Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Гл. Ъ11 Уравиеиин эллиптического типа Ео = (Еол, Еор, О), Но = (Нор, Нот, О), причем Ай Еор = —, Р сй Но = — — Ео ээк Нор Р Евр = — Нор кс где А и В постоянные множители, ,2 е 4 2 — 1 й Если с=1, 0=1, а=0 (вакуум),то к= — йо с такого провода распространяются со скоростью света: Р волны вдоль Ео ргио Ео ~7 ди 1ыр д о о р дэ» с др О .
ди иар дио Я~ = му — + — —, др ср др' 2 О ив НО 2 О НО Йсди Шдо мй др Р дэг о 1й'с 1 ди . доо Н = — — — +ид —,. и Р дР дР ' ерм . 4кары где р = кг — 12, кг =, — 2 2, функции и = о4(р, ~р) и о = Я~(р., оэ),. где о и д --- постоянные, уз(р, р) --. решение уравнения (2) дФ1дФ2 р +, 2+ ф 0. р др ( др) рэ дтэ Отсюда находим частные решения вида ,у„(рр)ети внутри цилиндра, Р..(Р, Р) = Нй ~(рр)е'"" вне цилиндра. 41 Б.М. Булак и яр. Н = Носе ' "', Еое = Нор., Нор =— Р 77. Решение. Пусть е1.
01, о1 -- характеристики провода, ег, рг, аг характеристики окружающей среды. Выберем цилиндрическую систему координат (р, оэ, 2), направив ось 2 вдоль оси цилиндра и поместив начало координат на оси цилиндра. Обозначая П. = и, П', = о и предполагая, что зависимость и и и от 2 дается множителем еет=, т.е. и = и его', о = и~ею и т.д., получаем после сокращения на этот множитель 642 Ответы, уииэания и решении Подставляя выражение для 7)7 в формулы (1) и (2), получаем: внутри цилиндра Е = о,ргали(ргр)е'ии, Н, = Яр,ги7ргР)ет"', — ~ о Л.(ргР) + "'~' Я~.'(ргР) Р с чи Игсрг г — — 'АУ О Р) — ' о ЫР7Р) Р игрг ! — Д7,7, (ргР) + г'ургог Х„(ргр) Р ! — "" огЛ„(ргр) + ергу 1и (ргР) ш1ггр Ео и 7 не' гаи Е о Егаи Н о 777Е вне цилиндра ог172Н~ ~Р2Р) Но 71 ргН171(ргР)е '772Н„' (ргР) с и Н~ ~ (р Р) юдг — — о НП'(р Р)+ Р ! 772Н77, (аггР) Е, о и Еги77 7 7777 ср Нр огН77 (ргР) + г ур2772Нв 7ргР) вгдгР На границе при р = о должны быть непрерывно тангенциальные составляющие Е и и.
Это дает четыре однородных уравнения с четыРьмЯ неизвестными пг, ог, Д и )72. ПРиРавнивал опРеделитель системы нулю, получаем дисперсионное уравнение относительно у ! й,,у„'(с)' 172 Н„у(л)~ ~Р7 .1„'(с) Рг Н (71)1 2 2( 1 1 Р76 у 14) Р271 Н771~,)1~ 4 й 14) у Н,',77И71)~ у 1,уг 6277 (4) где с = рга, 71 = рга, а — радиус цилиндра. Это уравнение имеет бесчисленное множество корней у„„, (см. [35, с. 460]).
Пля основной волны п = 0 дисперсионное уравнение распадается на два уравнения: ~Нв' 7® ~5и 4Ув(6) (5) н,'оИ) й5 17Ю ' ЧНвогЯ Рг Сйв(С) (6) Нг (71) Рг уг 7и) Первое из них определяет допустимые волны магнитного типа, а второе волны электрического типа. Гл. Ъ18 Уравнения эллиптического типа глП+ йзП = 0 внутри Е (й = — ), П=О на Е. Если Ее=О, то П',=П' и гзП + йзП = 0 внутри Е, дП' =0 на Е.
ди Существуют частные решения вида П(М, 2) = уг„(М)Е"-', П'(ЛХ, 2) = фп(М)Е'У:=, где у„= зе'йг — Л„, уп = ьгйз — Лп, Л„и Лп собственные значения краевых задач Ьзф,ч-Л„Зо„=Она, ф„=ОнаС, 212ф„+Лсфп=ОВЯ, "=ОиаС. ду ди Если Лп < йз для п = 1,2,...,2У и Л„> йз для п = Лс+ 1, Лс+ 2, ..., то существует Л1 бегущих волн, каждая из кото- рых распространяется с фазовой скоростью йс с ы / л„ Если Л1 > йг, то бегущих волн в трубе не может быть.
Если П(ЛХ, 2) = А„уг„(М)е' '", то поток энергии через попереч- ное сечение равен 2 сй У ~1 ~2с, Л При этом предполагается, что уз„(ЛХ) нормированы к единице Указание. Если ввести прямоугольную систему координат, то да и д'П даП Е вЂ” д д' Ео — д.д, Е =дэ+йП' Н,= — 1й —, Н, =зй —, дП . дП ди' э дя' Н,=О.
41* Т8. Пусть Е поверхность трубы, Н ее перпендикулярное сечение, С -.— граница Я. Направим ось 2 параллельно образующей трубы. Зависимость от времени е Любое поле внутри волновода можно представить в виде суммы полей электрического типа (Нл = 0) и магнитного типа (Е, = 0), каждое из которых определяется 2-компонентой соответствующего вектора Герца (см, задачу 69). Если Нл = О, то, полагая П. = П, получаем задачу для скалярной функции 644 Ответы, указания и решения Задача, полученная для П', аналогична задаче 42 о распростране- нии акустических волн в цилиндрической трубе с жесткими стенками (см. [7, с. 528)).
79. Бегущие волны могут существовать при выполнении сле- дующих условий: а) если Л „= ~р ~ < й, то существует столько бегущих (и'л 2 волн, сколько имеется линейно независимых решений волнового урав- нения для Л „, удовлетворяющих этому неравенству; здесь Рт (иЛ корень уравнения 1 (Ра) лу Ола) Ую РЬ) Н.Оль) ' в этом случае могут быть волны электрического типа; б) для всех собственных значений Л „, для которых выполняется неравенство Лти=~р ~ <Ь где Рт — коРень УРавнениЯ л,и 'л и',Яра) лу„(РЬ) — 3„(РЬ) М,ЯРа) = О, существуют бегущие волны магнитного типа (Е, = 0).
Для основной волны электрического типа (и = 0) имеем П. = П = А„,Кил(Р)ггт ' О, 7 = й л)'1 — Р'", где Аи, коэффициент, Й лР) = ЛоЬл Р) Нолллтлл) — гвалта) Жо(ул,ир) Р корень номера щ уравнения во(ра) Яо(РЬ) — ЮоОлЬ) Иоула) = О. Поток энергии через поперечноо сечение равен те ен ~ 1 ~з, ~1Р ° во (Р а) — Юоо(Р Ь) Составляющие поля даются формулами =,' П, Е,=О. Е,= А Д' ( ).Ц'~-'-ыл), Н. = О, Н„= — А,„лИКт(Р)еитие " ~л Не = 0: так что Ни —— — — Ер.
т Указание. Следует воспользоваться результатами задачи 78, предположив, что область Я имеет форму кольца с радиусами а и Ь. Собственные функции кольцевой мембраны с закрепленными и свободными границами даны соответственно в ответе к задаче 27. 80. Пусть начало сферической системы координат (г, В, ув) находится в центре сферического резонатора.
Зависимость о времени типа е Гл. лг1й Уравнения эллиптического типа и „(Г, В, гр) = улп(й „Г) У(™(В, гр) (п = 1, 2, ...; пл = О, я1, х2, ..., яп агш, где й уравнения с собственное волновое число, являющееся корнем -г елЛг(йа) йа э„лЛг(йа) а+ 1' у 2р — Фп(Р) = — гпв-луг(Р): Уп™(В, гр) = Р„™(созВ) . тгр сферическая функция. Самая низкая собственная частота соответствует и = 0; и О(г) = л)ло(й г), причем й определяется из уравнения элЛг(йа) = йа, э гЛг(йа) т. е Ц(йа) = йа. Для колебаний магнитного типа (Е„= 0) гй д. Я„= О., Ев = —, япВ др' 1 дг(„,) "'- г дгдВ имеем Ее = — лй —, до 1 дл(ги) г дгдр ' Нг =, + рд(глг), где и = и,п и = угп(й „Г) 1г~ 1(дг р), причем й„, „определяется из уравнения У„ел„(йа) = О.
11ри тл = 0 получаем: О,п. О = ФО(йгпг'), где ггт гг й = —, илл =с —. и а Указание. Ср. с задачей 25 о собственных акустических колебаниях сферы. 81. Рассматривается отрезок цилиндрического волновода произвольного сечения, ограниченный двумя плоскостями г = Н (ось е параллельна образующей цилиндра, см. задачу 78).
Колебания электрического типа определяются по формулам дг 1 дг(, ) дг( дгг дгдВ ' и гявр дгдуг ' явВ дгр где и = и„, „ собственная функция краевой задачи лллл+ йги = О, и = 0 при г = а, определяемая формулой 646 Ответы, указания и решения Колебания электрического типа (Не = 0) Пе = Пт „, = Ат пер„(М) соз — (1 — г), где ер„(М) — собственная функция краевой задачи г1гф„-'г Лпг)з„= 0 в 5, '~„= 0 на С. Собственные частоты /ктЛ шпьп — с 'и+ 1 / ~ 21,/ Колебания магнитного типа (Ея = 0) П- = 111п,пЖ г) = Ат,пг)гп1М) з1н (1 г)~ где 4)„(М) собственная функция краевой задачи дйп '" =ОнаС. ди гзгФ +Л у — Овз Собственные частоты Лг шт в=с Лп+) — ! ), 21 ! Средняя за период электрическая энергия в стоячей волне равна среднему за период значению магнитной энергии Полная энергия стоячей волны не меняется во времени и равна = — сйгЛ ~А Р Для резонатора с круглым или прямоугольным сечением форму- лы для П остаются в силе; туда следует лишь подставить конкретное выражение для собственной функции.
а) Пля прямоугольного сечения со сторонами а и Ь Г4 ..гт . ил г)г„(М) = фт (х, у) = е1 — з1п — хв1п — у, 'у' аЬ а Ь уы(М) = гЬп (х, у) = Г"' " соз — хсоэ — "у, ч аЬ а Ь ее=2, йт'-О,. ее=1. б) Пля круглого сечения радиуса а имеем ьо з ( гз)соз "'гФГ ' """-" "" Га. Ъ ЬЬ Уравпепин эаааптичеекого типа 647 (и) [Р 1 -ОО где рт --- корень уравнения оп(р) = О, Л,л = , рт -- корень аг уравнения ~1,(р) = О. Приведенные выше функции ф „и ф „нормированы к единице. Указание. Функции П и П удовлетворяют волновому уравнению г1и+ к~и = О и следующим граничным условиям; П=О на Е; — =О при г=Н, дП дг дП вЂ” =О на Е; П=О при г=Н.
дп При вычислении энергии во всем объеме следует воспользоваться формулой Грина (см. ~7, с. 538. 542)). 82. Пусть тороид ограничен поверхностями р = и и р = Ь и плоскостями г = — 1 и г = й Если можно трактовать как «отрезок» коаксиала длиной 21, рассмотренного в задаче 79. Пля поляризационных потенциалов П и П остаются в силе формулы, полученные при решении задачи 81, а для собственных функций поперечного сечения угп и уг„следует взять выражения, приведенные в ответе к задаче 79, соз п р ° - соз пу» ф, (р, Ф =П.ь (р);;„и;,, фт,»(р,Ю) =77 „.ер)„.п„, где 77, М) = д М~'р) ~~ Ъ'„,''а) — У.(рй'а) 74.ЬР'и), Й„, а(р) = Хп91~" р) Х„91~" а) — Я„Ц~ "~а) ГвпЦа ~р), рт и рп, определяются соответственно из уравнений ОО ЦЩ 77,„,„(Ь) = О, Л,'„„(Ь) = О.
Собственные частоты колебаний равны ...= уЬту ( —;;)' '...=е,ЯТ (=„)г Указание. См. задачу 81. 83. Лиябракпия на цилиндре. Ось цилиндра направлена по оси г; плоская волна распространяется вдоль оси т, вектор напряженности электрического поля в падающей волне направлен параллельно оси провода. Обозначим вы рг, аз параметры провода, ег = 1, рз = 1., аз = О - — параметры среды, 11 и Ьз соответствующие волновые числа, причем е1ао~ 4- 14ла1ао ег Зависимость от времени типа е Только г-компонента вектора Е отлична от нуля; Е=(О,О,Е), 648 Ответы, указания и решении через нее выражаются Нр и Нсп гс 1 дЕ гс дЕ Н = — — — — ', Н = — —, Н,=О. р ар' ' р ар' Для Е = Е(р, уг) получаем ем" + ~ а Н~~)(йгр)ег~'"' при р > а, Е ге= — гс ~ Ь Юн 1йгР) * ' при р(а, т= — сс где а радиус провода, —,у„',(йга) р' (йга) — йети дсга) ут(йга) а т й —,7„',(йга) Н~„1Я а) — йгНес,'~ (йга) р, (йга) 1гг .т У ссйга) Н ~гсйга) ут(йга),7т(йга) Если провод идеально проводящий, то 1 (йга) а„, = — г ',"„, йн, = О.
Н (йга) У к а з а н и е. Требуется найти решение уравнения сзЕсц + йгЕОО = О при г < а, гзЕс~) + й~Ес~) = О при г > а причем Е~ ) = Ее+и = е*""+ и удовлетворяющее на поверхности провода р = а условиям непрерывности Ес и Н„, что дает 1 десп де~с~ Есю = Е1г), — = при р = а. Р1 др др Кроме того, функция и должна удовлетворять на бесконечности условию излучения lди 1пп зггр1 — — гйги = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
