Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В нашем случае ~~~1вг) е э' гэ Лля вычисления величины В на контуре Св следует использовать решение задачи 156. 169. Пусть кольца С, радиуса а и Св радиуса Ь лежат в параллельных плоскостях Хв и Ем а их центры расположены на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям Е, и Ев; коэффициент взаимной индукции может быть представлен следующим образом: ег в(в) = /, Г: в'.;Реве о эллиптические интегралы первого и второго рода; н=1 где ег = рв - координата точек кольца Св, если начало координат находится в центре кольца С,; 3) г" = — ~ ~( — ) Р„+ДсозЯР„(созД) 1Ь > а); не я при этом на гало координат помещено в вершине кругового конуса, проходящего через С и Св (а у'. -Ь) и имеющего угол раствора ~3; если и < Ь, то ряд, стоящий справа, быстро сходится.
Указание. Сила, действующая на контур, по которому протекает ток 10, помещенный в магнитное поле, равна 442 Ответы, указания и решения и Е(Й) -- эллиптические интегралы, д —. расстояние между центрами колец; 2) если начало координат поместить в центр С„ то кольцо Св будет иметь координаты гв = ъ'Ьз+ еР, Вв = Д, и ° е — 1)й (Ь +4 '1 (зт — 1)/2 1 ее=О Ь' -ь Ие ~Ь'- 4'1~ У если же, > 1, то вместо надо писать аа а Ь'+ао Аналогичную форму имеет выражение для взаимной индукции двух произвольно ориентированных колец, если их оси пересекаются.
Указание. Коэффициент взаимной индукции контуров 1 и 2 определяется формулой Мш = ~А гав~, 1 где Аз вектор-потенциал поля, созданного единичным током в контуре 2. В нашем случае Мва = ~ Аа е1вв = 2яЬ ~Ав~р Св где ~А,~ вычисляется на основе решения задачи 156. Глава Ч 'УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИс1ЕСКОГО ТИПА у 1.
Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 1. Для температуры жидкости в нестационарном случае имеем (2') (1) (2) ди — =О при»=О, д» В коэффициент диффузии. д1 1,дх» ду» д»- ") дх ' — со < х, у < -~-оо, О <», 1 < +со, (1) а коэффициент температуропроводности, Л вЂ” =о(и — 1) при»=О, ди (2) д» где 1(х, у, ») температура плоскости» = О, и~, = р(ху»), — <ху<+, О< <+ .
(2) В стационарном случае (с «пренебрежимо малой» теплопровод- ностью в направлении оси х) ди а» /д и д'иЛ вЂ” = — 1 — + —.~, — со<у<+ос, О<х,»<+ос, (1') дх ио ~,ду» д»' ) ' ди Л вЂ” = о(и — 1) при» = О., д» где Дх, у) температура плоскости » = О, и~, = у(у., »), — оо < у < +со, О <» < +со. 13') 2. Лля концентрации вещества, диффундирующего в подвижной среде, заполняющей полупространство» ) О и движущейся с постоян- ной скоростью в направлении оси х, при условии, что плоскость» = О непроницаема,. в нестационарном случае имеем ди (д и д'и д»и ) ди д1 1, дх» ду» д»' ( дх ' — оо < х, у < +со, О <», 1 < +со, 444 Ответы, указания и решении В стационарном случае (при условиях задачи) ди О 1» д~и дои 1 — — — -> — (, — оо < у < -~-оо, О < х, е < +со, дх во 1,дуе де'( ди — =О при »=О,.
де и~, = 1рСУ, е), — со < у < +со, О < я < +со, (2') (3') — со < х, у, » < +со, О < 4 < +ос, 11) "~е — о 1'сх' "' Я)' оо < х' У' 1У' Я < +ос — оо < х, у, я < +ею, О < 4 < +ею, (1') и~, = ср(х, у, »), — оо < х, у, » < +со. (2') дЕ се (дЕ де Е дв Е з) дс 4яре 1 даа ду' д»1 ( ' дН ' )дев дев дев) д» 4яда 1, дхз ду' дев / ' — со < х, у,. я < +со, (1) О <1<+со, (1') (2') (5) (6) »11н1Э = О, написанную в предположении, что в рассматриваемой области нет объемных зарядов и сторонних электродвижущих сил.
где .Е и О векторы электрической и магнитной напряженностей, с скорость света в вакууме, р магнитная проницаемость, проводимость, Е~, = 41рсссх: у, ») + 31рг(х, у: я) + (2) + Ь1Рз(х~ У) Я)~ — со < х, у, я < +со, о = есР11х У») +УМ» У е) + + йрз (х,. у, х), где г, у, Й -- единичные векторы по осям х, у, е, а 1р1, 1рз, 1рз, срз, 1рз . - заданные функции.
указание. Рассмотрим систему уравнений Максвелла го10 = — — + — з, 1дП 4я (6) е дс е гоуЕ = — — —, 1 дв (4) дг ' 111гВ = О, 445 Га. К Уравнения парабовичесного типа Используя так называемые материальные уравнения поля Р = еЕ, В = 1гН,,у = ггЕ (7) ди з ди ди да~ — со < у, я < +ос, 0 < 1 < +со, (1) Лиа(0, у, я, 1) — Ьи(0, у, з, 1) = О, Ли,(1, у, я, 1) + Ьа(1, у, г, 1) = О, (2) и(т, у, гб 0) = Дт, у, г), где 1 толщина пластины, Л коэффициент теплопроводности. Если температура меняется по толщине пренебрежимо мало, то и=и(у, я,1) — =а,+, — 2Ьги, — ос<у,я<+ос, 0<1<+ос, (3) ди з гтд и д и г дг (д дг/ Ь Ьг — — —, срг где рг масса единицы площади пластины.
ди я ( 1 д г' ди'г 1 даи г 6. — = а 1 — — (т — ) + —,, тг < т < тз, дг 1г дт дт т' дзгз) ' 0(гр(2н, 0<1<+со, (1) Ли„(т„гго, 1) — Ь[и(тг, го, 1) — бг(1)) = О, 0 < 1 < +оо, Лиг(тз, гго, 1) + Ь(и(тго го, .1) — 17о) = О, 0 < 1 <+со, нтгс р = — Ь 2яУ(1) — ~ и(тг, го, 1)гйр, 0 < 1 < +со, (2 ) , г1бг(Г) П о где бг(1), р', с' --. температура, плотность массы и удельная тепло- емкость жидкости внутри трубы, и(т, зо, 0) = 1 (т, гго), тг < т < тз, 0 < го < 2я.
(3) (2) (2') 1 дР и условие постоянства е, гг, гг и пренебрегая токами смещения — — по с дг 4гг . 4но сравнению с токами проводимости — у = Е, получим уравнения с с гогЕ = — —" (8) го1Н = Е. (9) с Если от обеих частей уравнения (8) взять гог и воспользоваться известным равенством векторного анализа го1 гота = 8гаг) г(1г а — г11г ягаг1а, то с помощью уравнений (6), (7) и (9) можно получить уравнение (1). Аналогично получается уравнение (1').
446 Ответи, указания и решения до, до, о„ аот до„ +о„+ — +о, дз " дт т дуг ' д» 1 др ( агат 1 дго дго 1 до 2 до„ о +и1' г+ ° +,~+ ° + — — — — /, рт д12 1 дг' г' дрг д»г т дг т' др т'/ ' до„- доз от до, до. — + о„— + — т — -~- в»вЂ” дз " дг т дуг д» 1 др Гаго, 1 дго- дго, 1 до: 1 = — — — +и ~=+ — +, + —— 2 д» ~ дг.г г.г дугг д»г г дт / 2) уравнение неразрывности до„1 до, — + — — г+ а' ° ар до. о„ =+ —" =О, д» т О„, Отл О- СОСтаВЛЯЮП1ИЕ ВЕКТОРЫ СКОРОСТИ ПО НаЛРаВЛЕНИЮ ЕДИ- ничных координатных векторов цилиндрической системы координат; 3) компоненты тензора напряжений до, й а., а.г рт = — р+ 2и — ', дг ' ар а ° /' до г'ао„до 1 о, = — р-~-2и — ', г „= и ~ — *+ — ) . д» ' дт д» ) Компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах определяются аналогично тому, как зто делается в декартовых координатах при выводе уравнений движения упругой среды в задаче 11 2 1 гл. Ч1.
') о1т, 1) = оЯт, 1); см. указание к настоящей задаче. 7. Для определения скорости о(г, 1) частиц жидкости ) и угловой скорости огф цилиндра получим краевую задачу до (д~о 1 до о 1 — = и ~ — + — — — —,(, то < т < оо, О < 1 < +ос. (1) д2 ~ дт' т ат о~ = тоагф, в — г О при г -++со, О < 1 <+скг, (2) дгв 2 Гао о1 К вЂ” = 212'+ 2ятор Р) Ж о ~дт Указание. В цилиндрических координатах: 1) уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости до, до, о„до„до„ог — "+о„— '+ — ' — "+о» вЂ”" — — ' = д1 "дт т дгг» д» т 1 др ( дго, 1 дго, дго, 1 до, 2 двт о, 1 = — — — +и + —, + + рдт '1 дтг тг дрг д г т д„тг ар тг)' 1'а. К Ураененин парабоаичееноео п)ипа 447 где Н(х, у, е, 1) = 1 Р + е,. (3) др ро — давление на свободной поверхности грунтовых вод (не зависящее от х, у, е).
Пусть рз означает гидростатическое давление в точке, лежащей на высоте е над водонепроницаемым основанием, а я = Но(х, у, 1) уравнение свободной поверхности грунтовых вод; тогда для гидростатического давления получаем следующее выражение; рз — ро = др(Н (х, у, 1) — е), 0 < е < Но(х, у, 1), т. е + я = Но(х у 1). (4) др Из (3) и (4) находим для избыточного давления следующее выражение: ' = Н(х, у, е, 1) — Но(х, у; 1).
др В силу предположения 1) условия задачи из (2), (3) и (5) следует дНо, дНо (б) дх ' ду ' т.е. частицы грунтовых вод, лежащие на одной вертикали, имеют одинаковые горизонтальные скорости. Рассматривая тонкую вертикальную призму с основанием е)х е1 у и высотой Но(х, у, 1) и используя соотношение (6), уравнение неразрывности можно записать в виде у (о (ее„") е (е е Я )7) Если грунтовый слой и слой грунтовых вод над водонепроницаемым основанием простираются «неограниченно», то краевую задачу для опредоления движения свободной поверхности грунтовых вод можно (5) 8. Решение. Поместим начало координат на водонепроницаемом основании и направим ось х вертикально вверх. Пусть в проекциях на оси координат векторы 1, Ъе, Г записываются в виде К = (1„(и, 1е), Ъ' = (И, Ъео, Ъе), еУ = (и, и, ю). Тогда УРавнение движения частиц грунтовых вод можно записать в виде е1И др )Ле др Л'е др Р— ' = — —,+ура*, — ' = — — +М,: — = — — +ура:-др, бе дх ' *' бе ду "' бе де где р давление в грунтовых водах.
Пренебрегая (в силу предположе- 1 ния 2) условия задачи) инерционными силами и используя у = — — 11, 1е получим из этих уравнений приближенные уравнения )е др й др )е 1 др и= — — —, и= — — —, ю= — Й вЂ” — +1 (1) др дх' др ду' ),др де которые можно записать в векторной форме следующим образом: У = — 'кбгае( Н, (2) 448 Ответы, указания и регаения сформулировать следующим образом ва г ( в ( вн.) о ( а~.) ) 2 2. Метод разделения переменных 1.
Краевые задачи, не требующие применения специальных функций. а) Однородные среды. 9. Решением краевой задачи ди з) дзи ди д и1 дз д*' ду' дз' 0<х<1г, 0<у<)з, 0<я<4, 0<1<все, (Ц "! — — о "1-=г ~ =-о "! =г и! о — — и~ г — — О, О<1<+со, (2) и~ = /(х, у, я), 0 < х < 1г, 0 < у < 1з, 0 < з < 1з, является -~-се / з з з 2 2 и.,„, г)= з в...,(-.. (;,, )г) . л, т, п=г х вш 'вш ' вш, (4) Вях . газу . ахе г 1г 1з где Ь гз А, .—... ~д~~а~~/(у.,~,~) 1 ',-4в1, "в),~д~.
(8) о о о 10. и(х, у, з, 1) = гзхз з з оо ехр( — [12гг -ь Ц е (2ги -ь Ц з- 12и е Ц ]з~ — Но = (') и/ ~-~ (2й Ч- Ц(2т+ Ц(2и -~- Ц х К ль и=о (29+ Цих . (2ги+ Цяу . (2и+ Цие х в1п вгп вш — оо < х,. у < +со, 0 < 1 < +ос, (8) Но(х, у, 0) = оо(х, у), -со < х, у < +со. (9) Замечание. Часто от нелинейного уравнения (7) переходят к линейному уравнению дНо /д Но д Но г з Иго (7') де )г дхз дУз,l ' т ' заменяя множитель Но в круглых скобках, стоящих в правой части уравнения (7) г осредненной высотой Ьо = соггвС свободной поверхности грунтовых вод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
