Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 89
Текст из файла (страница 89)
в ответе к задаче 23; /и„ пв а в) третья краевая задача ддя сектора Г и, (р () = У.. ( — "",* р) 'Ь (() ( ( 2 Ф ( ) = и" сов ип(э т Ьг вшпп(э Лп' = ((л"' ) (т = 1 2 ) ,,2„82 ~ 1а/ 604 Ответы, указания и решения (Ьл и- Ьо)и где лли . положительный корень уравнения Ья руоо = ио — Ьлйо ' лл " коРень УРавнениЯ 1л,У,', (1л) + айа,Уи„(Р) = О, (ил 2 йули, и~й — йФий ви ( Р) ~~Ф ~~2 ~РО лал е Ьо)(~ + Ьлао) и — 2 2~ л Ьо)~ о Ьо) ~ "\, а / 29. Ищется решение уравнения 1 О Л' ОиЛ 1 болл — — ~ р — ) + —,, +Лп=О (а<Р<Ь, 0<у<~ре), РОР [, ОР) Рва~ удовлетворякппее однородным граничным условиям; а) первого рода; б) второго рода; в) третьего рода.
а) Первая краевая задача: е = 0 при р = а, Ь, уо = О, лрс, и,„„~р, уо) = Л„, „,(р) Ф„(уо), Фи(уо) = зш — лр (гл = 1, 2, ... ), ~оо А,„„(Р) =,7» (1л~"~р)Х (1л" а) —,7 (р ",' и)л"1 ()л" р), или Уж(Р" а) Л,„, „(Р) = " ~,7-и (Р~„'ОР) Л- (р~„',ОЬ)— »о — и' (ул~" лЬ) Х (1л~"~ р) ~, ео ио (ил 3 Лт,и = йлт корень номера пь уравнения и и (Ра) ло' (Ра) ио ео у., (Рь) а,.
(Рь) ' ио ео 2 Выражение для ()Л „)(з см. в задаче 27 (формула (4) с заменой,7„ на и'ял). ео Подобным же образом получаются выражения для случаев б) и в). 605 Гл. Ъ'11. Уравкеиин эллиптического типа 30. а) Требуется найти собственные колебания для области а < <р<Ь, 0<2<1, если и=О прир=О, Р=а и 2=0, Собственные функции пгп,и.н(Р, ~Р, 2) =от,и(Р) Фп(,Р)А(2), где Уь(2) = ап — 2 (й = 1, 2, ... ), гэ ( ) 1 ( (и~ )кс ( (и~ ) эг ( (а1 )к( ( (и) ) (см. ответ к задаче 27), рт --- корень уравнения (и1 у»( ) Хп( ) .~.
(РЬ) Л,(РЬ) ' Лт,п = (Рт ) + ( 1 ); Р~иип,я!~ = 2 Еий~~т.п!! Выражение для ((Ят иЦ2 см. в ответе к задаче 27, а). дп до б) Вэтомслучае — =Оприр=а,Ь, — =0 при 2=0, др дг так что Яь(2) = соз — 2 (й = О., 1, 2, ... ). Л „(р) дано в ответе к задаче 28,б), (п1 2 л'Й 2 и'1 2 2 Лт.и — 0гт ) + ( ) ~ ((гт,п.я(( — енепЬ~Кп,и(~ всегда положительна, а при малых е равна 2 1 ог уг ( Дао) 1 где члены более высокого порядка малости шпен. Из этой формулы видно, что 11 11Лг = О.
е — го 1 и +.. иг 1п 2, 4048е относительно е отбро- 31. Если Лг — первое собственное значение кольцевой мембраны (е < р < а) с закрепленной границей, а Ле - . первое собственное значение круглой мембраны р < а с закрепленной границей, то поправка ДЛ, =Л, — Л", 606 Ответы, униэиния и решения Решение. Наименьшее собственное значение Ло жестко закрепленной по границе р = а круглой мембраны определяется из уравнения Уо (ъУЛз а) = О, а первое собственное значение Лз кольцевой мембраны е < р < а с жестко закреплонной границей определяется из уравнения ,Уо (ъУЛз е) Хо (~ Лз а) —,Уо (ъг Лз а) Жо (ъ Лз е) = О. (1) Полагая ЪеЛз = ЪУЛд + аб так что ЬЛз = 2ъУЛо о, и учитывая, что ,Уо (з/Лзе) = 1 —..., Ууо (ъУЛзе) = — 1пъеЛзе+..., зло (ЪУЛз а) = Яо (Ъ'Ло а) — Хз (ЪУЛз а) аа, .Уо (ъ~ Л, а) = йо (Ъ'Лз а) — йз (Ъ'Ло а) аа = — оаУз (Ъ'Л", а) .
Из уравнения 11) получаем лъ (, л;.) 2 у,( Лоа) 1п 1 'л, Л'о (и Л',а) = 1 1 ъ'Ло е = 0 равен ро = 2,4048 и иеЛУаи,7;-'1ъ'Лза) 1п Так как первый корень уравнения Уо1д) ,Уз(увоз) = О, 5191, то ЬЛз — 7, 41 1 и.'- 1п 2, 4048е 32. Если нагрузка М мала, то: а) 11ш Лз = Ло; м — ео б) ЬЛ,=Л,— Ло- 1 1п— Воспользуемся теперь выражением для определителя Вронского УоУк)~о1к) — Уо(л)~о(а) = —; так как,Уо1ъУЛоз а) = О, то отсюда находим 607 Гл. Р16 Уравнения эллиптического типо Если нагрузка М велика, то: 1пп Лг = Лез; М-в 1 — +..., М 1пп Лз=О, м-всю б) где С равно Лз = 2кС 1 С= — — = !ар 1 1' !в— р где е р= ° так что где 2 г ди, с!и г' = ! — ' рс)р = 2ке — (е), / др др Р=- или — ЛМи), = 2яеи'(е), так как и = — Ли. Обшее решение имеет вид и = АЯо(ъlЛб р) + В)чо(м Лб р) или и = !Уо(х) Уо (- р) — Уо(х))Уо ( — р) Условие при р = е дает нам уравнение для определения Л х эо(рх)Мо(х) — эо(х)1чо(рх) 2р А(рх)асс(х) — дгг(рх)уо(х) где 5 =, х = ъ'Лба.
бкаэ М л, = — +... 2к 1 1в— р Решение. Уравнение колебаний мембраны имеет вид 1д/ — — ~р — у! + Лби = 0 для е < р ( а, ° др(, др) где б .-- плотность массы. Граница р = а закреплена, так что и( =О. Обозначим ъ'Лба = х, ъ'Лб е = рх, р = —. Лля получения второго граничного условия изменим задачу, заменив круг радиуса е с центром в точке О абсолютно жесткой пластинкой массы М, для которой уравнение движения имеет вид д и дог 608 Ответы, укаваиия и рвшвиия Рис. 58 Решение дисперсионного уравнения (1) может быть найдено графически.
График функции Я(х) имеет вид рис. 58. Здесь йо, йы кг корни знаменателя функции Я1х), а штриховая кривая парабола Я = — — хг1пр. 2 Задавая значение М (на рис. 58 горизонталь АВ), найдем соот- ветствующие корни дисперсионного уравнения. При М вЂ” 1 со горизонталь АВ стремится к оси х, первый корень стремится к нулю, остальные корни стремятся к значениям Лм Лг, о о Лз, ..., которые являются корнями числителя функции Я(х). Величи- ны Ло, Лго, Лзо, ... отличаютсЯ от Ко, йм Кг, ... на величины, имеющие порядок величины емкости круга радиуса е 1 С = —. Е ' !ив Пля больших масс М первый корень будет мал. Разложим цилиндрические функции возле нуля: го(х) = 1 — ...,,А(х) = — х+..., 1 2 Хо(х) = 1п1х) -Ь..., Хг1х) = — — + 1 Подставляя зти выражения в равенство (1), найдем 2и 1 1 Лг = — . = 2хС вЂ” ~-..., М вЂ” 1пр М 1 где С = — —, р = —.
1пр' а 33. Пусть внешняя граница кольцевой мембраны е < р < а является свободной,т.е. др — (а, 1в) = О. 609 Га. 118 Уравнения эллиптического типа Тогда 2 12,3 ьл,=л,-л',=, +...= о( л ) 383е о г о'Л', где Ло = — ~, ро первый корень уравнения,Тг(р) = О, ро (и = 0), имеют вид ллт(Р) Уо ( Р) 70(рлп) где Рт .- коРень УРавнениЯ уо(Р) = — — уг(Р), ядосоа а л 'коТ которое получается, если (3) подставить в уравнение (1). Ряд для уз(р) дает 72(р) 1 Р /л рг 8 96 3072 Если пз = 2,4048 первый корень уравнения,7о(ц) = О, то Ло(лл) = — Уз(лч)е = — 0,5191е (е = цл — ил).
Из (4) и (5) получаем /ил из Л 6,8619-10,4229х у(")+( — + — )х (, 48 768) (3) (4) (5) 39 Б.М. Булок и яр. (.) = 3,83. 34. Задача о собственных колебаниях круглой мембраны, натянутой на отверстие сосуда объема )го (барабан), приводит к следующему уравнению: г г босо г г ол Ьзо+ Ле = — ~ ~ орс1рс7лр ( Л = — ), 1;Т1 l сг )' о о если предположить, что скорость поперечных волн значительно меньше, чем скорость звука в воздухе. Здесь 5о -- плотность воздуха в сосуде, со .— скорость звука в воздухе при давлении и температуре в сосуде, соответствующих Гт неподвижной мембране, с = —, Т натяжение мембраны, а ее р радиус.
Интеграл справа означает добавочное давление, создаваемое колебаниями воздуха в сосуде (см. [38, с. 217)). Из (1) и ортогональности тригонометрических функций на (О, 2я) следует, что при и, > 0 собственные функции мембраны о„= аа ~— . ~' (2) не меняются, несмотря на наличие присоединенного объема воздуха. Собственные функции, обладающие цилиндрической симметрией 010 Ответы, указания и решения 0,0373 при Х = 1, 0,5570 при т = 5 и соответственно пг = 2,4421, рз = 2,9618.
35. Основная частота ш~ 1520 с '. Она может быть увеличена в 1,45 раза, если присоединить воздушный объем Го — 2918 смз (Х = 10). Указание. См, задачу 34. Е 3. Распространение и излучение звука Уравнения акустики, как известно ~), имеквт вид ев = — с 8гас)в, 2 вв+с))у в = О,.
где е —. вектор скорости частиц газа, .в = Р— Ро Ро конденсация газа, в-Л скорость звука, ро и ро начальная плотность и постоянная адиабаты. начальное давление, Полагая е = — йгаб 17 или в = с 17в, где П вЂ” потенциал скоростей, получим для потенциала уравнение колебаний 77н — — с в117. Полное давление р просто выражается через конденсацию ж р = ро(1 + 7в). Обозначая Р = р — ро --. избыточное давление, имеем Р = — Ров Рос в. "уо ро Отсюда видно, что избыточное давление Р также удовлетворяет уравнению колебаний Рп — — с ваР. Если граница Е области, в которой ищется решение, предполагается абсолютно жесткой, то на ней нормальная составляющая скорости равна нулю: ен) =0 или — =О, .— =О, дО дР а дн в дв в где и -- нормаль к Е. в) См., например, [7, гл.
П). Эта формула позволяет вычислить поправки к первому собственному значению за счет присоединенного объема. Так,например, 611 Гл. Ъ'П. Уравиеиин эллиптического типа 1 Кинетическая энергия объема с1яду дг газа равна — рои-4и др йю 2 Потенциальная энергия, очевидно, дается выражением Полная энергия в единице объема равна 2 1 2 "З' = Рои + —,Р 2 2росг Пользуясь формулой Грина, нетрудно записать закон сохранения энергии в виде ~И'6т — — /Ъ'ИЯ Ъ =рп, т где Т некоторый объем, ограниченный поверхностью Я. Вектор Ъ = ри есть поток энергии в единицу времени через единицу поверхности, называемый вектором Умова.
Полная энергия, изучаемая некоторым источником в единицу времени (полная мощность), равна где Я вЂ” некоторая замкнутая поверхность, окружающая источник. В случае установившихся колебаний рвам где амплитуда р удовлетворяет волновому уравнению Лр+ й'р = О. В дальнейшем мы всюду будем рассматривать установившиеся акустические процессы, т.
е. иметь дело с волновыми уравнениями, опуская, как правило, временной множитель с'"''е. Если в = ве' ', и = = исав', то в и и также удовлетворяют волновому уравнению, причем р = 1йсросг амплитуда. В случае гармонической зависимости по времени обычно используются величины, являющиеся средними за период значениями рассматриваемых функций. Если зависимость от времени взять в виде сил', то амплитуды р и и будут комплексными (черту над и опускаем). Учитывая это, получим для среднего по времени потока энергии выражение Ъ' = — Ве (ри*), 2 называемое также интенсивностью или силой звука. В акустике широко используется понятие импенданса.
Как известно, механический импенданс системы 2 определяется как отношение давления к скорости. Величина рос называется акустическим сопротивлением излучения. Безразмерный акустический импсданс определяется отношением — или Р рос Ро' 612 Ответы, указания и решения 1.
Точечный источник. 36. Требуется найти функцию С(х, у, г,. с, ц, Д = + о, (х — я)г + (у — ц)г + (г — ~)г, где о --. регулярное решение волнового уравнения, .которое должно быть выбрано так, чтобы при г = О выполнялось одно из условий: С) = О, — = О. дС е=е д. С(х, у, г, с, ц, Д = (х — д)г + (у — ц)г + (г + е,')г. Решением первой краевой задачи будет -я (, ) =-, О (И вЂ” ') '~, Я, )~~6~, С(х,у,г,с,ц.,~)= + б) С(М, Р) = — — (Н~1 ) (/ег) + Н~~ ~(Ь ~)), б) где М вЂ” М(х у) Р— Р(Я ц) В(* — ЕГ е (е — Е', = Л вЂ” Е' а (р е ег.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
