Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 68
Текст из файла (страница 68)
138. Если внешнее поле Ео направлено вдоль полярной оси г, так что его потенциал 425 Гл. !'«г. Урэавиеиия эллиптического типа Здесь г диэлектрическая постоянная вещества, заполняющего сферу, (2п)!! = 2. 4... (2п. — 2) . 2п, (2п — 1)0 = 1 3 5... (2п — 1). У к а з а н и е. Следует воспользоваться решением задачи 140 о потенциале заряженного кольца, а именно: если начало сферической системы координат находится в центре кольца, на котором распределен заряд е, то потенциал в любой точке (т, В) равен (см. задачу 140 прин=-) 2 п=о а ( — ) Рп(0)Р„(созВ) при т ) а или т= а« Н т«п — ) Рп(0)Рп(созО) при т < а а В~ —, 1т„(т, О) = или т=а«Оу.--, 2' при «ем 5 О, если 'п нечетно, Р (О) = „21.3.5...«п — Ц ( — 1)"!г ''' ', если и четно.
2 4...п Решение поставленной задачи нужно искать в виде суммы $' = 1' + 1«„, где Ъи потенциал зарядов, индуцированных на сфере, равный 1««« = — ~~«Агп ( — ) Ргп(сов В), п=о Агп находится из условия 1т = 0 при т = 5. 143. Коли а радиус шара, в центре которого помещено начало сферической системы координат, то потенциал тока во всех внутрен- них точках шара выражается формулой У(т, В) = — ~ (-) Рг««т«(созВ).
п=о Указание. В силу симметрии задачи К = 0 при О = — и поэ- 2' тому можно решать задачу для 0 < В < —, полагая 2' , гп«-1 К(т, О) = ~' .4гпж« ( — ) Рг 1(созВ). а п=о Коэффициенты Агпл« следует определить из условия ( ( д1т«1 г д«гв 1пп о ( ( — — ) 2яа тйп В «!О = 1, —,= О. О!«дт В~к о 42б Ответы, указания и решения 144. Предположим, что точечный заряд находится в начале координат, а з = а и г = Ь --.
плоскости, .ограничивающие пластинку, ег -- диэлектрическая постоянная пластинки, ел .—. диэлектрическая постоянная пространства. Потенциал поля в области з > Ь равен е(1 — ~3г) ~ — ~ д " (' З 2" ")' ~ ел ' где р' = яг + уг, 6 = 6 — а. ег -~- ез Решение. Требуется найти функцию Г~(р, з) при — со < з < а (под пластинкой), Г(р, з) = Ъг(р, з) при а < з < Ь (в пластинке), 1'з(р., з) при Ь < з < оо (над пластинкой), гармоническую всюду, кроме точки р = О, з = О, в которой К имеет е' особенность вида —, и удовлетворяющую при з = а и з = Ь обыче~ г ным условиям сопряжения де'з д1'г уз = Гг,.
ез — =ег — при я=а; де де дРг джаз Ъ'з = Ъзз, ег — = ел — при г = Ь. дз дз Так как область неограничонная, то решение надо искать в интегральной форме, исходя из разложения — = / Уо(Лр)е ~~'~ нЛ ~), (1) о полагая к(е, ) = — '~ (лрр) -'на,-)зр)ярри'*а/, о о еер, е = — '~)врк рек '*ы+)ерп ррн"*ю/, ез о о 1гз(р, з) = — /еЛ(Л),7о(Лр)е л'4Л. о Все интегралы, кроме первого, должны оставаться конечными при р — ~ О и з -о О; кроме того, 1пп 1'з = О, 1пп 1'з = О. е-в — ее е — ~ ое Условия сопряжения при з = а и з = Ь дают: А(Л) = ф+1)С(Л) — де г л гз1Л) )1егалс(Л) + д 1 ') См.
~7, с. 607]. Гл. !'(г. у1(авиеиия эллиптй(еского типа С(Л) = ",' '"' В(Л), 11(Л) = „',(У',„„, так что е(1 — ~3) /' уо(Лр)е' 1 1 11г -глв о 1 Для вычисления этого интеграла разложим,,„„в ряд по стел е-гло пеням (Зге э Г г, =" '(()гиги-' э~ В*)э(~,(-'вьюг~ е( о о откуда, пользуясь формулой (1), и полу гаем результат в виде ряда, приведенного выше. 145.
Потенциал на поверхности земли при г = О может быть представлен в двух формах: о или 1г(р,О)= — +2 / где аг — о( аэ -(- а( Если в точках я = а и г = — а помещены два электрода, причем через первый электрод вытекает ток 1, а через второй вытекает ток -1, то 1 $'(р, О) = — — — — +2 з ( — 13)и (2) где л — э (* — (' .~ э' е — э (- ~ (' -~ э' Указание.
Решение ищется в виде г, = ~ /э (лг( "ю+)АР(гор( "'ы((во(э Рр( "ы~ о о о в области О < г ( 6, 1'г = 1 С(Л)3о(Лр)е (1Л в области г > а. 1 1 — л: 2эгаа 1 о Коэффициенты разложения А(Л), В(Л) и С(Л) определяются из О1: двух условий сопряжения при г = 6 и условия — = О при о = О, р ф О. Переход от интеграла к сумме производится по аналогии с задачей 144. 428 Ответы, указания и решения Формула (2) получается из формулы (1) с помощью принципа суперпозиции.
146. На поверхности земли потенциал равен — 1 г агсв7г а а' +у 1г(т, у, О) = 7го Решение. Требуется решить уравнение а„()г„+ К „) + а,Ъ'- = О в полупространстве 2 ) й при граничном условии на сфере ая + У' + 2' = а'. ПолагаЯ 7 = оя, полУчим )г„+ Гуу+177: О и И = )го на повоРхности эллипсоида в ащения Р ,2 2 г а +у + —.,=1, аг сгде а = 6~, ся = озаз. Вне эллипсоида на плоскости 2 = О, очевидно, д$' — = О. Поэтому задача сводится к вычислению потенциала поля д. заряженного эллипсоида вращения.
Ее решение (см. задачу 164) имеет вид в7в (аг -7- в) лесе -Ь в л е7в (аз -1- в) ~ с" ~- в о где Л эллиптическая координата. В данном случае эллипсоид вытянутый, поэтому имеют место соотношения со+ Л = (с — а )77~, 1 < 77~ < оо, с + Л = (с~ — а~)с~. О < с < 1 р 72 2 12 + =1 и, Р, + в =1, 1сг — агИ272 — Ц 1сг — аг)иг — 1сг аг)71 42) 1сг ав)яг отсюда 1 = ~ с~ — 722 77С, р = Вычисляя интегралы, получим 7'- О7'ггг' или 1 1 агс17г — агс17г )г = )го г7 У72 — 1 = вго о — 1 агсс7го агс17г Из уравнений — 2 1 е 2 2~ 2 1)Д ~2)~ 2 429 Гл.
гК Ураоиеиин эллипти оееиого типа исключая С, получаем Р" цг — 1 При г = О отсюда следует + о г агапэ г 1 Р аг(ог — ц ' так что а~/а'- — Т ахсэй Р(Р,О) =Р, Р агссй а 3 5. Потенциалы и их применение 147. Объемный потенциал однородного шара 2 '~, 2яро ~а — — ) при т < а г 3) М 'т' = и~т) = при т>а, 3 где а радиус шара, М = — ' роа его масса. .3 Указание.
Объемный потенциал Ро (2) т где Т вЂ” объем шара, является функцией, гармонической вне сферы (при т > а), удовлетворяющей уравнению Ьй' = — 4яр (3) ОС'ноя|вона о о где Л = с~ + т' — Зст соз д. Вводя новую переменную интегрирования Л вместо д и учитывая, что Яо4Я = тС о1пОМ, получаем г(О='— "'/е~ ) гл)ое. о внутри шара и непрерывной вместе с нормальной производной на его границе. Так как ро = сопзо, то потенциал обладает сферической симметрией. 148. Решение. Задача сводится к вычислению объемного ин- теграла 43О Ответы, указания и решения Если т > а, тот >с всегда и Если т < а, то / гт )'(т) = — Ро ~ ~От+с — т+С) сК+ /Дт+С+т — С) сК~ = 2яро ~ аг — — ) . т 1,1 о 149.
а) при т<а, при а<7 <6,. при т>6; 17 = бг) 2я рг аг — — + рг(с — Ьг) 2ярг(с — Ь ) -~- — рга 2 2 йа 3 3 т 4н аз 2нро 2 2Ь' 1 — р1 — + 2ярос — — т +— 3 7 3 \ 7 ( 4я)рг(с — 6 ) + а' рг) Мг + Мг 3т Указание. В силу принципа суперпозиции решений линейного уравнения искомый потенциал представится в виде суммы — е 147 + 1 149 а~ где $'147 и Ъ~4за --- решения задал 147 и 149, а); в) потенциал М1с) при т>с, МЯ -~- 4я~~рЯ с14 при 7 < с, где М(с) = 4я~рЯ~~ с1(, МЯ = 4я~рЯ~~ д( масса, распределенная с объемной плотностью р(г) внутри сферы радиуса с (или радиуса т). Если ) 0 при т<а, ) ро при а<т<Ь, 2яро(Ь вЂ” аг) 4норо (Ьз з) 1 3 т при т< а, при а<т<6, при Ь<т<с, при т>с. Гл.
! 'ьр. уравнения эллиптинееноео типа то отсюда мы сразу получаем решение задачи 149, а) М 'гр' — а ) + 2ярооЬ вЂ” т ) при р'>Ь, при а<т<Ь, получим при т>а, р 2 г Ъ 2кро <аз — — ) при г < а [, 3,) 4н з где М = — а ро и т. д. 3 150. Потенциал однородного сферического простого слоя равен 4яарло при г < а, и= М вЂ” при г>аэ г где М = 4яаэрро --- полная масса простого слоя, распределенного на сфере. Указание. Потенпиал простого слоя и(т) = I I — зьпоььойр, у / В о о я= 'рР— р р, .
р которое в данном случае просто, удобно искать как решение урав- нения ели=О при тра, всюду непрерывное, а при т = а имеет разрывные нормальные произ- водные ь4иэ Ыиь — — — = 4крро й- р=о йт р=л где иг решение уравнения йи = 0 вне сферы (т внутри сферы ь,р < а). 151.
Пусть центр шара радиуса а помещен = О, з = Ь и р = ро есть плотность объемных электростатического поля будет равен > а), из решение вточкел=О, у= зарядов. Потенциал 2ргро а — — — — при т < а, 3,/ где 4н з М = — роа, 3 ° =,Й' р р' р а - ьг , =,~Эрр'рр.рьр. где М = —,(Ь вЂ” а )ро. 3 При р = ро внутри сферы радиуса а (с = а) из общей формулы 432 Ответы, указания и решении 2 я М Сз — — ярос 3 го при г <а, при г>а. М (-1 — — ') Постоянная Сз определяется из условия сопряжения решений при г = а.
152. Логарифмический потенциал круга в точке [г, уз) 3 в=ее)=„0и ..' ммр о о 1'+ ' — 21 Ф вычисляется непосредственно и равен М вЂ” — 1п а — — —, М 1п— 1 при г<а, при г>а. Указание. При вычислении интегралов следует разложить подынтегральную функции> 1 1 1п — = 1п в ряд 1п — + з — [ — ) сояпф вне круга г > а, и о=-1 1п — + з — [ — ) сояпф при Л<г<а, ~-~ и и=1 1-1 [Л)" »-ео 1п — + '5 — ( — ) соя пф при г < Л < а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
