Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (PDF) (1125143), страница 29
Текст из файла (страница 29)
107. Использовать решение задачи 106 для отыскания сопротивления излучения и реактанца полуволнового диполя, лежащего на оси волновода круглого сечения и направленного вдоль этой оси. 108. Вычислить поле, возбуждаемое внутри бесконечного прямоугольного радиоволновода с идеально проводюпими стенками электрическим диполем, перпендикулярным к оси волновода и параллельным одной из сторон перпендикулярного сечения, и найти сопротивление излучения для: а) бесконечно малого диполя; б) полуволнового диполя. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШКНИЯ Глава 1 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВКДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 3 1.
Уравнение для функции двух независимых переменных апти + 2аззи „+ аззи„„+ Ьги + Ьяи„+ си = 21х,у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами. 1. Пискриминант уравнения (1+ х) и,, + 2хуи,,„— узи„„= О равен о~з — о11азз = у (х + х з- 1) = у (х — х3)(х — хз), где 1 — за — 41 1 4- ч'Т вЂ” 41 хз хз— 2 ' 2 Пусть 1 < —, тогда хз и хз действительны, и при х < хм а также .1 ' при х > хз уравнение гиперболично, .а при хз < х < хз оно эллиптично, прямые х = хз и х = хз, у = О состоят из точек параболич- 1 ности. При 1 = — область эллиптичности исчезает, так как при этом 4 х1 = хз = — —, прямая х = — — состоит из точек параболичности.
2' 2 При 1 > — уравнение гиперболично всюду. 4 у 2. Уравнение их„, + хиз „= О при х < О принадлежит к гиперболическому типу и 3 з заменой С = — у+(~à — х)з, у = — у — (~à — х)з 2 2 приводится к каноническому виду 1 игл — ~ )(иà — ия) = О, С > О.
О При х > О уравнение и„-~- хия„= О принадлежит эллиптическому типу и заме- 3 ной С' = — у, ц' = — ъ'хз приводится к каноническому виду 1 Рис. 13 иве + и,'з' + —, ил' = О у ( О. Зг1~ Гл. й Уравнения в наетнььх производных второго порядка 133 Характеристиками уравнения являются полукубические параболы 1рис. 13) ~2 ~ Л--х)з 3 причем ветви, направленные вниз, задаются уравнениями 4 = сопз1, а ветви, направленныс вверх, уравнениями ь1 = сопки 3. Уравнение и, + уиво — — 0 при у < 0 гиперболично и заменой 4 = х + 2зл — у, ь1 = х — 2злс:у приводится к каноническому виду 1 иев+ (ис — и„) =О, ( >ь1.
2(С вЂ” ьЛ) При у > 0 уравнение эллиптично и заменой 4л = х, ь1' = 2 лу приводится к каноническому виду 1 илч +ион — —,ин —— О, у >О. лЛ Характеристиками уравнения являются параболы (рис. 14) 2 у= — — (х — с) . 4 Ветви, идущие от оси х влево, задаются уравнением 4 = сопз1, а идущие вправо О = сонэк Рис. 14 1 4. Уравнение иах + уи„+ — ио — — 0 имеет всюду такой же тип, 2 как уравнение их, + уьлкв = О, .рассмотренное в предьлдущей задаче. Теми же заменами, что и уравнение ьл, + уи„„= О, оно приводится к дзи каноническому виду = 0 в области гиперболичности (у < 0) и д( дьл дхьл дзи к каноническому виду, +,,' = 0 в области эллиптичности (у > 0). Характеристики уравнений и„+ уи„о -~- — ив — — 0 и и, + уи, в — — 0 2 совпадают.
Замечание. Сопоставление уравнений и ., + уио — — О, их + 1 + уи„„+ — и, = 0 показывает, что наличие членов с младшими про- 2 изводными существенно сказывается на уравнении, так как в одном случае коэффициенты уравнения после приведения его к каноническому виду имеют особенности, а в другом нет. 5. Уравнение уи + хи„, = 0 во второй и четвертой четверти гиперболично и приводится к каноническому виду дзи дзи 1 ди 1 ди + — — — — — =0 д~л дтЛ' 3~ д~ Зл ду 134 Отвенгм, указания и решения путем замены ~ = ( — л)з7г, О = (д)згг во второй четверти, ~ = лз7г, г1 = ( — д) ~г ~ в четвертой четверти.
В первой и третьей четверти урав- нение эллиптично и приводится к каноническому виду дги дги 1 ди 1 ди —,+ — + — — + — — =О, дСг дц'г 3~' д4' Зп' дг1' путем замены С = из г~, г1 = дгк~г в первой четверти, С = ( — т)~7~, г1 = = ( — гд)~г~ в третьей четверти. Оси и и д состоят из точек параболич- ности. Как известно г), переход от одной канонической формы гипер- болического уравнения к другой д и д и — (- ди ди 1 ( д~' дуг ~ ' ' ' де' дб( осуществляется с помощью подстановки — с+ц — с — л г1 = 6. Уравнение ти„+ ди, „= О в первой и третьей четвертях эллиптично и приводится к каноническому виду да да 1 да 1 да + — — — — — — =О дсг дг1г ~ д4 1 дд подстановкой ~ = т~г~, г1 = д"г~ в первой четверти, С = ( — л)~г~, О = = ( — д)ь~я в третьей четверти.
Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду дги да 1 да 1 да — — — — + — — =О д~г днг 4 д4 г1 дн путем замены ~ = ( — т)~7~, г1 = (д)~гг во второй четверти, = (т)~7г, г1 = ( — д)~7~ в четвертой четверти. Оси л и у состоят из точек параболичности. 7.
Уравнение и ., + иди„„ = О в первой и третьей четвертях эллиптично и приводится к каноническому виду 1 1 иве+и„+ — ие — — и = О л' 34 г1 Ч 2 2 зг заменой С = — тзгг, .г1 = 2дггг в первой четверти, С = — ( — т)згг, 3 3 г1 = 2( — д)ггг в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду 1 1 иве — и,, + — ив+ — и = О 3~ ц ') См. )7, с. 16).
Гл. й Уравнения в иаетпнвтх производных второго порядка 135 2 з 2 путем замены ~ = — ( — х)зтз, ьт = 2дьрз во второй четверти, 3 2 з 2 = — хзтз, 21 = 2( — д)ьрз в четвертой четверти. Оси х и д состоят из точек параболичности. 8. Уравнение и„яка д+ 2иа„+ и„„= 0 в первой и второй четвертях параболично и заменой р=х+дь п=х — д приводится к каноническому виду д'и =О. де 2 В третьей и четвертой четвертях оно гиперболично и заменой ~ = (1 + ~/2)х + д, т~ = (1 — иГ2)х + д приводится к каноническому виду — = О. дс де 9. Уравнение из + 2иао + (1 — яоп д) и„„= 0 в первой и второй четвертях гиперболично и заменой ~ = д — 2х, д = д приводится д и к каноническому виду — = О, а в третьей и четвертой четвертях дс дц оно эллиптично и заменой ~=х — д, п=х дза ди приводится к каноническому виду — + — = О.
д12 дт)2 10. Уравнение и„яяььд+2и,а+ива яках = О в первой и третьей четвертях параболично и заменой С = х+д, тт = х — д приводится к д и д и каноническому виду, = 0 в первой четверти и к, = О в третьей дц' четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду д и дади путем замены ( = — (1 + ььт2)х + д, и = — (1 — зьт2)х + д во второй четверти, ~ = (1+ ьтт2)х+ д, и = (1 — ут2)х+ д в четвертой четверти.
11. Уравнение дзи„— хзи„„= О гипсрболично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к каноническому виду дади 2йз — Р) дб 2(пз — 42) дп заменой ~ = д — ттз, т) = дз + хз. 12. Уравнение хзих, — дзи„„= О гиперболично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к 136 Отвесам, указания и решения каноническому виду даду 26 дг1 — — — =О заменой с = хд, г1 = д х 13.
УРавнение хги, + дгиии = О эллиптично всюдУ, кРоме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к каноническому виду дги дги ди ди д6 + дч д4 дд заменой С = )п ~х~, 6 = )п ~д~. 14. Уравнение дги, + хги„„= О эллиптично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится заменой С = д, г1 = хг к каноническому виду д и д и 1 ди 1 ди юг + дг1г 26 дб + 2н дн 15. УРавнение дги„+ 2хдиа„-~- дги„„= О паРаболично всюдУ; х +д х — д заменой ~ =; г1 = оно приводится к каноническому 2 ' 2 виду дги ( ди в ди д4г 214г г1г) де 2(4г нг) дн 16.
УРавнение хги,, + 2хди я + дгивв —— О паРаболично всюдУ. Замоной ~ = —, г1 = д оно приводится к каноническому виду д = О. дцг 17. Уравнение 4дги, — егеивв — 4дги = О гиперболично при д ф О. Заменой ( = е' + д, 6 = — е' + дг оно приводится к каноническому виду — 1 исч = ~ ~, (ис + иа). 18. УРавнение хги,а + 2хдиаи — ЗУ'脄— 2хи, + 4ди, + 16хеи = О гиперболично всюду, кроме осей х и д, состоящих из точек парабохз личности. Заменой Е = хд, г1 = — оно приводится к каноническому д виду д и 1 ди 1 ди + — — — — — + и = О. д4дг1 4г1 д6 6 дг1 19. Уравнение 11+ х') глгя + (1+ дг) ии, + хгля + да, = О эллиптично всюду, заменой с = 1п(х + зггГ+ хг), г1 = )п(д + хггГ+ дя) оно приводится к каноническому виду дги дги дбг + дог Гл.
1. Уравнения в чавтпньгх производных второго порядка 137 2. Уравнение с постоянными коэффициентами. дго 4Ьс — Ьг — с — 12а дг дт1 144аг ~ = у+ (згтЗ вЂ” 2)х, 0 = д — (АЗ+ 2)х, и1с, т1) = е 4 'ггвттгс, т1) о = с — (чтЗ -~- 2)Ь с -Е (гттЗ вЂ” 2)Ь 12а ' 12а г3= до дго 2126с — Ьг— 22. — + — + — ~ дЬг дт1г а )г а 1 х ~=у — — хг т1= —, 2 ' 2' 2с +1 с=О, и((, т1) = а ~~ вог,С, т1), Ь вЂ” 2с Ь 13 = — —. а дг дг1г а дг 0 = х, и1С, т1) = ео вс((, т1), Ьг — 4а Ь о= 4а(с — 6) ' 2а 3 2. Уравнение с постоинными коэффициентами для функции и независимых переменных Е птгкпн,н + ) Ьгин, + св = злттхгг хгг...
гх,г) Уравнению и гг Е аиигх, + ~ Ьнг, + си = тг(хт гхг,...,х„) гд=т ставится в соответствие матрица коэффициентов при старших членах йагг ~! (2) и квадратичная форма а,гх;хг. Е гд — — т (3) Если в уравнении 11) перейти к новым независимым переменным по формулам 20. УРавнение игл вш х — 2риг„ыпх + Угвг„= О паРаболично г, всюдУ. Заменой я = Р Ц вЂ”, т1 = У оно пРиводитсЯ к каноническомУ 2' виду дон 2с ди дггвгЕгдгг 138 Ответы, указания и решения оь,хо й = 1, 2,..., и, (4) и=1 будет связана с матрицей За,ь'5 соотношением Р зв = !'мезе . 'еа ее 'эо,ьэ.
(б) Матрица /!а,ь// преобразуется так, как матрица квадратичной формы 13), если в этой квадратичной форме перейти к новым переменным по формулам и оеьвы (7) з.=г где о,*з = оы. Матрица перехода от новых переменных вы ..,, в„к старым переменным гы.,.,г в квадратичной форме (3) получается транспонированием из матрицы перехода от старых независимых переменных хы..., х„к новым независимым переменным ~ы..., С„в уравнении 11). Таким образом, чтобы найти преобразование (4), приводящее уравнение (1) к каноническому виду, нужно найти преобразование (7), .приводящее квадратичную форму (3) к каноническому виду, содержащему лишь квадраты переменных вз,,,., в„с коэффициентами +1, — 1 или О: матрица преобразования (4) получается из матрицы преобразования 17) транспонированием.
24. ие,б + аеге, + ае,е, + ие, = О, сг = х, сг = — х+ у, ~з = 2х — 2у+ г. 1 1 25.иг,б =из,(, +избег" ~~ х+ 2у г, ~г = 2у' 4з =я 26.иеч =и, +и в +и... 1 1 1 1, 1 1 1 1 1'=-З+хх — -у — -г, х'=-1+-х+-у+-г, 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 1 1 1 1 у' = — — 1+ — х+ — у — — г, 2з/3 2ъ'3 2ъ'3 ' 2ъ'3 -1 1 1 1 г' = — 1+ — х — — у+ — г. 2ъ'5 2ъ'5 2з/5 2Л 27.иеш =и, „, +ихв +ае..
1 1 х = — х+ — у, ъ'2 з(2 1 1 г' = — т, — — у 2 2 1 1 у = — г+ — 1, ъ'2 ~Г2 1 1 2 2 3 2 3 У 2 '3 2 '3 то матрица ~~б,ь ~~ коэффициентов при старших членах в преобразованном уравнении и е ~ амиаге + ~5;иа + си = О (5) 1, ь=г е=1 Гл. А Уравнения в чаеьпных производных вьпороео порядка 139 28. и а)и +~пах =Оь ь=я 1 хь = — (хь + " + х.), ,р7 +ц хь = ь-'ьььхь + . -~- еипхпь ь=2,3,...,п, б)ихх,— ~ и =Оь ь=х 1 хь = — (хь+ "+х.), %7-: л где (оьь,...,оь„), ь = 1, 2, ..., и, любая ортогональная нормированная система решений оь -поз+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
