Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 71
Текст из файла (страница 71)
449 1'а. К Уравнения парабоаичеокого пвипа В центре куба ' г(2й Ч- 1)' ~ ь=о При всех 1, удовлетворяющих неравенству 2 (3) где г меньше наименьшего из чисел 1 и —, в центре куба заведомо 9' будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е. Указание.
Обозначим первый член ряда, стоящего в фигурной скобке равенства (2), через еб а сумму всех остальных его членов через Я. При всех 1, удовлетворяющих неравенству (3), будет г) — < Е; Я (4) г так как е < 1 и е < —, то при этом будет 9' (3 — (1+ — + — — ) 9 —, (5) т.е. в центре куба будет иметь место регулярный режим с относи- тельной точностью е. 11. Решением краевой задачи ди з(ди даи ди) — =а ~ г+ а+,,(, 0<и<1~., 0<у<1еч О«1„0<1<+, (1) 0 < Е < +со, (2) и(т, у, г, О) = 1(х, у, .г), О < т < 1ы О < у < 19, О < г < 1з, (3) является и(л, у, г, 1) = Аь „, о ехр( — а (Л~~ + 1в~„+ р~)1)Хь(х)Уа(у)гамп(г), (4) Й,т,п=1 где ') Подробнее см. гл. П1, З 2, ответ к задаче 22.
29 Б.М. Булак и яр. 450 Ответы, указания и решения и гг гг 8Лгд,'.г.') ) ) Их, у, )Х ] )К 19)~,П ) е1 уе1 15) ]1г(Л~, г- Ьг) -е 26] ]1г0гг + Ьг) + 26] ]1г1рвг -'е Ьг) -е 26] ' Лг, Лг, ...; 1гы 1гг,....; рг, рг, ... являются соответственно положительными корнями уравнений 1РЛ 61 с181гЛ = — ] — — — ), с18 1г1г = — — — —, с18 1зр = — ~ — — — ), 2 гЬ Л)' 2]гЬ р)' 2]~6 и)' ]6) Ь Ь Хг1х) = сояЛгх+ — яшЛгх, К 1у) = соя да,у+ — яшр,„у, Ль Не Я„1з) = созинг+ — Я1пиаг.
Ь (7) В частности, если 11х, у, з) = бо = сопяС, то я-ее п1х, У,. з,. г) = 4 6 Го ~ схР( — а (Лгьег + Рг +г + Рг -г)1) х й. т, н.=е Х. х1ег г Ягл-гг ]8) ]1г1Лгг -е Ьг) г- 26] . [1гггд~ ~ г -е Ьг) г- 21г] 'г1г1игг ег -Я Ьг) + 26] 1РЛ 61 Указание. Корни Ля уравнения с181гЛ = — ~ — — — ) удовлетво- 216 Л) ряют неравенствам 0 < Лг)г < я, я < Лг)г < 2я, 2я < Лз1г < Зк, ..., т.е.неравенствам В силу (9) Ф8 > 0 при 6 нечетном и меньше нуля при Ь четном. Л1 2 Но Р 21я— р 2 1 — 18— гд' 2 поэтому из 110) следует, что Ь Ля Лг Ь при Й нечетном, при Ь четном.
2 2' 2 2 2 2 ' 1УЛ Ь| Подставляя Ль в уравнение с181гЛ = — ~ — — — ), перепишем результат 2 16 Л)' в виде Ь Ль 2 — 2— 18Л ) г Лг Ь Л~ ~— Ьг Уг' Л~~ 110) 1 —— Лг Ьг 1'л. К Уравнения параболического типа + — (1 — сов Ль1з)~ = 6 Л. Аналогично вычисляются /1т(у) ду, / Я„(г) еЬ.
в о 3 а меч а ни е. Если параллелепипед в начальный момент времени равномерно нагрет 1т.е. у(х, д, г) = Пв = сопзс), то, очевидно, распределение температуры в нем будет симметричным относитель1е 1г 1з но плоскостей х = — д = — г = — поэтому можно ограничиться 2 ' 2 ' 2 ' определением температуры в одном из восьми параллелепипедов, на которые этими плоскостями разбивается первоначальный параллелепипед.
12. Температура в центре куба — 1 < х, р, г < 1 равна з 6 Л', Е -вх,е, ць 71 ь ЦЛ-; -~- 6') -Ь 6 Г = 8О'о6 где Лв, Лз, Лз, ... положительные корни уравнения 18Л1 = —. 6 Л При всех значениях времени 1, удовлетворяющих неравенству (2) 161)а „61, ПЛ,)г ' (61) г -ь 61 -ь ПЛв) а 1 аг1Л, — Л ) 1) 1*=— где г равно меньшему из чисел 1 и — в центре куба заведомо будет 2 ~ иметь место регулярный режим с точностью до г. Указание. Чтобы получить выражение (1) для температуры в центре куба — 1 < х, у, г < 1 достаточно согласно замечанию к предыдущей задаче сна зала найти температуру части О < х, у, г < 1 этого куба, считая плоскости х = О, у = О, г = О теплоизолированными. По поводу определения момента, с которого заведомо будет иметь место регулярный режим с точностью до г ) О, см.
ответ и указание к задаче 10 настоящей главы и ответ и указание к задаче 29 гл. П1. Следовательно, и ~Ха (х) е)х = — ~з1п Ль 1~ 1 о 1, = — 2 з1п Лв Л 1 2 + Ль 1 Ф 2 ив Л.1 2 Л,1, Л,1,1 61 Л,1,~ ~ О при 6 четном, Ль 2 1 1 —, пРи Й нечетном. 452 Ответы, указания и решении 13. Решением краевой задачи — —, + г, 0<и<+со, 0<у<(г, 0<я<(г, (1) ди аг ( драге д из~ да ио ~,дуг дгг) ' (в"-в.) =(е-+>.) =(е— "-О.) = ( — +ли) =О, — — (г 0 < и < +со, (2) 0<у<(м 0<я<(г, является Его ( о, у,*) = но,р К *г) — ',(е~„,„; — К.р.н) "о ш, ге=в ,(, ~( /1 '1 (' 6 совргыегу-Е явргы гу) ~ совргоогг+ явигвеггЗ) (гг -н иг ег ((,(„г „+Ьг)+2Ь).((г(рг ,Ч йг)+2(г) где (вг, (вг,..., рм рг, ... соответственно корни уравнений сааб(г(г = —, ~ — — — ), сгя(гр = — ~ — — — ) 2 ~г(г р)' 2 ~й и) Указание.
См. указание к задаче 11. 14. а) ( р — — ая ~( —; б) лавинный процесс размножения частиц будет иметь место при любых размерах куба; а ГЗ 1 (',Ц аййЗ'1 г г. в) (,р — — а(ссуд — ~ — ), если (г' ) За Ь; лавинный 2 ~,абаз(З процесс будет при любых размерах, если ~3 < Заг(вг; (3 — — коэффициент размножения, входящий в уравнение г(ди, ди ди) — =. ~~,+,+ г~(+,З.. иве -~-оо ( г г З в(н (.
() = ~ ~'.4 ° -' ° ( то (1) то и=1 ео Аа = — ~т~(т) яп" "Ит. (2) то з то о Указание. Уравнение теплопроводности в силу радиальной симметрии записывается в виде ди г /дги 2 ди1 д( ~дт' т дт/ Гп, 'т'. Уравненин парабопичеоного плана является г 2то ехр1 —,'* ( влп —" За 1 Зто — Зг ~ о го Г го гол 10то г-г Рг соз 1л г ~л=1 (т, 1) = СЪ+ Его Л (4) где дп положительные корни уравнения 18 и = 1л. 18. Решением краевой задачи ди г 1 д и 2 ди) — =а 1 —,+ — — 1, 0<л <то, 0<1<+со, д1 ( дгг т дт ) ' ди — +Ьи=О при т=то, .0<1<+ос, дт и(т, О) = 1(т), О < л < то, (2) (3) является и(г, 1) = ~ А„ехр ( — азЛ„1~ ' (4) лл=г Переход к новой неизвестной функции п(г, 1) = га(г, 1) приводит к краевой задаче об остывании стержня — =а —,, 0<т<ло, 0<1<+ос, дп здго (3) д1 дта' п(0, 1) = О, п(то.
1) = О, 0 < 1 < +гю, (4) п(т, О) = т,((г), О < т < то. (5) Первое из граничных условий (4) является следствием ограниченнос- ти температуры и(т, 1) в центре шара п(+О, 1) = 1шл ти(т, 1) = О. т — л-~-О 16. и(т, 1) = Ел + 2 — '((ло — 11,) х и тля х ехр~— Е ( — Ц' пна ' то тоо тл г г г л з в1п— п г' г п=1 При всех значениях времени 1, удовлетворяющих неравенству 1 > 1' = —,',, 1пе, Знлаг в центре шара заведомо будет иметь место регулярный режим с от- носительной точностью е > О. Указание. См, решение задачи 22 з 2 гл. 1П. 17. Решением краевой задачи ди г (дои 2 ди) — =а 1 — + — — 1, 0<г<то, 0<1<+ос, (1) д1 ~(дт' т дт 1' ' Л вЂ” =а, т=то, 0<1<+оо, ди (2) и(т, 0) = По; О < г < го, (3) 454 Ответы, указания и решения где 2 твлЛл, -1- ОзлЬ вЂ” 1) г тв тлЛ1 -Ь (твЬ вЂ” 1)таЬ,/ в Лп положительныс корни уравнения л Ся Лпти —— 1 — твЬ (5) (6) 19.
а(т, 2) = Ул + 2(У1 — 11а) Ьта х р т г 1 1 1 гйв р„т1Ьтв — Ц а р„е -'1- : ) ,.(,;,"' — -.)-'1 ' ) п=1 является л т — та — 2 — „1 р т ехр ал 2 ' рцр'+ Ьат' — Ьтв) ) 1' т ~л=1 (4) где рп положительныс корни уравнения Ь вЂ” 1' (2) а Ь коэффициент теплообмсна, входящий в граничное условие ди — = Ь1ьлл — и) при т = та, 0 <1<+ос. дт В центре шара и(0, 1) = балл + 2(блл — Ьго)Ь о х -~-ее Ьт — 1 1 л 1)пв-1 и +л в ) а лл л ~4) "-.:-"-"1 ') п=л Если Ьто < 1, то, очевидно, ряд (4) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах.
Воспользовавшись этим, найцем, что при всех значениях времени 1, удовлетворяющих нера- венству 10 1 ра т Ь ле — Ьтв рл т ЛЬтв 1) 1п е ае(ра — р') ) ра -'т Ь'те — Ьтв ра -'т (1лта — 1)' в центре шара заведомо будет иметь место регулярный режим с от- носительной точностью е > О. 20. Решением краевой задачи — =а 1, + — — 1, 0<т<ла, 0<1<+со, 111) ди з л дли 2 ди) дл '1 дтв 1.
дт 1' ' ди — = Ь~лол + 111 — и), 0 < 1 < +со, д и(т, О) = бллл, О < т < то 455 Ги К Уравнения парабовичеепого птипа где р, положительные корни уравнения ь (5) Указание. Сначала следует найти частное решение уравнения (1), удовлетворяющее неоднородному граничному условию (2). Такое частное решение можно искать в виде От(тл 1) = Отт + о1+ Е(г), где Е(т) — — неизвестная функция. 21. Решением краевой задачи — =а 1 —,+ — — 1т гт <г<гз, 0<1<+ос, (1) ди з(ди 2ди) де )дгг тдт)' ( — — Ьти) = О, ( — + Ьзи) = О, О < 1 < +со, (2) т'= е2 и(г, О) = 1(г), ть < т < гз, является З-оо алт т зтп)Л„(г — тт ) + и„) г (4) и=-1 где 2 ~г)тг) в1п)Л (г — гт) + о„) Й.
А (5) ~ (ь, + — ) (ь, — — ) -ь л,', ~ [ь, з- ь, -ь — — — ] ')(ив — ') тт~ ')(».,— — ') ~тт~ Л„положительные корни уравнения Л-'. — (Ьт-Ь 1 ) (Ьт — 1 ) с1блтт(гз — ть) = 1 1Л л. (ь,-ьь,-ь — — — ~ гт тт/ (б) Л„ и„ = агс15 1 ' ьт -ь— (7) ( я ) — Я 22. а) Л„о — — —, б) процесс будет иметь лавинный характер при любых размерах шара; в) Л„о является наименьшим положительным корнем уравнения 456 Ответы, указания и решения б) Неоднородные среды; сосредосаоненные факторы. 23. Решением краевой задачи ди (д и дои) сгрг — = гсг г + г О < х < хо О < У < ~ь 0<1<+ос, (1) дгс (ди ди) сгРг — пг'( г + г)': хо (х((ы 0(у (сг~ 0 < 1 < +со,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
