Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 77
Текст из файла (страница 77)
К Ураененан параболннееноео пеппе еАОРз~а-~ = ~~р'+ 2(пз — 1) — ~ КАОР+ = ~р'+ 6 —, б Точки Рз з и Ро симметричны относительно плоскости 11; действительно, е'.АОРя з — 2 ( — — Зо') = Зо' — 2п. Легко видеть, что при ~не указанном размещении источников в случае а) и б) граничные условия на плоскостях 1 и П будут выполнены. Замечание. Метод отражений неприменим уже к клину с угпп 1) лом раствора —, где и и т натуральные простые числа ~. В случае клина с произвольным углом раствора еоо выражении для функций влияния при граничных условиях а) и б) были получены в решении задачи 76 настоящего параграфа (см.
также задачу 74). Если Зоо = = —, где т -- натуральное число, то выражение для функций влияния, полученное методом отражений, может быть преобразовано в выражение, полученное в решении задачи 76 з). 88. Помещая начало сферической системы координат в центр сферы, получим и= — О(т,т,.1), (1) ер где О(т, т',1) = ехр —, — ехр —, (2) — = а —, + — —, 0 < т < +со, 0 < 1 < -тоо, (3) ди з (дои 2 ди) де ~( дта т дт )~ ' при начальном условии 0 при 0<т<т, и(т, 0) =, при т' < т < т'+ е1т', ерйпт"Й" 0 при т'+ е(т' < т <+со, (4) а затем в полученном решении переходим к пределу при е1т' — е О.
Решение уравнения (3) при начальном условии (4) заменой п(т, 1) = = ти(т, 1) сводится к одномерному случаю, причем и(0, 1) = О, так как и(0, 1) величина ограниченная. 89. и(т, 1) = ') Подробнее см. (41, с. 185). ') См. (41, с. 184). называется функцией влияния мгновенного сферического источника тепла. У к а з а н и е. Решаем уравнение 502 Ответы, указания н ретаеная ,/ " )е'Е(е, )~-.)е- 'е " )- и= — С(т, т,1), ер 90. где С~т, т', е) = — / е " ~ ~ус(Лт)зо(Лт')Л е)Л = о 4кагг 4аге 2агг (2) ди г1д~н 1ди1 — =а ~ + — — г, 0<т<+сс, дг ~д' д 0 < 8 < +со, (3) при начальном условии при 0 < т < т', при т' < т < т'+ Й', 0 О и(т, 0) = (4) 2кт' 4т' ер 0 при т' з- ит' < т < +со, а затем в полученном решении переходим к пределу при Ит' — о О. При т = 0 и(т, г) должно быть ограниченным.
Решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) и ограниченное при т = О, ищем в виде и(т.,1) = / / 17(р, ц)зо(Лр)7о(Лт)ЛИЛ ребр. о о См. также указание к задаче 74. 91. и(т, ~) = ,'„.. (-,"'„) Ъга- )е-,'„)ь ( „)ее~ о о о дозор 4 г ~0 2 г В е1Ь' 92. Функцией влияния для уравнения ди — = Вехи — пйгас1и, дХ называется функцией влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.
Указание. Решаем уравнение ООЗ ра, К уравнения парабоаичееного пвипа является С(х,у,г,х~,у',г',е)= х ( 2 ~ / Ъ ) (х — щ е — х')~ + (у — иге — у')~ + (г — иве — г') ] 4Ве С(х, у., г, у, г') = ехрС вЂ” 1. ( (у — у )г + (г — г')я ] 4 — х 94. а) С(х, у, г, у', г') = ехр — ' + ехр 4 — х 4 — х б) С(х,у,г,у'.,г)= РХ вЂ” — РХ 4 — х 4 — х в) С(х, у, г,у', г') = ~ехре — ~ + ехр 4 — х 4 — х и и — у.,<- -"*,'"г]г.<. о 4 — х 95.п(х,у,г,1)= х 1 (2 и'7В)з 1(т) ] [х — за(т)] -~- [у — й(т)] -~- [г — ве(т)]~ р ,.„ 1 4Р(1 — т) о Указание.
Ищем решение уравнения — = а, +,' +, +у(1)б(х — уг(1)) б(у — ф(1)) б(г — ве(2)) (1) при начальном условии и< =О, (2) б символ импульсной дельта-функции. гдеим из., из составляющиевекторап поосямх, у, г, а х', у', г' координатные точки, в которой подействовал источник в момент 1 = О. У к а з а н и е. В системе координат, движущейся вместе со средой, ди уравнение диффузии принимает вид — = В Ьи. Записав выражение д1 для функпии влияния в подвижной системе координат и возвращаясь к неподвижной системе, получим (1). 93. Лля источника с координатами (О, у', г') имеем 504 Ответы, указания и решения 96. и(т., г) = — Ф вЂ” Ф + + — — ехр —,, — ехр —, (1) где (3) может быть представлено в виде и(т, 1) = / )(т )С(т, т, г)4ят Йт', о (5) где С(т, т', ~) = ехр — — ехр — .
(6) Задачу можно решать также сведением к полуограничснному стержню с помощью замены и(т, е) = ти(т, е). 97. а) и(х, у, г, 1) = и( хо+уз+ (х — хо)з, 1) -~- уз+ (е -~- яо)з «)' б) и(х, у, я, 1) = и( хо+уз+ (я — ео)з, 1)— — и( х'+ у'+ ( + о)' ~) где и(т., у) решение предыдущей задачи. 98. У к а з а н и е. Если воспользоваться функцией влияния мгновенного цилиндрического источника, полученной в решении задачи 90, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач, то решение уравнения — = Р ~ — + — — ~, 0 < т < оо, 0 < ~ < +со, (2) д (да 1д ) д~ '(дте т дт) ' удовлетворяющее начальному условию и(т, 0) = ) (т), О < т < +со, (3) Ф(я) = — /е С е(~.
(2) о Указание. Если воспользоваться функцией влияния мгновенного сферического источника, найденной в решении задачи 88, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач, то решение уравнения ди (даи 2 ди1 — =Р'(, + — — ~, 0<т, г<+оо, дг (дт' т дт) ' удовлетворяющее начальному условикв и(т, 0) = у(т), 0 < т < +оо, (4) 505 Га, К Ураоненин парабоаинеопоео пгипа можно прецставить в виде и(г, 1) = (' ~(го)С(г, г', 1)2яг'е6', о (4) где С(г, г', о) = — ехр — 1а (5) аа ) а,р,а = ( 4*-*)~г',О '- (от* -Кг~~.'~' О' б) а у о= ( 4* — *д -~у о — ( 'аг*а ' г,о' здесь и(г, 1) — решение предыдущей задачи. 100. Решением краевой задачи (рис. 48) дН (дги д'Н 1 йй — = а — + —, а = — ~; — оо < х < +ос, дг (,дх' ду' /' гп 0 < у, 1 < +оо, (1) Н(х, у, О) = На = сопзг, — со < х < +со, О < у < +ос, (2) Н(х, О, 1) = ' , ' О < 1 < +со, (3) является Н(х уз) НаФ + 1 Ф (Н, — Нг)У Г )( па+ Уг') Пу и / ' р ( 4агг )' Лг + Уг' о Указание.
Построить функцию влияния мгновенного точечного источника для полуплоскости у > О при однородном граничном у г( Рис. 48 условии первого рода для уравнения (1), а затем представить решение задачи (1), (2), (3) с помощью етой функции источника. г) См, решение задачи 8. 506 Ответы, указания и решения 101. Для искомого потока д(1) получаем выражение ( с о о Указание. С помощью замены и(т, е) = ти(т, ~), где и(т, в) .-- температура пространства, приходим к задаче; до з деи — = а — то < т < +со, 0 < 1 < +со, де дта' и(т, 0) = О, то < т < +со, и(то, г) = то7Я. О < г < +со — = - — "' и(~) + р(1), О < К < +оо, дт е=е, Л где д(~) искомая функция.
Затем, как в задачах 95 и 96 из З 2 гл. 1П, решая интегральное уравнение Абеля, находим у(в). Глава У1 з'РАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИх1ЕСКОГО ТИПА З 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач 1. За лагранжевы координаты ) частицы примем ее декарто- вы координаты х, у, з в новозмущенном состоянии.
Пусть декартовы координаты частицы в возмущенном состоянии равны С = х + и1 '(х, у, я, 1), и = у+ос~~(х у к г) ~ = х + и1 ~(х, у, х, 1). Вектор и = ги1П + уи1~1 + ниРЛ характеризует смещение частицы из невозмущенного состояния х, у, ж Вектор скорости частицы равен в — "" — 4иСМ + уи® + Ыз1 — 1„П1+ „1з1 +,~„аз) Ж где точка сверху означает производную по времени. Потенциал ско- ростей и потенциал смещений определяются равенствами ягас) 11 = и, ягас(Ф = и, каждый с точностью до произвольной слагаемой функции времени.
Возмущение плотности Р и возмущение давления р определяются, как и раньше ~), Каждая из величин р, р, р, р, У, Ф, исо, исе, 1 = 1, 2, 3, в предположении малости возмущений удовлетворяет уравнению асс = а'(ияя + а„„+ и,.), (1) з рс сг где а = й —, Й = —" отношение удельной теплоемкости при поРс с„ стоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме, ре = сснсзс и ре = сопзб невозмущенное давление и невозмущенная плотность. Начальные условия записываются в виде ') Подробнее о лагравжевых координатах см.
задачу 4 З 1 гл. П. ') См, задачу 4 З 1 гл, П. 508 Ответы, упазапия и решения и(х,у,з,О)=1(х,у,з), гн1х,у,г,О)=Г(хцу,г), — оо < х, у, г < +со. (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) Ро сгг + Р = О, РоФп+Р = О, и = ргао1К и = 8гаОФ, Ии и = —. 41 У к аз а н и е. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах можно получить, рассматривая деформацию элементарного объема гзх гзу Ье и учитывая, что его масса остается неизменной; коэффициентом деформации объема является определитель Остроградского («якобиана»).
Линеаризованное уравнение адиабаты и уравнения (4) и (5) выводятся так же, как соответствующие уравнения в решении задачи 4 з 1 гл. 11. 2. На плоскости, ограничивающей рассматриваемое полупространство, должны выполняться граничные условия: др др дО дФ д а) — = — = — = — = О, где — — — производная по нормали дп дп дп дп ' дп к плоскости: дО дФ Г др др Ро б) — =~', — =~1'д~, — =-Ро1', — =- — г1', где1(1) дп ' дп ' дп, ' дп а о проекция скорости плоскости на, выбранное направление нормали, код торому соответствует производная —.
дп 3. Величины по одну сторону от поверхности Х отмечены индексом 1, а по другую —.- индексом 2. На поверхности Е должны выполняться граничнгяе условия (1) (2) РоЛ~~ = Раймаг, дб'~ дОг дп дп,' д где — означает производную по нормали к поверхности Е, а рщ и дп Рог — — невозмУщенные плотности газов. Указание.
Граничное условие (1) получается с помощью равенства (4) из ответа к задаче 1. Граничное условие (2) выражает сохранение границы раздела газов (равенство нормальных составляющих скорости частиц обоих газов, примыкающих в одном и том же месте к поверхности раздела Е). Каждая из величин р, р, О', Ф, и, и может быть выражена, через любую другую из этих величин с помощью соотношений р=аР Гл. У!. Уравнения гиперболического типа 509 4. Для отклонения и(х, у, 1) частиц мембраны от плоскости не- возмущенного состояния (плоскости ХОУ ) получаем где С -- область в плоскости (х, у), ограниченная контуром Г, и(х, р, О) =1(х., р), ие1х, д, 0) = г'1х, у), (х,у) Е с, (2) и! = О, О < 1 < +ос ').
(3) 5. Уравнение (1) в ответе к предыдущей задаче нужно заменить уравнением '", = 4 ~'*",, ""., ) — "" )/„е.ее, (О где аз скорость распространения поперечных волн в мембране, рз поверхностная плотность мембраны, Йо объем сосуда, ро невозмущенная плотность воздуха, ао скорость распространения малых возмущений в воздухе. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
