Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Эта гипотеза оправдывается в силу теоремы о единственности решения краевой задачи. Лля Н(т, 1) получаем краевую задачу 1'а. К Уравнения паробоаичеепого пгипа АЛ,'(д.),1 Х( )3, ('""1 б г,тг г "1 Уо (и-) — Уо'(дв Л) ( г -~-оо (и г'1 ч НгУо(р ) — Нуо(р Ю 1 ~ 1~(р-) — уг( -1) г г11 ( ) ехр — "., ~ + [сгг1п — +(го1п — ] 1ггк, тг 1 т,' г тг 35.
и(т, 1) = —, 2'о х ехр ,.г 1 х уо(1г„)Ео где Й = —, дп положительные корни уравнения тг 1о(1г)1г1о(1гй) — ЮоЬгй)11о(1г) = О, (д" ) = 1г1 ( п~)о (Р" ) — о (д (г)Р1„(Р" ) . При (гг — е г — ( — сопяФ~ г (т) — Нг — соггяг го(р)хо( ) Г г г з и(т, 1) = сг +гг(11о — сг ) ~ схр~— Л(,о) ".(,.~) о=г Указание. Пля вычисления нормы собственных функпий Яг(Лят) = уг(Лгтг)1г(г(Лот) — Яд(Лгтг)ог(Лгт) нужно воспользоваться равенством (16) из замечания к решению задачи 34 и выражением для вронскиана цилиндрических функций,1н(з), гУо(х) А (г) Ж (х) 2 1,(г) Н,(г) 36.
Решением краевой задачи ди, (дги 1ди) — =а 1, + — —,у, тг <т<тг, 0<1<+ос, (1) де 1дтг т дт) 30 Б.М. Будок и др. Полагая Л* = ог' ъгг, Л = получим то о г т1о(гго'тгг).1, (""т) г(т = Но"'" '(""), (15) о о откуда сразу жс следует (11). Выделяя действительную часть )г(т, 1) и И'(т, е) н складывая, получим равенство (1), приведенное в ответе. Замечание. Переходя к пределу в (14) при Л -о Л и используя уравнение (12), нетрудно получить соотношение, важное для вычисления норм собственных функций, ~г(Л ),1 (Лх) (Я (Лх) + ((Лх) — о )(Я (Лх)] Х „Х Х— 2Лг Ответы, указания и решения 'а(тл, 1) = О,.
ллв(т2, 1) = —, 0 < С < +ос, л' 'и(т, 0) = О, тл < г < тв, (2) (3) является — Но(ллтл)Хо(ллт)) Аг, (5) Лл положительные корни уравнения 1о(лтл)Ц(лгз) — л(о(лтл )1о(лтз) = О. (О) 37. Решением краевой задачи до (д'22 1 Олл) — '=а л,'+ — — '1,.
гл<г<гз, 0<1<+оо., (1) 111 ( Ог' 0 и,(т„1) — 1лли(тл, 1) = О, и,(тз, 1) + Ьзи(тз, 1) = О, 0 < 1 <+со, (2) лл(т«0) = 5го, гл < т < го, (3) является и(г, 1) = ~~~ Але ' ~'~([лл Юо(ллтл) — Ьл за(ллтл))2ЛЛо(ляг)— — (ЛлЦ(ллтл) — Ь«Мо(ллт«УЛо(ллт)), (4) где 2л2 Ал= "х 2 (ЛлУо(Лят ) + 12222(ллгл))2 ( Ь 2 + Х~ ) (Л л У' ( Л л г л ) — Ь л во (Л л т л ) ) 2 — (Ь л + Л л, ЦЛ л в22 ( Л л г 2 ) + 1л 2 в2 в ( Л л то ) 22) х ало — ЦЛл Уо(ллтл) — Ьл 1о(ллтл))(гзН~(ллтз) — 2«Ил(ллтл))— ! — (Л«М~(ллтл) — Ь«Мо(ллл«)) (гз,У~(ллтз) — гл3,(ллгл)1), Лл . —.
положительные корни уравнения ЛЯо(лгл) — 1ллЛо(лтл) ЛХо(лгл) — Ь«Ьло(лтл) = О. Л Уо(лгз) + Ьзуо(лтэ) ЛИЦ Лтз) + Ь2Ио(лгз) -~-вз и(г, 1) = 12(г)+~~~ Але ' «""(1о(ллтл)21о(лог) — 21о(ллтл)Ло(ляг)) (4) л=л чотз где л1(г) = — 1п — -- стационарное решение уравнения (1), удовл л., летворяющее граничным условиям (2) (предел, к которому стремится температура при 1 — л +ос), а коэффициенты Ал находятся по формулам 'лл 02(Л г ) 2 1" и К Уравнения паробоайсееноео псина 38. Решением краевой задачи ди [ д'и 1 ди о 1 — =и) — + — — — — )с, с'г <с'<с'2, дз [ дт' т дт и(тг,1)=0, и(тз,1)=ос з, 0<1< и(т, О) = О, т, < т < тон причем и(т, 1) = и, (т, 1) г), является г г з -~-сю — лзс мт т — тс ч ос(Лзтг)Лс(Лстг)е '("' ~) ' — '-' '""' Е з(лз ) — '(Лз,) "(т)' из(с) =,1г(Лзтг)Мг(Лзт) — Мг(Лзтг),7г(Лст), где Лс положительные корни уравнения ,уг(Лзтг)Мс(Лзтз) — Хг(Лзтд),7г(Лзтз) = О.
О < 1 < +ос, (1) +со, (2) (3) (4) (5) 39. и(т, ср, 1) = ~ Ун( с ) [Аи г„.созпср -~- п. а=о 7 гМ' + В„з сйп пср) ехр 7~в со оз ~ ~'т ... О~( ~ ™и(— " ')--" с о ~ у ( д с 1 о о 1 при и=О, 2 при нфО, где (2) (3) оз Ви з =, ~~~(т, ср)Лн(~" ) зштиртс1тс1ср, (4) н7о [з„'(дл ~ а о ОО р,„. - положительные корни уравнения у„(1с) = О.
(5) Ап,з = 1 при в=О, 2 при нфО, (3) 0 См, указание к ответу задачи 7. зо* д~ ~т 40. и(т., ср, 1) = ~~,Уп ~ — "' ) [А„дсозтсср+ то з, з=о + В„г„. згвнср) ехр~ — с 1, (1) 'о сог оот г з з ~ ~Х(тс ср) 7п ( ) ссгз пср™ Мог о» л иез (2) 468 Ответы, указания и решения Вша = р положительные корни уравнения угв'„'(уг) + той,У„(уг) = О, Ь .
- коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие [ — + Ьи] = О, О < 1 < +схг. (6) .е ее 41. и(т, уг, 1) = р е а ~о гХнф„" т) х о, ь=-о х (Ао ьсовтир+Вн ввшпгр), (1) Х„(Л„т) = Ун(Лорбтг)УУо(Л~, т) — Я (Л~,. ~тг) Уа(Л. ~т) (2) где Ль ~ --. положительные корни уравнения Ун(Ль тг)гЛо(Ло тг) Ип(Ло тг)Уа(Ль тг) = Ог (3) н,о— х ог х ~~У(т, уг) Хо(Лон т) сов игрт еУт йр, (4) о о ~2 при и=О, вн— (5) ) 1 при пфО, 2 Уг(Л',"гтг) — Уг(Л,'"'тг) ог х /~У(т, ЯХн(Л~н~т) вштирт сЬ. е1 р. (6) о о Замечание.
Если представить решение с помощью собственных функций Хо(Лог): Уо(Лагг)кУа(Лье) Ма(Лагг) Уо(Лог) .У ЛО'г =А(' )Х„(ЛМ ) (7) (эта связь между Х„и Х„устанавливается с помощью (3)), то -~-оо и(т,Вг,С) = ~ е ' ' 'Хо(Л„" т)(А, ьсовпр+В„ьв1птгр). (8) и, ь=о Га. К Уравнения парабааичесиага енина Формулы для Ап ь и Ва ь получалотся из формул (4) и (6), если уз(Л,'"" ) дробь " в заменить дробью ,Уз (Л1тег ) Х1 (Ла)1т ) Уз(Лв~, ~тз) — я3(Лв~, ~тг) 42. Решением краевой задачи ди з(ди 1ди 1 д'и1 — =а 1 + — — + —, т, т1 <т<тз, О<Зз(2я, дв ( дт' г дг г' дзв'- ) ' является -~-х и(г, у. 1) = ~ ~е " ~в Х„(Л " т)(Аа всозпЗз+Ва ьз1ппр), (4) и, а=о где яа(Л',"' ) = [Л„'"'.7„'(Л„'"О ,) — Ь, Л„(Л',и)тз)1 Гт.(Л'„"'т)— — ~ Л~"'~М„'(Л~В"Отз) — Ьззя „(Л~'Отз)1 Хп(Л~а1т), (5) где Ль ~ --.
положительные корни уравнения Л~,"1Х (Лв(п~тз) — Ь|Лп(ЛЯп1гз) Ль(п)М,',(Лгп1тз) — ЬдЬеа(Лап)тз) = О., Л~~п~,уп(Л~~, ,"тз) + Ьз,уп,(Л~~"~тз) Л(ь"1Х,',(Л1в")тз) + ЬзМа(Лайте) (6) 2Ляе~ ~~~(т, Зв) Яв(Л~)" ~г) соз п~рт дт еьр в ие [Ьзт'+ Л~, Рта — пз~ ~дЛЫ1т ) — [Ьзтз+ Лвеага Э~ тз(Л~~ ~т,) (7) ) 2 при п=О, 11 при п~О, (8) Вн, ь— 3 2 2Л~,,'О Оз'(т, р)У„(Л~"'~т) ппеарге1 еьр в я.[Ь,'т'„ -ь Л„'""г'-, '— и'~ Х„''(Л',"'т,) — [Ь',т,' -ь Л,'"'г" ,— ь з Хз(Л',"'т,) (О) [ — -Ь, ~ =О, [ — +Ьзи] и~, с — — 1(т,Зз), тз <в<та, О < 1 < +со, (1) = О, О < 1 < +ос., (2) О<1а<2я, (3) 47О Ответы, указания и решении и(т, РРР, Е) = ~ е " ла Хи(Л," т)(Ап Р,созпРР+Вп лзрптиР)).
Р12) „ь=о Формулы для Ап ь и Вп 1 получаются из формул (7) и р9) заменой Я„ на 2„. р-х г 43. и(т, ррр, 1) = Е А ье ло ) 1,7 (ЛМт) 'и — У, то у'о п, ь=р где Л„- - положительные корни уравнения ,т=-(Л„" т.) = О, рир та ото Ап 1 = ., рт ~ЯРт, ррр)з (л~~"~т) ейп У тйтйр. уго то -~-аа р, рг 44. 1РРт, РРР, 1) = ~ ~Ап ье" л '.7 (Л„"~т) соз то Уо п, ь=о р ир где Л„- . положительные корни уравнения Л~,,У (Л~, ~то) + тоЫ (Л„то) = О, то 'а (2) (2) 4лрур Згото то ото х ~~)(т, рр),7 (Л,,"Рт) соз ~ 1 й.дур. (3) та рта о о -р- аа рг 4о.
и(т, ррр, 1) = ~ ~Ап ье лл Я (Л„"Рт) зш ~, (1) та у'о п, Ь=р Я (Л "~гт) = 7 (Л~~" т,)М (Л~,"~т) — № (Л~~"~11),Р* (Л„п т), р2) .:а то то иа 'а 3 а м е ч а н и е. Можно представить решение с помощью собственных функций Яи(Ль ут) = (Луп .Тг(Лр," Рз) + Пз,Тп(Лв" тз)) Мп(Лрп т) (Лл™п(Ль тз) + ЬзМп(Л1 тз)) Ли(Ль т) 110) связанных с функциями Я„(Л, т) соотношениями 1ир У (ЛРиРт) Ль оирль тг) + Ргг'7" рлг тг) У (ЛРпРт) (11) Л~г ~У,'(Лр~, Ртр) — РррзпрЛ~1 Ртр) Рл. К Уравнения параболического шипа Л„--- положительные корни уравнения ,7.
(Л„" тг)гоГ (Ль 'тг) — 2ЛГ (Ль ~тг)Л (Ль тг1 = О та то то та Уг,, (ЛГ" гт,) еа еа "2 та х ~~~(т, во)г (Л~,"1т) вш Р тс1тсйр. та ро , о (3) кгЛГо1 Ап ь— Ооо (4) 46. Решением краевой задачи ди 22(д и+1 дг ( дтг т ~ — — Ьггг] = О., ди 1 дои) — + —,, ), тг <т<тг, О<22<1ОО, (1) дт тг дгог ) " [ — +6222~ =О, — =О, дт д„о е=е — = О, О < 1 < +ос, (2) дго ~Юе На ~(т,~р), тг <т<тг, О<О2<|ро, (3) иЬ=О является и(т., ~р,Г) = ~ ~Ап ее ' " 'гп(Л~"1т) соз ро и, Ь=О где г„(Л',и') = ЛГ"',то.. (Л,'и",) — Ь, Уо.
(Л,'и',Д Л ..(Л'„"')— ка та 1 та — Л~"~ЬГ (Л~"~тг) — 122М. (Л~,"~тг)! .Гоо(Л~'От), (2') О О Юо та Л„положительные корни уравнения Ло" 'Х (Л'~т ) та та — Ьог (Ло то)Ло то л Ь.,у„, (Лоет, )ЛЖ та (ЛоГ 1т ) Ь 1лс (ЛоГ 2т ) то (ЛГ 1 то) + Ь2ЬГ (ЛГо2тг) то 1У та =О, ЬГ', та (3') 4Л~"~ А„ь= ' х о гоо та о ~~(т, фго(Л~~"~т) сов тсГтсГоо гоо о о 21 Г г1 Ьгтг-, лоГ"'" ', — ", ~ гг(л,',"'т,) — ~122тг 4- л,'""то — ", ~ гг(лоГ"'т,) Ответы, указания и решения т=-Л п.й=о 'о М х,Т„( ' )~Ай,т сояор+Вй пяштллр)я1п, (1) то ог ткг 4ЯгЯт, ор, з)й„~ й ) соятлугялп — йтйорйг то о о о Ай 'г '-:~ ~йй(р!"')~ где р„, положительные корни уравнения й„(р',."') = о;. ) 2 при а=О, 11 при и и.
-О, ог л ОО . 'Ллй г'з , понг 4~~~тЯ, р, г)з'„) й ) ялптлря1п — йтйрйг то о о о гл ~ул (4) 48. Решением краевой задачи и/, = 1(га Уг, з), О < т < то является й,. т. п,=о х ~Алп,п и соятир+ Вй „, го я1п пор)ля1п(иплз+ з„г), (4) где 1лй, ~ положительные корни уравнения 1лйЛорз,',(1лйЛ,"Л) + то)лойп(1л~~й) = О, (5) ит --- положительные корни уравнения н~ — 6л6г су8и л' = и (1ло + 6г) ' з,„= агсу8 —, 6з ' (6) (7) 01 )~дтг г От лг Озгг дгг1 ' 0<т<то, 0<уг<2я, 0<з<1о 0<1<+со, (1) ( — — 6ли~ =О, ~ — +6зи~ =О, ~ — +6зи~ =О, 0<1<+ос, (2) 0<ог<2я, 0<я<1, (3) Гв. К Уравнения парабовичесного пгипа аг ( (о 4~~~тг(т, ВЛ г)уо( ' ) совпРЯ(п(и Я-(-г, )е(те(ггс(г Рия тз та итг" [1 -т ., 1 (~( ) ~1-г 2 при п=О, 1 при и~О, аг г (и) 4 / ~~т~(т, (о, г) У„( — ') сйптирялпи г+ г )бтйрбг (ри та Вя рв 49.
Решением краевой задачи ди г ди 2ди 1 д /. ди1 1 ди и~, = Д(т, В, (о) Р) является ( -'"'т') -(-оо о „,,г 1 о-Иг~ — ) ('ар "' ( и(т, В, (г.,г) = ~~ ~ ~ехр — ~ — ( 1 х ~"( 1 . =о я=о х Р„я(сояд)(А „всея)яр+В,„п вя(пй~р), 14) где (г положительные корни уравнения (ед (ов.((г(1( ) = О, (5) А „я= в г / ~~~(т, В, феи~ о, г(г — ягп ВР„в(соя В) соя йр е(т бВ йр а ар (6) ига(п + (е)( (2 -г 1)(~ — й)~ 1 "енг 2 при В=О, 1 при йфО, в а г / (От'1 В, ~р) ти~г Л„,~И ( — ) я(п ВР„и (соя В) тйп й р е(т НВ е((о то ) аао (7) итог(те+ (е)! (2п+ 1Н~ — lе)( 1 "епг Ответы, указания и решения оО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
