Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 66
Текст из файла (страница 66)
113. Распределение температуры внутри цилиндра дается формулой Р вЬ вЂ” (1 — е) и(р в) = ~ ~А„, " л"о ( — р), т=г где 2ао Ат = ЬрйУг(рт) ' р„, — корень уравнения и (1 — е) и(р, г) = ~~~ А и .7о ( — р), (1) т.=г А. = 2Ьа я (2) ь(агЬг л иг )иг У (и ) где ит пг-й корень трансцендентного уравнения гг(и) = — го(и), (0) 6 коэффициент теплообмена. Переходи к пределу при Ь вЂ” э со, получим отсюда решение задачи 113. 114 эо(1г) = О, й коэффициент теплопроводности.
Указание. Задача сводится к решению уравнения Лапласа гли = 0 при граничных условиях — ЬО тд, и), =О, и(,, =О. 408 Ответы, униза~ил и Региепия (2) где Л (р) совпадает с соответствующими функциями задач 113 и 114, Я (з) определяется из уравнения е'и — Л„,Я = 0 и условия Л(со) = О, так что еог т А е 116. Напряженность злектростатического поля Е = — ягаг(иг где и потенциал, равный 41'о и(р, з) = — х я(27П-Ь Ц Р~, я(2пг-Ь Ц и — 1о и(2пг-Ь Ц (я(2пг-ЬЦ Ко[ Р~ Ко [ [гг(2т-'гЦ я(27П+ Ц ) 177 27п-1-Ц ) Ко [ т=с 1о гг(27П + Ц в1п е 27п -Ь 1 Здесь Го и Ко — функции Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента первого и второго рода соответственно. Предельные случаи: 1) если 1 = оо, то 21о Руо(рв)Ко(ав) — 1о(ив)Ко(рв) в1вве й г(в / 1о(Ьв)Ко(ив) — 1о(ав)Ко(Ьв) о потенциал внутри полубесконечной трубы; Указание.
Требуется решить краевую задачу ЬитО (0<р<а, 0<я<1), ди ди — й — ту, — +ли =О, и~ 1=0. 7=0 дР р=о р=о 115. а) Решение задачи 113 для полуограниченного цилиндра () = = со) имеет вид и(р, з) = ~ Ат ехр( — Р'" е)Уо (~"' р), (1) т=1 где рт --- корень уравнения йо(11) = О, Ьрйуг( ) б) Решение задачи 114 при 1 = оо и(р, з) = ~т А ехр( — ' (,7о ( — р) (3) т=1 где Р корень уравнения (3) задачи 114, А определяется форму- лой (2) задачи 114. Указание. Решение ищется в виде и(р, е) = ~ Я„,(я)ге' (р), 409 Гл. !17. Уравиепия эллиптического типа 2) при а = 0 имеем 77(27п+ Ц р~ .. 1в [ и(р, я) =— т=а1о [ гг(2т -В Ц вйп  — и!го гг(2пг+ Ц 119. и(р, г) = Ув(ъгЛ Ь) вЬ ъгЛ л П в) ц Л-' Л (эо( 1Л а) -~- эг(згЛ; Ь)) в!7 зггЛ ! где В яр) = эо(з!7Л р)Мо(зугЛ а) — уо(з!7Л„, а)!г!о(зуеЛ р); Л т-й корень уравнения эо(вгЛ а) эо(вгЛ Ь) йго(ъ'Л, а) гуо(ъгЛ„, Ь) Решение. Искомое решение краевой задачи 1 д ! ди1 да гли= — — (р — ! л- — =О, р др (, др / д и ! = и ! = О, и ! = О, и ! = ио представляем в виде и(р, я) = Хлв(р)л(я), где В(р) определяется из уравнения Бесселя -' —" ( р — ""1) + Лл = О (1) р г! Л, г!рг! потенциал внутри цилиндрической коробки.
Указание. Решение ищется в виде и = ЕЛ(р)Я(в), для В(р) получается задача 1! + — Я~ — ЛВ = О, Я(а) = О. р Общое решение этого уравнения имеет вид В(р) = А1о(ъ!Лр) + ВКо(ъгЛр). Условие В(а) = 0 дает В = — А1о(чгЛ а)77Хоо(чгЛ а) . Пля Я(в) имеем Иа+ ЛЯ = О, У(0) = Я(1) = О, Л„= ( — 1!, Я„(в) = вш При предельном переходе ! — 7 оо вводим переменную вп, = гг(2т+ Ц 2я , так что !1в = — и наш ряд преобразуется в интеграл.
11Т. Температура в точке (р, в)внутри тороида равна и(р, я) = ио + (иг — ио)о(р в) где о(Р, Я) = омв(Р, в)+оггв(Р, ! — Я)7 омв(Р, Я) Решение задачи 116 при Ьо = 1. 118. Если обозначить и(р, вэ, я) стационарную температуру в точке (р, гр, г), то: Ц и(р, гр, я) = ио = сопя!; 2) и(р, го, я) = и(я) = и, —. ! 41О Ответы, указания и решения с граничными условиями Л(а) = О, Л(Ь) = О, а е,(г) удовлетворяет уравнению я о — ЛЯ = О и условию г(() = О. (2) Из (Ц находим Л(1г) = СУо(ГЛ р) + РХо(ГЛ р). Пользуясь условиями при р = а и р = Ь, будем иметь: Л (р) = во( ЗЛт р]Но(з~Л„, а) — эо(1Лт а)(воЦЛт р), где Лт определяется из уравнения 1о(~IЛ а) *Уо(теЛ„Ь) Хо(ъ'Л а) бее(в/Л,„Ь) Вычисляя, как обычно, норму собственной функции Л„,(р) о ~~Лв-~~г = У"-'( )"' получаем ~~г 2 уо(ъеЛ а) — Уо(уеЛ Ь) г) 1г( Л Ь) Из уравнения (2) находим вЬуЛ-(~ — в) вЬ /Л„, 1 Функцию и(р, г) ищем в виде вЬ |/Л, (~ — в) и(р, г) = ~ АтЛт(р) вЬ ъ~Л, 1 т=г Коэффициент Ав, определяется из граничного условия и(р, О) = ио = ~ А Л (р).
т=г Отсюда ио Ат =, ) рЛ„,(р) е(р. Заменяя Лт(р) из уравнения получаем . ( Л' ( ) — ЬЛ' (Ь)). ') См. гл. ЧП, 'З 2, задачу 57. 411 Гл. !1/. Уравиеишг эллиптического типа Вычислим йгт(и) = З/Л„,[1о(ъ~ Лт ти)его(э/Лвг а) — Юо( /Лт а)1/о(;/Л К'„,(Ь) = з/Лпг(/о(з/Лгв Ь)Мо(Лг/Л и а) — Юо( /Лт а)эз/о(Л/Л„, Ь)) = т,/Л "о("Л" и)(1,'(,~Л Ь)1,( /Л Ь) — 1,(/Л ЬртяЛ Ь)) = 2 Мо(з/Лт та) 2 эо(з/Лт а) Ь М,(,/Л Ь) иь,1.(,гЛ Ь)' при этом мы воспользовались выражением для вронскиана 1о(х)11о(т) 1о(и)1/о(х) Подставив выражения для Й' (а), Я,' (Ь) и 21е,'2~, находим иио 1о(ъ~Л Ь) 1о( /Л,„а) -~- эа(ъ'Л Ь) 120. Решение.
Требуется найти решение уравнения где 1(Рг к) = ' б(Р) д(э — () ч) объемнаЯ плотность, соответствУю2ир щая точечному заряду, расположенному в точке р = О, э = б, так что в о о о При э = О, э = 6, р = а должны выполняться граничные условия и = О. Решение ищется в виде ряда и(р, э) = ~ 17ог(р) з1п — з.
т=1 Для Л (р) получается уравнение — — Р— Р„,11т = — — д(Р) вшР„,~ = — /т, /) лг т— где р = —, причем Л (а) = О. Общее решение однородного уравт— пения имеет вид Кт(Р) = Ат1о(ртр) + В Ко(Р:пр) Варьируя произвольные постоянные А, и В,„из неоднородного урав- нения для Я, получаем А„,1о(р р) + В„,Ко(р р) = О, Ап~1о(дтр) + ВогКо(ртр) = Р г) д(р) и 6(э — г,') есть Ь-функция. См.
[7, гл. П1, приложения). 412 Ответы, указания и решения Отсюда находим В,', = У-"~'""Р), И т 1,'( )К.( ) — 1о(х)К„'( ) Лл Ил, 1 определитель Вронского, равный И" = — (х = р,„)), так что х В,'н = РХ~п1о(4лтр) Атп = — РХтКо(1лтр). Определяя отсюда интегрированием А и В, будем иметь Вт(р) = Ап1о(атр) + ВопКо(Р пр) + + ~злого(лл в)Ко(Р Р) — 1о(Р Р)Ко(Р в)лХ (з) Ав о где Ао и Воп постоЯнные. Из условия ~Лт(О) ~ < оо следует В" = О. Условие при р = а дает 4о, = — 1(1о(вр )Ко(арт) — 1о(ар )Ко(в4л ))вл' (в) е(в, 1о(ар„,) л о так что (Р) = — ( ) ~1о(вр )в1т(в) елв + 1о(ар о + Ко(РР.) Г1о(вот) зХт(а) сЬ+ 1о(РР.,) 1Ко(з1лт) в~т(з~ сЬ, о или 4е 1о(ар,,)Ко(рр ) — Ко(ар„„)1о(рр, ) шла так как Ко(вр л)влет(в) лЬ = — зла рп,~ ~Ко(врт)б(в) Ав = О, а ибо точка в = О лежит вне области интегрирования ~1о(ва )в1 (в) л)з = /1о(влл )вут(в) еЬ = о о = — ошр ~ / б(в) дв = — зли рпл~.
4е . Г 4е — т / о Таким образом потенциал точечного заряда е, помещенного на оси цилиндра р < а, О < з < 6 с проводящими стенками, представляется с помощью ряда 4 1о(я™а) Ко(Р) Ко( — а) 1о( Р) т=л 1о ( — „а) х зш ~™ ~ зш — ю 6 1л 414 Ответы, указания и решении ("" )'(""' ), ( )."'(е — с( 3 а где рт корень уравнения,Уа((() = О, а — — радиус цилиндра. (и'( Если заряд находится на оси цилиндра (г' = 0), то ув Решение. Для построения функции источника решим методом разделения переменных неоднородное уравнение Ьи = — 4яр (2) с граничным условием и) =О, где Б поверхность цилиндра.
При этом мы будем считать, что поперечное сечение цилиндра — произвольная область Я с границей С. ПУсть 1УЗн(М)) и 1Ле) собственные фУнкции и собственные значения задачи Ьзф+Лф=О в Я, ф=О на С. Будем искать решение в виде и(М, я) = ~ и„(я)ф„(М). а=1 Разлагая при этом р(М) также в ряд, получаем р(М, я) = ~ р ( )Ф (М), где и„(я) =, ( и(М, я)ф„(М')Йам, — ~~..~Р ра(я) =,, ~р(М', к~уРа(М'(сЬтм, где Из уравнения (2) следует уравнение для и„(я) и'„' — Л„и„= — 4ярн (Лн > 0), причем и„ -+ О при я -~асс. 415 Гл. ! о.
Уравнения эллиптипееиого типа Отек)да находим ип(г) = 4я / рп(() гК., или э и ", лг ~ соя пгр, Фп ггпп. п ( ээ) '~п ] го] а ) (я1п иго, 2 рп и еп,п а э ]]гр„]] = ]]ф и]] = — я„а [.7„'(1л~'О)], где ][2 при и, = О, '(1 при и ф- О. Подставляя эти выражения в формулу для С, получим решение зада- чи в форме (1).
Аналогичным методом может быть найдено решение задачи о точечном заряде внутри цилиндра. 4. Задачи, требуюпдие применения сферических и цилинд- рических функций. 123. Решение первой внутренней краевой задачи для сферы Ьи = О при г ( а, и] = ~(0; 'ээ) может быть представлено в виде ряда и(г, О, гр) = ~~ ( — ) У„(0, оэ), где )гп = ~(л„ь соя/егр -~- В„ь яш Ьр)Р~~~(соя О), я=о (2) ип(г) = 4я / ('р(М', г,")е '" '= С~ пп( ) г1ам гй;. Подставляя это выражение в формулу (3) и формально меняя порядок суммирования и интегрирования, получаем и(М г) = 4я I 1р(М' г,') ~~г и( ) "( е "л" ] с' йаяг г1г,'. 2л/Л ]]эр ]]г Отсюда следует, что функция точечного источника равна гз(М М л) ~ Фп(м)Ф (м') е —,л.~.— с 2лгЛ ]]й ]]э Потенциал заряда е, очевидно, равен а = 4яеС.
Если цилиндр круглый (Я круг), то 416 Ответы, указания и решения Ао о 4 ~~1(0, э') вшде10ейр, в о А и = ~ ~ ЯВ, 1р)Р„(соя 0) сов й1р в1п В 110 ейр, о о п>О, е Вия =, ~ ~ )(В, р)Р„(совВ) гйпй1рвшВВВейр. (2П+1)(11 — й)! Г Г ОО 2я(п+ й)! и о (3) 124. Решение первой внешней краевой задачи для сферы Ьи = О при и > а, и ~(, = 1(0, 1р) представляется рядом и(г, В, ~р) = ~ (-) 1'„(О, 1р) = и=-о Н (А„г. сов й1р + Вне в1п й1р) Р~~~ (сов 0), =о й=о коэффипиенты, определяемые формулами (3) зада где А„я и Виь чи 123. 125. а) Решение второй внутренней краевой задачи для сферы Ьи = О при и ( а, — = У(0 р)' ди дп т — — а у(0, ув) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
