~ — ($ри)) е1х = ($р) — ($р)( — 2а / ($ри) е1х, откуда д($ро) д($р) бс дх — 2а$ри. 2ройо В силу малости $, р, р и в силу малости по сравнению с единицей это уравнение (с помощью соотношений (6) и (8)) преобразуется в уравнение (1).
Начальные условия (4) и граничные условия (3), приведенные в ответе, очевидны. Вместо системы дифференциальных уравнений первого порядка можно получить одно гиперболическое уравнение второго порядка как для функции и(х, 1), так и для р(х, 1). Именно, дифференцируя (1) по х и (2) по 1 и исключая и, получим — =Ля —,— 2а — при 0<х<1, 0<1<+ос, д'р д'р др дс' дх' дс р(0,1) =ро при 0<1<+ос. Второе граничное условие для р(х,1) получаем из граничного условия и(1, 1) = 0 при 0 < 1 < -~-оо с помощью уравнения (1): р,(1, 1) = 0 при 0 <1<+ос.
150 Отвесны, указания и решения Далее, р(х, 0) =ре при 0<х <й Второе начальное условие для р(х, 1) получаем из п(х, 0) = пв при 0 < < х < 1 и уравнения (2): ре(х, 0) = 0 при 0 < х < й Аналогично может быть получена краевая задача для определения п(х, 1). 6. Решение. Пусть ш означает приращение объема жидкости в колпаке, Я площадь внутреннего поперечного сечения трубы на конце х = 1. Мы имеем — = Яе — Я®, аа аг я — С РеПв = РЯв — ш), течения жидкости, а Р-- (2) где п †. скорость паке, откуда давление воздуха в кол- Р = „Р" = Р, (1 + — „) следовательно (4) давление жидкости в колпаке.
В силу уравнения (2) гдер=Р на с. 152 (5) (6) при 0<х<), 0<8<+со, (2) Указание. Возмущение давления в воде при рассматриваемых волновых движениях можно считать пренебрежимо малым, т. е. давление р на глубине у, отсчитываемой от дна канала, можно считать близким к гидростатическому~). Слагающую п скорости частиц воды по направлению оси х можно считать малой, т.е, пренебрегать аш 3 Во ае — = — л ре — —. ае Р. ах' Подставляя (5) в (1), получаем искомое граничное условие а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
