Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Простейшие задачи; различные приемы решения 21. а) и(т, С) = (т — аС)р(т — аС)+(т+аС)р(с+аС) 1 )' ® 2т 2ат,/ т — е где функции уо(ье) и ер(С) продолжены четно для отрицательных С; б) 1Сш и(т, С) = акр'(аС) + ~р(аС) + Се)з(аС). (2) т — ес Указание. Формула (1) получается в предположении, что и(г, С) остается ограниченным при т — т О. 0 — ) 22.
и(г, С) = — ~еСт / С1(С, т) еСС., о, и > где ) (С„т) продолжена четно для отрицательных значений ~. 23. При начальных условиях а) при 0(С< а то — т <С( го Ч- т а а при го+ т <С<+ос, а ССо и(г, С) = (Со 2т при 0 <т< то, при при 0(С< а г — го <С< с+го а а при т+ то <С<+со, а т — аС о 2г и(г, С) = при го<с<со. при При начальных условиях б) при 'о (г аС) при 4ит то — т го+ г <С< а а < С <+оо, а и(г, С) = при при 0<т<то, 0<С< а при го — (т — аС) з ~о при 4ат г — го го+с <С< а а <С<+со, а и(г, С) = при при то < т < +оо.
517 Гл. У1. Уравнения гиперболического типа 24. Потенциал скоростей частиц газа равен и(т,«) из ответа к предыдущей задаче при начальных условиях б), если положить 1«о = =-а —, где а-=Й вЂ”. 2 Р1 2 Ро Ро Ро 25. Пусть 11(т, «) означает решение задачи 23,б) для неограниченного пространства (см. ответ к задаче 23, б)); тогда: а) и(х, у, .2, «) = 11(т, «) — Ю(т, «); б) и(х, у, 2, «) = 11(т, «) + Ю(т, «); здес 1-. 2.2+уз+(2 2 )2;, х2+у2+(2+2 )2 26. Пусть (1(т, «) означает ту же функцию, что и в ответе к предыдущей задаче; тогдш а) и(х, У, 2, «) = 11(т„«) — «1(тз «) + «1(тз «) 11(те, «), б) и(х, у, 2, «) = 1«(т1, «) + 11(т2, «) — «1(тз, «) — «1(тл, «); здесь — ('--:) 27. 'р(т«)= ", у(«)=0 при «<О. 4нт Указание.
1р(11 «) является решением краевой задачи <Рее = а'«1Ф, р)е,= р,),,=О, 2 («) -во (1) (2) (3) 28. а) Пусть источник лежит в плоскости 2 = но и имеет полярные кооРДинаты 1о, оо, 0 < до < —. ТогДа, обозначаЯ чеРез 1Р(т, «) 21 решение предыдущей задачи, получим п — 1 Р(х, У,, «) = ~~, 1~ ( ~ь: «) + Р( 1, «)), (1) о=о где (2) (3) б) Пусть источник лежит в слое 0 < 2 < «и имеет ты хо, Уо, хо, 0 < хо < 1.
ОбозначаЯ чеРез 1Р(т, «) Решение получим В-ео ~р(х, у, 2, «) = ~ 11р(т~«, «) +1р(тг «)), координазадачи 27, 518 Ответы, указания и решения где гг + 1г+ г) 2к1)г (2') (3') здесь г = Заметим,. что при каждом значении 1 ) 0 формально бесконечный ряд 11') фактически сводится всякий раз к сумме конечного числа членов,так как (р(г~~, 1) = 0 при 1( в, (р(гь, 1) =О при 1< а ' а (*:е р(р:р) р< ( +ОФ'Я у) уг,—,, —.,' 11 1п+ р<ш р<,(( ) (2) с решением уравнения и'( —— о (и* -~- и*„„) +с и*, удовлетворяющим начальным условиям и'~, а = О, 4, а = Е(х, у), что нетрудно получить с помощью представления решения задачи 11), 12) через интеграл Пуассоназ).
Если же в уравнении перед сги стоит знак минус, то нужно произвести замену и1х, у, г, 1) = е("и*'1х, у, г). ') См. (2, т. 11, с. 553-554). Р = р'(г — (()Рг ~+((РР— -ОДгг, Н р плюс; если же в уравнении перед этим членом стоит знак минус, то в приведенном ответе всюду сй нужно заменить на соз. Указание. Решение уравнения ии — — а (ие + и„„+ и,е), <1) удовлетворяющее начальным условиям и~ „= О, ир~ = г'1х, у)е', связано соотношением и1х, у, г,1) =ее и"1х, у,1) 519 Гл. У1.
Уравнения гиперболического типа 31. Для потенциала скоростей и(т., 1) получаем выражение 0 при 1 < †, а' и(р, 1) = (1) при 1> —, 1 ~" у()б "о — е — е' о или эквивалентное выражение 1< -, а' (2) 1> —, а при и(р, 1) = — — / а (1 — — сЬб) е1~ при о или, если под интегралом считать д(1) = 0 при 1 < О, (р, 1) = — —, ) у(1 — — сй() К, о (3) где е(р, 1) — ь 0 при р э О. 4 32. и(х, у, 1) = — — ~ ) е (1 — — сЬ ь) е1ь, о где Р~ = (х хо) + (У Уо); Рз = (х + хо) + (У Уо) Рз = (х + хо) + (У + Уо) ~ Рл = (х — хо)' + (У + Уо) где р = ~/хз + уз, если прямая, на которой расположены источники, принята за ось г. Указание. и(р, 1) является решением краевой задачи д'и , е д'и 1 ди'1 — =а ( — -е — — 1,.
0<р<+, 0<1<чд1г = (,др р др): ди 1 11ш 2яр — ) = д(1), О < 1 <+ос, р-~о 1 др) и(р, 0) = ие(р, 0) = О, 0 < р < +ос. Формально и(р, 1) в форме (3) может быть получено методом «спуска» (интегрированием по г от — оо до +ос) из решения задачи 27; затем не- трудно проверить, что при условии ограниченности е1'(т) полученная таким образом функция удовлетворяет всем условиям задачи. Замечание. В начале координат и(р, е) имеет логарифмичес- кую особенность относительно р. Используя форму (1) для и(р, 1) и применяя интегрирование по частям и формулу Тейлора, можно пред- ставить и(р, 1) в виде 'а(р, 1) = — а (1 — -) 1п р — — а(0) 1п 21 — — ) а (т)!и 2(1 — т)бтре(р, 1), аг (, а аг о 520 Ответы, указания и решения 33.
Для потенциала скоростей частиц газа вне сферы получаем выражение — а —" ехр~ — — (1 — ") ) ~ фт) ехр ~ — ~ йт, о т — то г> а угт, г) = т — то то < т < +ос, а внутри сферы выражение яп — т а я1п Г + то тоА ТНт, С)— ы ы а, ю — соз — то О- — вш о, а то а Ево + ~ Во в яп аЛа1,. 0 < т < то, 0 < 1 < +ос, т и=1 где Ла --- положительные корни уравнения тоЛ С3отоЛ) = — —, а о ~(т) яп(Л„т) й — сов — то 4- — в1п — то а а а то а о В = 3 в1п'(Л„т) Ат о 3 а меч ание. Выражение для О (т, е) при 0 < т < то получено в предположении, что нет резонанса, т.е. что Л = — не совпадает ни а с одним из собственных значений Л„~).
34. Пусть центр сферы лежит на оси Оя в точке яо > то > О, а плоскость з = 0 является граничной для рассматриваемого полу- пространства. Тогда, обозначая через Ое(т, ~) решение предыдущей задачи, получим решение задачи 34 в виде и(х, у, х, 1) = Ю(ты 1) + 11(тз, 2) при т; > то и х > О, и(х,у,з,1)=Б(т„1) при 0<тз <то, где т1 = хз + уз + (х — хо)з, тз = хз + уз + (х + хо)з 35. Для потенциала скоростей получаем выражение при 1 > т — то при 1 < т — то а где вектор ') О разыскании решения в случае резонанса см.
задачу 134 3 3 гл. П. 521 Гль рй уравнения еонерболочеекео типа У(1) етое р( ) 1~,Ютпп е р( ) о Указание. Решение задачи можно искать в виде Скорость частиц газа 31ум)п — у" 317'п)п — )и п(пу") тг ат2 а22. 1п единичный вектор в направлении т; штрих означает дифференцирование у по его аргументу) удовлетворяет граничному условию о„= Ъ'и при т = то, откуда для 1 получаем уравнение 2 У"(1)+ — 'У'11)+ — ', У(1) = тоа'Ь.Я то 'о 36. Для потенциала скоростей 77, вызванных малым возмущением, и для возмущения давления р получим выражения 12'1х, у) =, О < х < +со, х1яе < у < х1яа, оо1у — хсяа) ссяе+еяа г оба Р = Рого ссяе+сяа Указание.
Для определения р нужно воспользоваться соотношением 14) ответа к задаче 12). 37. О21т,х) = х' 1 х т — — Гдга — 1 .~- — — оК а 1п тг 2 т Х т 1 четдг — 1 Ч- — Фя е Ф я а ) п 2 О < х < +со, ис1да « — сада, .и = > 1, х ока оке ') Нужно перейти в указанном соотношении к зйлеровым координатам и воспользоваться стационарностью процесса и малостью возмущений. По поводу обозначений см. ответ к задаче 7. 1п 2 Хг ~т г,я, — Рог'о / г 2 , г сна+ —,ея а — 1 г тг х оба — —,232 скат, чти 2 1 и — чгиг — Т и+ чеиг — 1 ся а.
и г- чтиг — 1 ояаояе1п и — чти 2 — 1 522 Ответы, указания и ре|аеноя Указание. См. ответ к задаче 8; решение уравнения (1) с краевыми условиями (2) и (3) можно искать в виде 11|,г, х) = гф ( — ) = гфЯ, Для определения р нужно воспользоваться соотношением (4) ответа к задаче 1. 39. Для определения потенциала возмущенных скоростей, вызванных влиянием стенки, получаем краевую задачу (в лагранжевых координатах) 0 < у < +со, М = —, (1) О (1 — М )и„+и„„= О, — оо < х < +ос, где а скорость звука в газе, и (х, 0) = 11еогсоэогх, — со < х < +со. (2) а) В случае дозвуковой скорости потока 1 — М > 0 уравнение (1) является эллиптическим, Ь'е и(х, у) = — е " сов агх.
чгà — М б) В случае сверхзвуковой скорости потока 1 — Мг < 0 и(х, у) = — э|пег (х — у у'Мг — 1). /Яг Указание. В эллиптическом случае решение следует искать в виде и(х, у) = и|(х) и |у), а в гиперболическом — в виде распространяющихся волн, учитывая, что в гиперболическом (сверхзвуковом) случае малые возмущения распространяются вправо от источников возмущения. Граничное условие (2) получается из точного граничного условия (.."".,)„.. = (Й)„... пренебрежением малых величин высшего порядка. Замечание. Сопоставляя решения в эллиптическом и гиперболическом случае, мы видим, что возмущения, вызванные волнообразной стенкой по мере удаления от нее (роста у), в эллиптическом случае быстро затухают, а в гиперболическом случае сохраняют свою амплитуду. 40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
