Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 84
Текст из файла (страница 84)
ВвЕдем полярные координаты с помощью соотношений с — х =т созуг, Л = рсозп, 1 ту — у = гзлпуг, р = решу, / (б) ') Подробнее см. гл. Ъ', З 3. 1. Применение интеграла Фурье. а) Преобразование Фурье. Напомним, что образом Фурье функции Е(х, у) с ядром ец "Етиллл называется функция У(Л, р) = — ' ) ) сц'~'-л"е~й ~~, у) 2Е4гр (1) 2н ~,/ Оригинал восстанавливается по образу с помощью формулы обра- щения Гл.
Ъ7. Уравнения гиперболического типа Рис. 53 (7) В силу равенства ) г — еы а п,1 ~=,7( ) 2г о (8) из (7) получаем -гв э ~г иг(х, д, е) = / / / Ф(С, ц) ггп аргус(рг)г егг егре(Зг. 1 а о о По г) 0 при го(Рг) з1п аР1 егР = 1 при а з/а~го — гг а1( г, (10) поэтому и("' ')= ,'11'3Х-"'-;"' (11) о о глз можно получить из из дифференцированием по 1., если предварительно заменить Ф(С, г1) на Ф(С, .г1). Таким образом, 1 д )' / Ф(6, л)г дгсХу 1 (' )'Ф(6, л)гдгйзг 2яа дг /,I,ЯЧ~ — гг 2яо,/,),/ ггг а а о а = ау*- е ' ~ (5~ — ге ') См.
(7, с. 600, (13')). ) См. (7, с. 608, (12) и (13)]. 36 Б.М. Будок и др. получим Л(~ — т)+р(ц — у) = ргсоз(д — ф = ргсог1о', где у' угол, отсчитываемый, как указано на рис. 53. Первое и второе слагаемые в правой части равенства (5) обозначим соответственно через из (т, у, 1) и иг(т, у, 1). В силу (6) мы будем иметь т + г, г о о а а 562 Ответы, указания и решении 105.
Р е ш е н и е. Применяя преобразование Фурье аналогично тому, как зто было сделано в решении предыдущей задачи, мы получим и1х, у, з, 1) = ио(х, у, я, 1) + из1х, у, з, 1), (1) где ь "<* ° ') = .)зЦЦЦФ« ° )с-"'х х е 'М1' — О р1о — о 1~-"( — ейск оцупа(е1Лсудс1р 12) из(х, у, я, 1) =, ЦЦЦФ«, ц, ~) х х е" о* Я1тр~" о~се 1п Сй с4~фсКс1ЛВрс4р (3) (с=опссе с,>.пс, и «и „е,пс, с — х =тя1пдсояоз, и — у =тяшдя|пуо, ~ — з = тсояВ,1 Л = ряшВ'сояуз', р = ря1пО'яшуз', р = рсояВ', / где В угол между положительным направлением оси я и вектором т = « — х)г + (ц — у)у + « — з)к, а О' - угол между т Рис. 54 и р = Лг+ ру+ рй' 1рис. 54), т.е. принимая направление оси я за положительное направление полярной оси в сферической системе координат, получим .~-с ь ' 2 2 из =,2 )з ~ / ~~ ~~Ф(х+ тя1пВсояуо, у + гя1пОя1пф, гсояВ) х 1 о о оооо ьш ар1 нр сое В' з х енр с™ рзтзя1пдяшВ'пргйиВиО'аязссво ° ар Гли $7. Уравнения еииероооичетоео типа Выполнение интегрирования по яг' и О' дает 1 иг — — / / 0Ф(х+тяшдсову, у+ твшдяшог, в+тсовО) х 2ига / о о о о х япртвшар1тяпОйрйтйдйр = о о,ге 1 / / / Ф(х+ твшОсояог, д+ тя1пОяшоо, х+ тсояО) х 4ига / о о о о х (соя р(т — аг ) — сов р(г + ая) ) т я1п О йт йр йО сЬр.
Интеграл 1 — / е1р / тФ(х ч-тяпОсовуо, у+тяпОя1п у, я+тсовО) совр(т — а1) йт о о (5) можно вычислить с помощью интеграла Фурье / йр 1/(т) совр(т — ая) йт.= Х(а1)... о о положив (тФ(х+тяшдсовог, у+ твшдвшог, в+тсовО) при т > О, П)=~ О при т<О. Если /(т) удовлетворяет условиям разложимости в интеграл Фурье и непрерывна, то интеграл (5) равен нулю при 1 < О и а1Ф(х+а1я1пдсову, у+агвшдя1п~р, в+а1совО) при 1> О. Аналогично, 1 — йр / тФ(х+ т яш О соя 1о,.
у+ с яш О яп ог, я+т соя О) сов р(с+ а1) йг = о о — аяФ(х — аввйгдсоя|р, д — авяшдяшяг, г — авсояО) при 1 < О, О у при 1> О. Таким образом, иг(х, у, г, 1) = г т = — / / Ф(х+ аяяпусоя~р, у+ аяяшд ошкур., г+ аясояО) яшдйуйр, о 'о иг(х, у, г, 1) может быть получено из иг(х, у, г, 1) дифференпирова; нием по 1 после предварительной замены Ф на Ф: г и,(х, у, г, 1) = — ~ — / /Ф(х+ а1яшОсоя1о, у+ авя1пОя1п~р, д1 4кд 1 о о г + ая соя 0) яп О йО й р 564 Ответы, указания и решения (*,е,е=, г'б П', '"' .,впво, ° = А.
— Ое е Ь вЂ” О 106. у(60,~,1 — -) 107. и(х, у, х, 1) = Я " й~сЬ~й~, (1) < о (х — С)' + (У вЂ” 0)' + ( — О' Переходя к сферическим координатам, как в предыдущей задаче, выполнить интегрирование по у', у', р и г. 108. и(х,. у, С) = — О Ф(х+2~ И, у+2ц ъГЬ$) яш Яг+ч7) сКйл+ хы + — ) йу О Ф(х+2~зеЬ1 у+2тlзе%)яшЯ + Ч )йг.йЧ. (1) о Указание. Применяя преобразование Фурье, нетрудно получить следующее выражение для и(х, у, е): и(х, у, 1) = )О) Ф(с, 0) соя Л(х — с) совр(у — и) к к соя 61(Лг + рг) йрйцйЛйр+ —,) йг))Ц~Ф(р., ц) соя Л(х — Я к о х совр(у — и) е.ояЬт(Л'+ рг) й~йпйЛйр, (2) если учесть, что аналогичные интегралы, в которых вместо соя Л (х— — ~) или соя р (у — 0) стоит яш Л (х — Я) или яш р (у — у), равны нулкь Дальнейшие преобразования могут быть выполнены с помощью равенств г (' г г.
сокро соядпйп = — соя ~/р ' (,4 4р) р > О, (3) г ,Г гз, яш ра соя ут йее = — яш ( — — — ), '(/р ( 4 4р) ' и замены переменных 4 †— ц — у 2 зе'Ье 2 зеЬе Равенства (3) могут быть получены, например, из интегралов Френкеля / сояхгйх = Л(' —" и ) яшх'йх = Л(' —" (5) 565 Гл. $7. Уривнения гиперболического типа переходом к переменному интегрирования а по формуле к=а 1р — —. Я 2 /р (6) б) Преобразование Фурье -Бесселя (Ханкеля). Напомним, что образом Фурье — Бесселя функции 1(г), 0 < т < +со с ядром,1,(Л() 1) называется функция 7(Л) = )' ~УЕ,т,(Лад~.
(1) о Оригинал восстанавливается по образцу с помощью формулы обращения 1" (г) = / Л7(Л)1,(Лт) с1Л. (2) 109. и(г, 1) =— А ъ'2 1 ~( '-'")-(-:)Т"' 112 ,г игег 1+ У к а з а н и е. Применяя преобразование Фурье Бесселя нулевого порядка к краевой задаче д и 2 гг дги 1 д'и 1 (1) ( дтг т дг) и(т, 0) = 1(т)., иг(тг 0) = д(г), 0 < т < +со, (2) нетрудно получить следующее выражение для ее решения: и(г, 1) = / Л7(Л) сов(аЛ1)Ло(Лт) 11Л+ — / д(Л) згп(аЛ1)до(Лт) 11Л. (3) о о В нашем случае ие(т, 0) = д(т) = О., следовательно, д(Л) = О, 1(г) = 1 -ь— Ь' Пля 7(Л) нетрудно получить выражение г(Л) '1" — ль Л (4) 0 Или,короче, образом Фурье-Бесселя р-го порядка. 566 Ответы, указания и решения Пля этого нужно воспользоваться соотношением е / ' * 7с1лр*)()' = ') а и формулой обращения.
Подстановка 14) в 13) дает и(т, 1) = АЬ / е ~~ сов7оЛ1)ав1Лт) (1Л = е где (3) Указание. Для образа Фурье-Бесселя нулевого порядка решения краевой задачи (1), 12) 1см. условие) получаем выражение Гл(Л, 1) = сов(ЬЛ~Ь) У У(~),7а(Л~) (4~. е 14) Если, применив формулу обращения, воспользоваться интегралом Вебера г 1 Лг -В тг 1 Лл(ле(л (л (. 1 л(= — «р~ — ( ))л Я, (5( а положив р = — гЬ1, то для и('т, 1) получится выражение 11).
Если в г „г 14) подставить 1"(С) = Ае е ла, то для и(Л, 1) получится выражение и(Л, 1) = Асов1ЬЛг1) / ~е е ла Ус7Л~)(4~ = — Аоге " ' лгсов1ЬЬЛг), 2 (6) ') См. (7, с. 668). =а (Ал 1' . е "ел,(л,(лл), (5( а где 1ее(р+ (7г) = р действительная часть комплексного числа р+ (7г1 110. Решением краевой задачи (1), (2) 1см. условие задачи) является (,1(= —, ( еЛ(е(л '('") ' ('+')ле.
% о В частности, при 11р) = Ае Р (а получаем 17г Аехр ~— 1 „,)у ш1,т,1) = ' ~сов,, +тайп ), (2) 1+те ~ 1+ тг г) ' Гл. Гй Уравнения гиперболического типа причем нужно воспользоваться интегралом Ханкеля ) ,1,(а1)е "' Ьа ~ л)1 = о /1 1 а à — р -1- — и) ~2 2 л (1 1 а гл — лл-~. — и: и+ 1; 2 е'ролзе Лг Г(1+ и) л 2 2 ' ' 4р1 при и=О, р=1/а~, лл=2, а=Л. Применяя формулу обращения и воспользовавшись этим же интегралом Ханкеля при р = 2, и = О, а = г и =-"("' ') получим выражение (2) для и(г, 1). 111. Если точка г = 0 движется по закону и(0, 1) = у(1), 0 < 1 < < +ос, то выражение для и1г, 1) может быть получено по формуле (1) ответа к предыдущей задаче, если в ней положить е ло з)л(о, (*)„, о Если ул11) задается соотношениями (Ц 1см. условие), то 2л41о я где интегральныи синус и интсгральныи косинус определяются соот- ношениями э 8Р.в)=~-,~„СРв) = 1-'~„ о Указание.
Полагая в равенстве 11) ответа к предыдущей задаче г = О, получим интегральное уравнение для определения 1(г). Если в нем положить р = Я, то оно преобразуется в интегральное уравнение, которое легко решается с помощью синус-преобразования Фурье з). 112. Уравнение вынужденных поперечных колебаний пластинкиз) при р(лб 1) = 16р)лЬ1)г))УЯ принимает вид дли г Л д 1 д Л + Ь вЂ” + — — лл = 8Ь~Ял)л Я, — оо < 1 < +ос, 0<с<+ос. Его решением является ОО=') ' ''ЛелМ ° ~' " )л ( " )ле (1) — о ') См. )42, и. 393). г) По поводу определения синус-преобразования Фурье см. гл.
П„з е4. гл См, задачу 18. 568 Ответы, указания и решении а) и(т, Ь) = — ~ Ят) яш б) и(т, Ь) = — / ес т)йт /,Уоф ) У1 Да) соя[Ъ[Ь вЂ” т)Ея) еР~; а .) (, ) =.".", ~у.(~)у.к)' '",".""' к; в если т«а, то при Ь<Ьв и(т, е) - — — 1 — соя — + г' — + +8ЫС вЂ” — а— где Е(х) = — — о1(х) — хСЦх), С(х) = — — С1(х); 2 Х аналогичное выражение получается и при Ь > Ье, если т » а, то 4Ь~ 86~ 4Ь и(т, Ь) = ' ' ЬР— "„— (~ — Ьо)У' 4Ь,,', + г) и(т, 2) = А / ~(т)Н~Ь вЂ” т) йт, где 2 ех Н(х) =, Р соя ~ + — яш с р= 4Ь' т д = —, 4Ь' Для частных случаев получаем следующие выражения для и(т, Ь): 569 Гл. уй уравнения гиперболичаского типа 2Арг ехр — 1~,~, = АН(1).
Указание. В случае а) положить Д(т) =, где б(т) есть б(т) 2ит ' импульсная дельта-функция Пирака; в случае в) сначала найти образ Фурье — Бесселя для и(г, 1): 81бо без (аЛ) 1 — соя (ЬЛ~1) паЛ ЬгЛ4 8фуоЬЛ~ (аЛ) соя(Ь(1 — га)Л') — соя (ЬЬЛ~) й(Л, 1) = О<1<ум Ьа (~ 1 < +со., ЬгЛч паЛ а затем применить формулу обращения. При выводе асимптотических формул воспользоваться интегралами = — соя ( — ) . а Последние два интеграла могут быть получены из интеграла Вебера, приведенного в указании к задаче 110, в случае г) нужно воспользоваться упомянутым интегралом Вебера. 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников. а) Функции влияния мгновенных сосредогпвченных импульсов. 113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
