Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 69
Текст из файла (страница 69)
1п — = 1 Л 153. Логарифмический потенциал простого слоя отрезка — а < < и < а с постоянной плотностью р = ро вычисляется непосредственно и равен 2ау а — я 2 'г' = ро) 2а — уагсяя ' — ' 1п[д + [а — и) ]— уз -Ь яз — аз 2 — — 1п[у + [а+ я) )). 2 У к а з а н и е. Проинтегрировать по частям.
У к а з а н и е. Для вычисления влияния идеально проводящей плоскости г = О следует зеркально отразить исходную сферу с центром в точке [О, О, Ь) относительно плоскости я = О. Решение в этом случае представится в виде суммы Гл. !1г.,Уравнения эллиптического типа 154. Пусть М(х, у) точка наблюдения, 4э угол, под которым отрезок ( — а, а) виден из точки М. Логарифмический потенциал двойного слоя отрезка И'(М) = и/ ' е!(р = иу/ —, (Ре расстояние между М и точкой интегрирования Р) равен И'(М) = и асс!5 — асс!5 = ~и~р, у у причем / и~р, если у > О, ]( — иоэ, если у < О.
155. Потенциал простого слоя, равномерно распределенного по круглому диску, имеет два аналитических представления: 1) представление потенциала в виде разложения по сферическим функциям — ( — ) !Рп(0) + Ро — з(0)]Рп(соя!!)— о=о 2елг — — Р,(сову) при ! < а, аэ (1) Ъ'(г, у, ~р) = — "~ (-') ]Рп(О)+Р„г(О)]Р.( нВ) при г>а; 2) представление потенциала в анде эллиптического интеграла 2е и К( 4ате1пу э — 2 ц ~ ~ " 2 Й у+о! ,' э е!о ; в[о= * .. в -р .э,- = па~а суммарный заряд.
Указание. При выводе формул (1) вычисляется значение потенциала на оси г, перпендикулярной к плоскости,в которой лежит диск, И(0 О ) 2е( 'ге+аз — г], и затем находится его разложение по зональным сферическим функциям. Дальнейшие рассуждения проводятся по аналогии с задачей 140. 156. Выбираем систему координат (р, уэ, я) с началом в центре круга и осью г, перпендикулярной к плоскости, в которой лежит круговая петля с током. Вектор-потенциал имеет только одну составляющую А; а соз в» оор д1 ~о!е 2и! ~ о 2З Б.М.
Будок и др. 434 Ответы, указания и решения которая равна А = " — ((1 — — е )е — е), где 1г --- магнитная проницаемость среды, 1 —.-- полный ток, текущий по петле, 4ир (а+ д)г + гг ' Л и Е полные эллиптические интегралы первого и второго рода: /г /г я(и= 1' "',, вщ= ~Я-рвреве. — И ~ В о На больших расстояниях от тока (а « 1) имеем для очень маленькой петли Зггрг + зг » а имеем гд1зг В Ф егг 157. В полярных координатах (р, уг) находим; а) решение внутренней первой краевой задачи для круга 2я У а' -е рг — 2арсоз1ег — гУ) ' о б) решение внешней задачи и,~ ) 7 ~ '-"тй)~4 2гг У аг -Р рг — 2ар сов(~р — ф) ' о где а — радиус круга.
Решения соответствующих интегральных уравнений имеют вид: а) < ) = .— ~~ ) —,... ~'~й 1з, 1 1 с где С вЂ” окружность радиуса а; б) р(в) = — — 1(в) + /1(в) еьз. с Указание. а) Если контур С - окружность радиуса а, то соз ррррр, 1 'рре 2и и уравнение для р(во) принимает вид р1во) + ~р1в) егз = — 1(во), (1) о т.
е. Р(в) = — 11в) + А. Гл. !У. Уравнения эллиптинееиоео типа Подставляя (2) в (1), находим А = —, /Д(э) сЬ. с Зная и(э), после несложных преобразований приходим к интегралу Пуассона. б) Зля внешней краевой задачи 1 н(э) = -- Д(э) + А, где "(*' ="'=И,"«)'" "=(.— )"( — )' " и дается формулой уу ( — 1)г+(Л вЂ” Ф+ гР" ~ 2 /' б) Решение второй краевой задачи ди —.
=У дг ==0 и„+и„„+ил,=О при я>О, ищется в виде потенциала простого слоя р(6 П)е1Се1П и(т, гб з) = 1' (т, гб е) = Д и дается формулой и(т, у, я) = — О А = —., / г'(э) Иэ. с 158. Решение второй краевой задачи 1 д l ди1 1 д и — — (р — ~+ —,, =О при р(а г др ( др / эгг догг ищется в виде выражения потенциала простого слоя ".'" "-!'" 1 н(г)г)иуг + сопзн о Решение интегрального уравнения для гг(у) дает "()= —.'П ) 159. а) Решение первой краевой задачи и, + и + и,е = О в полупространстве г > О,. и) = 1 ищется в виде потенциала двойного ~э=0 слоя 436 Ответы, указания и решения 160. Первая краевая задача езги = и„+и„„= 0 при у ) О, и~ = )(х) имеет решение И(О ~4 с ,/ 1х — Ь)2 + уг так что 21)' = Ь' + )е + Ь' = уе(в)(бгас) в) -~- 1'(в)11в Отсюда следует 2Ьв те Св) (а' с1в)2 г'св) т.е, поверхность Е эквипотенциальна, является функцией только ж Обозначая ,г г г дп саг г в) сЬг в) сег + в) =д(), если отношение йв,С(82ас)в)~ 1 1 1 р=, +, + аз+в Ьг+з се+в видим,что уравнение агав Ьг-'ев ег-~-в сводится к дз — — 1.
Пифференцируя его по х, получаем Ьз -~- аг)дг В Ссв з- Ьг)дг ' (в -'е ег)дг Вычисления дают (8гас)в) г д2 2 8хг дг(аг + в) дгг(аг + 2р 11в = — и, следовательно, ср(в) 1(в) ~) 1( 1 8х дз з)з дзсаг+яр' '''' р —. Проинтегрировав уравнение 2 +, + 1 1 аг в+ Ьг в -Ь с') Указание. Решение ищется в виде потенциала двойного слоя ~ )= 1 ®)с,'и для плотности и которого получается интегральное уравнение с ядром, тождественно равным нулкз, так что Ю =.-'Ы) 161. Решение. Если поверхность К эквипотенциальна, то каждому значению параметра в должен соответствовать определенный потенциал )'=П ), удовлетворяющий уравнению Лапласа.
Пифференцирование лает Ья = Г(х)вя, Ьаа = 1" ( Н *)'+ ГЮ ':„ Гл. !У. Ургаенения эллиптического типа получим $'=з(э) =А / ' +В, где Л(э) = На бесконечности при з — г оо потенциал должен быть равен нулю,: отсюда следует, что = — А /гг( ). 162. Если эллипсоид, заданный уравнением г г х д — + — + — =1, аг 6г сг является проводящим и несет на себе заряд е, то На поверхности эллипсоида э = 0 потенциал Ъ равен е / ал Емкость эллипсоида равна С= — =2 (/ — ) о Поверхностная плотность заряда лается выражением о = — — ~ бгаг1 Ъ'~, =а = — — (Ъ; ~ бгаг1 з ~) э=-е, 4н 4я е 2 откуда в силу равенств ()гэ)э — а = — —, ~ягайэ~ = — следует 2еаЬс' гсог Если а = Ь > с (сплюснутый сфероид или сплюснутый эллипсоид вращения), то получаем г г е г' 4е е а — с — /' — агсгб г 2е 2 (э-Ьаз)~/в+ сг е~/а~ — сг 'г' Л -~-сг ' л Если а > 6 = с (вытянутый сфероид или вытянутый эллипсоид врагцения), то получаем е 1 ъ'Л -~- аг л- згсЬг — аг 2е, гаг Ьг згЛ -~-- аг,(Ьг — аг ' Здесь Л положительный корень уравнения (1).
438 Ответы, указания и решения 163. Поверхностная плотность заряда на эллиптическом диске -112 где е полный заряд диска. Емкость круглого диска (а = Оь Ь = с) С = 8еЬ. Плотность заряда на каждой из сторон круглого диска 4кЬ,„4г рг' Потенциал, создаваемый круглым диском, выражается формулой Ь И = 4га агс$8 —, 'л или ъ'2Ь )2+ 2+ г И = 4Иаагсг8 Указание.
При вычислении и для эллиптического диска воспользоваться формулой для сс из решения задачи 162 г ь — 1)2 х' х у Исключив — из уравнения —, + — + —, = 1, получим аг а2 Ьг сг г Предельный переход при а — 1 О дает нужнукь формулу для сг. Пля круглого диска а = О, с = Ьг, р = уз+ 22. Параметр Л определяется как положительный корень уравнения х у+в в Ьг+в равный ь=-')" — ь'+,):ь ) еьь*). 2 164. Указание. Требуется доказать, что Ь)с = — 4кра внутри эллипсоида, ьзХ = О вне эллипсоида. Показательство первого равенства не представляет труда. При доказательстве второго равенства следует использовать соотношения яга)4Л. га)11 = 4, )4)гя 8га)11 = 4В'св) гь)в) 439 Гл.
!У. Уравнения эллиптичеенозв типа 16й. а) Гравитационный потенциал вытянутого эллипсоида вра щения (Ь = с < а) (а 1+е 1 г1 1+е )'(а, у, з) = 2я(1 — е )ро — 1п — — — ) - 1и — — е) я — " '12 1 ! е 1 1еег з з ) — — — — 1п ) (д + я ) внутри эллипсоида, 2ез 11 ег 2 1 — е) 1г(а, у, з) = 2я(1 — е )рог — 1п ( а аэ+Л+ 12е гГаэ+Л вЂ” еа 1 (1 и!а +Л-геа еа ) 2 ез 1 2 у'аэ -~- Л вЂ” еа ~/аэ -'г Л,/ 1 еа аз+ Л 1 а +Л+еа — — — — 1и ~ (у +з ) вне эллипсоида, 2ез (1 — ез)ав + Л 2,/а~ + Л вЂ” еа~ сз гдее =1 — —, Л 2 а положительный корень уравнения и у -'гз а'л-в сэ-~-в б) Гравитационный потенциал сплюстнутого эллипсоида враще- ния (Ь = а > с) 1г(а, у, з) = 2я(1+в~)ро — агоре — — агсгяв — (а~+у )— ) е 2еэ 1 1+ее/ — — (е — асс!я е)з внутри эллипсоида, 1 2 ез Ъ'(и, у, я) = 2я(1+ е )ро — агс1ц ~/сэ Ь Л вЂ” — — агсоя з вне эллипсоида, ез ~, нгсэ -~- Л игсэ -~- Л л) гдес = —.— 1,аЛ в, сэ положительный корень уравнения а -Ьу в аз+в сэ-Ьв 2яро)а — — г ) при с<а, 3 1,21 3 ) — при г > а (М = — аэро) .
Прсдельный переход при е -о 0 приводит к потенциалу однородного шара радиуса а: 440 Ответы, указания и решения 166. Логарифмический потенциал однородной эллиптической области г у — + — — 1<0 аг Ьг дается формулами а -'г ЬЛ Ьро /х~ уг 1 г'(х, у) = яабро ~- — 1п ) — — + — внутри эллипса, 'л2 2 ) а+Ь ) аг Ьг) г г а + Ы,/Р ч- л,гР -ь Л )г(х, У) = лаЬРо 1Л вЂ” — 1п ) — иаЬРо ~,2 2 ньаг+ Л+ лГЬг+ Л лььаг -1- Л + льЬг -'г Л вЂ” заЬро 1п вне эллипса, а -~- Ь где Л вЂ” . положительный корень уравнения г г + " =1. аг -~- в Ьг -1- в 167. Потенциал вне эллипса равен л и*.,| = г. ~ ~- 2 ь (* + ' Ь ( + ь' ) ь +/ или ьь °,'ь ° ь' °,/р, ЬЬь ° ь > ~ 21п— а+Ь где Л вЂ” положительный корень уравнения х и аз+в Ьг+в Плотность заряда, распределенного на эллипсе, равна уо 1 и= 2 2каЬ1в )х У Предельный переход при Ь + 0 дает потенпиал отрезка 0 < х ( а на плоскости (хь у) (Хь у) ьО 1 2 1и— а /~З('-"'в ь' '+ х 1п аг где р =хо+у .
Указание. Вывод формулы для Ьь(х, у) совершенно аналогичен выводу, приведенному в решении задачи 163. 441 Гл. ! г. Уравнения эллиптического типа На бесконечности мы ставим условие и = г' — А1п — — э О при р = тегяз+ уз — э оо, Р где А и В > Π— некоторые постоянные. ~ ягаг1и~ < —,, В Рг ' 168. Пусть | ток, протекающий по петле С, с центром в точке г = О, р = О и радиуса а, Р ток, текущий по петле Сь радиуса Ь с центром в точке г = е1, р = О. Лля силы взаимодействия между С„и Св возможно одно из представлений: 2яр11 е1Ь ~ К~к) „а + Ь -е И еа игаЬ Ь'Ь (а — Ь)а + аэ где /э 4иЬ )' е1во ~ +а +г" Ь Д:в,;„ Р = — ~[е1я В), где Л магнитная индукция внешнего поля, а интегрирование производится по данному контуру.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
