Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 80
Текст из файла (страница 80)
0<1< а ге — |' <1< га -Ь г а а <1<+ос, а 0 < г < го, я0'о при ~>|г, 1) = Г|о ( — +агсэш"' ) |2 г при при 523 Гли 'е7. Уравнения гиперболического типа 0<1< а г — го <1< т-его а а г -'е го <1<+со, при /я го — аг 1 Но ~ — + агсвш ( при 12 г ф(г, 1) = О при го < г < +со. Указание. Полагая и = гсовег, у = гвшр, о = совВ, )г = = вшВ, выполнить сначала интегрирование по В от О до 2я, а затем сделать надлежащую замену переменного интегрирования; это приведет к выражению (1) условия задачи.
41. У к аз а н и е. Выполнить интегрирование сферически симмет- Л(аг — г) 1г(аг -ь г) ричных волн и по г от †до +со, а затем г сделать надлежащую замену переменного интегрирования. 42. Решение. Ищем решение уравнения Ви гб 1аЛ г г в виде и( г, 1) = е егмг (г): это дает и(г., 1) = Ае ы~7о1кг) +ВНо ~11ег)е ™', й = —, а А и В произвольные константыг), иг(г, 1) = Ае еиеЯД1ег) стоячая монохроматическая цилиндрическая волна, не имеющая особенности при г = О, при больших г Г2 сов й я иейг иг(г, 8)  — 1п(йг)е при больших г Г "(В --в--) иг(г, 1) В ~/— и Интегрируя плоскую монохроматическую волну ( я сов В -ь увтВ) ~ по углу В от О до я, .получим йг(г, 1) = е' ' ' ~е'ь" е "о "~йВ = 2гге ' ',1о(Ь), о г) 0 функциях,1о н Нор см.
~7, с. 510, 636, 645, 719) н др. иг(г, В) = Ве 'а" Но 1Яг) распространяющаяся, «расходящаяся» — ОО монохроматическая цилиндрическая волна, имеющая особенность при г = О. При малых т 524 Ответы, указания и Решения Если же выполнить интегрирование в плоскости комплексного переменного 0 по пути Ь (рис. 51), то мы получим йггг в) = е ' ~е'~"'~' Йд = яе ™Нв' ~(йг).
44. Р еще ние. Примем за плоскость раздела двух сред плоскость я = О (рис. 52). Величины, относящиеся к полупространству я ( О, Рис. 51 Рис 52 отметим индексом 1, а относящиеся к полупространству з ) О -. индексом 2. Обозначим падающую, отраженную и проломленную волны соответственно через А ныгг — ягигяг угг = ге' а* Ав г1гггв — йги,вг гр =,е д гг-я,иг') грг ге вгг вгг в вгг Здесь йг = —, й* = —. и йг —— — -- волновые числа, игг, иг*, ыг "-- аг а,* а частоты падающей, отраженной и преломленной волн, аг и аг -- скорость распространения волны в первой и во второй средах; пы п*,, пг единичные векторы в направлении распространения соответствующих волн;вектор г = 1х, и, з).
Па плоскости х = О должны выполняться граничные условия ~) РгЬ'г +'Рг) = РгУгг пРи Я = О, (1) дв дя дя 12) Будем считать вектор пг параллельным плоскости тОз, т, е. и, = 1созоы О, сов "й). ') См. ответ к задаче 3. Гл. ) й Уравнения гиперболического типа 525 Запишем теперь в координатной форме векторы и, 'и иг.. пг — (соя ог > соя улг соя уг ) иг — (соя ог соя улг~ соя уг ) Тэк как фУнкЦии т; ео'е, ео', сове, пРи Условии, что Ры Рг, Рг различны, линейно независимы, то подстановка уы ~р*, ~рг в гранич- ные условия (1) и (2) приводит к равенствам огг = евг = огм (3) й,* = — ' = й, = — ', аг аг сояеег = соя)3г = О, (4) т.
е, единичные векторы и,* и пг также параллельны плоскости тОг, Йг соя ог: Йг соя о~: йг соя ог1 (5) откуда получаются известные соотношения между углами падения, отражения и преломления: ог = — о', поскольку отраженная волна, как и падающая, лежит в полупространстве г ( О, и совог вг аг аа1 соя ог лг ~ аг аг Если Равенства, полУчающиесЯ в РезУльтате подстановки ог, угу и ~Рг в граничные условия (1) и (2), сократить на общий переменный мно- житель, то получаются соотноупсния для определения амплитуд от- раженной и преломленной волн ргАг -ь руА; = ргАг, йг сов УгАу + йг соЯ7г А*, = йг сов 7гАг., из этих уравнений, используя равенство сову* = — соя уы получаем Рг)ег соя уг — рг)ег соя уг Аы рг)ег соя уг + ргйг соя уг 2рг)е1 соз тг г— 1 рг)е1 соятг + ргрг соя'уг 45. Обозначая через пы и,'„пг, как и в предыдущей задаче, единичные векторы в направлении падающей, отраженной и преломленной волн, получим (рис.
53) соя ог ог у ег с с Ог= — Оы ' = — =Ргг=~~=, из=, ог= сояог ог '1( ег ' иеее' иеег ' где с --- скорость света в вакууме., ег и ег . диэлектрические постоянные первой и второй сред (мы считаем )гг = )гг = 1). У к а з а н и е. Плоскую электромагнитную монохроматическую волну можно представить ввиде Л'. я)0) Д Е вЂ” Ьпе) О О)0) 1М Я ~е) е, = е Затем нужно воспользоваться условиями на границе раздела двух диэлектриков ). ') См. (7, с. 441-442).
526 Ответы, упования и решения 46. Представляя падак1щую волну в виде 1) Е1 = (Еге7("'- ""); 0; 0), Н* = (О; 177е1 Еге'("' "1; О), получим Е,* = (Е'есм7 1' ); 0; О); Ег — — (Егеды7 ~в'7; 0; 0); — ег Е дывв 17 в). О) Нг — — (О; — 177ег гЕге'("' "); 0), где 2 lвг Ег = Ег, пш = )/=. ~/„ Е" = '1Е, 1= 1, 1-~- п17 9 3. Метод разделения переменных а) Однородные среды. 47. Решением краевой задачи и11 — — аг(и„+ и„, ), 0 < х < 11, 0 < у < )г, () < 1 < +со, и~ =о = и~ =, = и! =о = и) , = О, (1) (2) и(х, у, 0) = Аху(11 — х)((г — у), и1(х, у, 0) = О, 0 < х < 11, О < у < 1„ (3) является а(х, у,1) =,' х (2т+ Цях (2п+ Цггу в!и сбп (-+ )в( и+ ) т, в=о 48.
Решением краевой задачи и17 — — и (ива+ива) 0<х<11 0<у<)г О<1<+ос (1) () и(х, у, 0) = О, и1(х, у, 0) = Аху(11 — х)(Хг — у), О < х < 11, О < у < (г, (3) является 7 16А111~ (2т+ Цях . (2п+ Цяу . l в1п вт в1п наг "Х: т, п=о (2т + Цв(2п+ Цв ') См. (7, с. 499-509). 1. Краевые задачи, не требуюгцие применения специальных функций.
527 Глн уй уравнения гиперболического типа 49. и(х, у, 1) = х 4К нар111г гол хо . тгох . пп"ро . пп"р в1п яа1 —, + —,, + 1г 1г г т, п=1 и(х7 у, 1) = ~~7 А и (в1по71 — яшог „11 ап ' вш ' '1, (4) 7п, п=г где 11 17 4 (71х /АИИ(х, )ыптпхвг 71ну у~у, (б) ,„/',/' о о (6) при условии, что частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот о7 ~ о7 „. Если же 7о = шт,п, (Резонанс), то .~-777 и(х7 У, 1) = ~ А и (Яши71 — Яшогпоп11 вш ап и Р + о77п„т ~ 11 4 т, п=1 тото, пФпо + Ато,по(яшо71 — огясояо71) ап " вш по™7 (7) 1 1г 1) СМ, РЕШЕНИЕ ЗадаЧИ 101 ов 3 ГЛ.
П. где р --. поверхностная плотность массы. Указание. Можно найти сначала решение, предполагая импульс К равномерно распределенным по окрестности хо — в < х < < хо + в, 17в — в < у < уо + в точки (хо 7 уо), а затем перейти к пределу при е — > 01). Можно также воспользоваться импульсной дельта-функцией Дирака и сформулировать начальные условия следующим образом: К и(х, у, 0) = О, иг(х, у, 0) = — б(х — хо)б(у — уо), Р 0<х<11, 0<у<1г.
Второй путь гораздо быстрее приведет к цели. Пользуясь дельта- функциями, мы выбираем множитель при произведении дельта-функций так, чтобы суммарный импульс, передаваемый мембране, был равен заданному. 50. Решением краевой задачи ии — — а (и, + иоо) + А®(х, у) вшоЛ., А7ог(х, у) = — А(х, у), (1) Р и! =о и~ =1 и! — о и! 1 -— О, (2) и(х, у, О) = О, иг(:в, у, 0) = О, 0 < х < 11, 0 < у < 1г, (3) является 528 Ответы, упования и решения где А „определяется по формулам (5), а 7, 1Пгш, 11 ~г о а Замечание.
Если частота шг „„, является кратной, т.е. соответствует кратному собственному значению, то вместо одного резонансного члена появится группа резонансных членов указанного вида. 51. Если частота вынуждающей силы не совпадает ни с одной из собственных частот мембраны, т.с. ог ~ иг „, гпг и = 1, 2, 3,..., то и(х, у., 1) = е Я Япше — вепш,ппе 4А 'г7 ш„п, ' '"" . тоха, птУо . гпггх . титУ яп яп яп яп рг 717 Ю „— Ю Ь! Ь 1 !г т,п=1 Если же иг = ш„„п, (Резонанс),то 4А и(х,у,у) = х ргггг яп оИ вЂ” — в!и ш „1 г г ш „" . гптхо . птуо .
пгтх, пту ВШ ЯП Вгл ВШ ~г 1 г т, п=1 тй о! пФпо + (япи71 — игвсови71) вш яп вш вш 2А .. шатхо . папуа . татя . поту Р17Ьш 1 1г 1 ~г Замечание. Если частота ш,п, является кратной, то вместо одного резонансного члена появится группа резонансных членов указанного Вида.
д~У г ( д~У да!7') А ггх гг77 =а 4 + 7+ — сов — сов — 1'(1), дог '( дхг дуг )' 0 <1<+ос, а =дЬ, (1) дУ дУ дУ дО =О, дх я=о дх г=г, ду у=о ду у=г, (2) сг'(х, у, 0) = О, Гг(х, у, 0) = О. Он может быть представлен в виде (3) (7'(х, у, 1) = — уг 1 (т) вши(1 — т)г1т сов — сов —. (4) 7ГХ 7!У йар '(у Ь! 1г о 53.
и(х, у, С) = тихо, п7гуо, шггх, пту яп яи вш яи Х: 1 Е ! в1П и!777 п 1, ш „, т, п=-1 е ' ргггг 52. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи 529 Гл. уй уравнения гиперболического типа где а и -- коэффициент сопротивления, входящий в уравнение дсг (д,г д г)' дс' 54. и(х, у, 1) = -~-ео г, г г 1бА (аг — ог „)з1пагг+2и огсовоЛ е тнх, пггу яш ' я1п гггр (2т 4-1)(2п 4-1)((огг — гог )'+ 4огги4) ' 1, ' 1г т,о=1 гп и аг = гга — + —. шгг 1г 1г г Указание.
Ищем решение уравнения обращающееся в нуль при х = О, х = 14, у = О, у = 1г, в виде 11(х, у, 1) = И(х, у)е' тогда и(х, у, 1) = 1гп(с1(х, у, 1)). Лля определения 1г(х, у) получаем краевую задачу г г ог — 2и агг ~, ра' ' ! =о ! =-г, !о=о Ее решение ищем в виде .~-оо $'(х, у) = ~ Ат„з1п гпнх .
пяу зш 1 1г т, о=а 34 Б.М, Будок и др. 55. Решением краевой задачи д'11, Г'д'11 2 д1Г'1 — =а ( — + — — ), тг <т<тг, О<1<+со, дег ~,ат ° д ) ' д1г д11 — = еигсозиг1, — = О, О < 1 <+со дт дт т — г'г ((г'(т, 1) потенциал скоростей частиц газа), представляющим уста- новившиеся гармонические колебания с частотой аг, является еглт 1 1 ог гг(т, 1) = (соей(тг — т) — — сйпЦтг — т)) сояаЛ, й = —,. л (, ге а' г 11 1'г Ь: ~й + ягп н(тг 3'г) н ( — — ) соей(тг та)) ггтг тг Указание. Искать решение в форме 11(т, 1) = В(т) созагй 530 Ответы, указания и решения 56. Решением краевой задачи г) дгО / д'Ст 2 дСС1 =аз~ г + — — ), тг <т <тг, 0<С<+со,. (1) =О, дт — = о, .о < с < +сю,.
дст дт а (т,о) т — — ~Ст), тг <т <то, Сго (2) (3) ССт, 0) =О, Бе является -топ сов Л„т + т„вш Л„т а=1 Лп = (2п+ 1), и = О, 1, 2, ..., 2Стг — тг) 1 Лп яп Л„тг + — сов Лптг Сп т 1 Л„сов Л тг — — вш Л тг гг аг 7 А = — — ~туЯсоьЛпт+ УпзшЛ„г)дт. Ро Указание. Перейти к новой искомой функции ст(т, С) = той(т, С). б) Неоднородные среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
