Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Решение краевой задачи (11), (12)., (13) ищем в виде суммы ряда и(т, 1) = ~Аье ' " Ль(г), ь.= г и(г, 1) удовлетворяет уравненикг (11) (если ркл сходится достаточно хорошо) и граничным условиям (13), (13'). Потребуем выполнения начальных условий, предположив сначала для общности, что и(г, 0) = = 1(г). Полагая в (22) 1 = О, получим 7"(г) = ~ АьЛь(г); (23) (22) при г =т, Д(гг) = ~АьЛв(гз). Умножим (23) на гЛ„(г) и проинтегрируем по т от г, до гз.
г Еоо ~ту (г)Л (г) е1т = ~ Аь ~гЛь(г)Л,(г) г1г. 1 ь=г (24) (25) Яе(Лвгг) = — Ль — ' Хв(Лег г). (18) р Таково уравнение, из которого находятся собственные значения Лы Лз, Лз,... краевой задачи. Из уравнения (15) и из уравнения, которое получается заменой в (15) Й на и, получим, умножая их соответственно на Л„(г) и на Ль(г), вычитая результаты и интегрируя, Гп. К Уравнения парабопичеепого плипа 483 Умножим (24) на — ' Нп (тл ): 1л тг — '((тч Нчч(тг) = ~ Ая — ' Вь(тг)Нч (тч) 2д " 2р Складывая (25) и (26), получим в силу (21) г г ( г г ту(т)Нчч(т) Йт — — ',((тг)йчч(тч) = Ап 1тйп(т) чЛт — — 'Щ,(тч) 2р (л " 2р (27) Следовательно, (29) где л о(Лччтг) = лча(Лптг)оа(Литч) — оа(Лптг)Г~О(Лпчз).
(32) 58. Решением краевой задачи 1 дги) тг вчвг б дчрг ) ч 1 дои) та в1п д дчрг ) ' т((т)К„(т) Йт — — '((тл)Л„(тл) 21л Ап — "' (28) ч Яг (т) ч1т — — 'Вл (тч) 2р 1 С помощью равенства (16) задачи 34, вронскиана цилиндрических функций и граничного условия (18) получаем 'г Подставляя в числитель (28) ((т) = — Но и используя вронскиан цилиндрических функций, получим для указанного числителя значение Но — г + — ч Хо(Л. тг) — . (30) В силу (29) и (30) равенство (28) принимает вид (~г + —,'13.(Л„,)— 2 ч, (1 тлЛчч 21лг 484 Ответы, указания и решения О < В < .г, (2) 0 < у < 2я, 0 < й < +ос, .(2') (2а) (3) и~го — О, В, ~р, й) = и(,го + О, В, у, 4), И2и„~го — О, В, |р, 4) = Изи„(то + О, В, оэ, 4), и(гыВ,~р, й) = О, и(г, В, оэ, 0) = ~(г, В, гр) является и(г, В, р 1) = ~~" ~ Втар(г)Ра~ '~(соед)е л" »' х а, р=а т=о х рА арсозт~р+ В „р ешти), где собственные значения Л „р и собственные функции Л „р(г) находятся аналогично тому, как зто делалось в задачах 53 и 54.
3 3. Метод интегральных представлений 1. Применение интеграла Фурье. 59. Решением краевой задачи ис = а Ьзи, — со < Я, У, 2 < +ос, 2 О < ~ < +ос, (4) и~, = ~(т, у, 2), -со < т, у, 2 < +ос, д' д' + —, + —, является дуэ дяэ' (2) д где Ьз = да~ и(т,у,я,В)т ~Ц~Ят),~) Х ) Мы не останавливаемся на ограничениях на Е(я, у, я), при которых заведомо существует У(Л, д, р) и имеет место формула обращения (э),. отсылая по этому попаду к специальной литературе. х ехр — ~ ~~, ~) ~ ) в)РВОввв",. (3) 4азв Коли у не зависит от 2, то Указание.
Образом Фурье произвольной~) функции Е(т, у, 2), определенной при — оо < вб у, 2 < +ос, называется Е(Л, д, р) =, 11~0(~, и, ~) ейлеаочт"41 д~авддс. (4) Переход от Е к У по формуле (4) называется преобразованием Фурье с ядром ейле+"ов "41. Переход от образа Г к оригиналу Г осуществля- 485 1'а, 'т'. Уравнения парабоаичесного псина ется по формуле Р(х, у, г) =,, ) )~~Т(Л, д, и) е '(~*тост"' с1Лс1рсЬ.
(5) (2„)зло // Умножая обе части равенств (1) и (2) на ечлбтооо'4~ и интегрируя по 4, г1, ( от — оо до +со, получим обыкновенное дифференциальное уравнение и начальное условие для образа Фурье й решения й краевой задачи (1), (2). Находя й и применяя обратное преобразование Фурье, получим и. В случае, когда 1 не зависит от г, краевая задача (1), (2) превращается в краевуьо задачу иг=а олги, — оо<х,у<+со, 0<1<+со, (1) и)с о = 1(х у) — оо < х, у < +ос, (2') где (5') 60. Решением краевой задачи ис = агслзи+д(х, у, г, 1)., — оо < х, у, г <+ос, .О <1<+ос, (1) и! „=О, — оо<х,у,я<+ос (2) является 1 Г ат о х фехр~ ' У ~ ) ) д(~, г1, ~, т) йбг1в1дб.
(3) 4аг(С вЂ” т) Коли д(х, у, г, 1) не зависит от 1, т.е. д = д(х, у, г), то выражение (3) для решения можно преобразовать к виду где Ф(сг) = — ~е ' Ал, а т = (х — с)г+(у — ц)з+(г — ь)г. Кол/ оаг оаг пхг + пуг' Для решения задачи (1') и (2') нужно применить преобразование Фурье для функции двух переменных Р(Л, д) = 1 ~1Р(~, г1) еллсео Лг1~с1т1 (4') 2и 22 При этом формула обращения имеет вид г'(х, у) = — 11 Р'(Л, 1л) е '( а+ни) ЙЛс11л. 2и 1,/ 486 Ответы, указания и решения ли д(т„у, х, 1) не зависит от х, то (х — С)~ + (у — л1)л -~- ( ехр ы, .)=„'.,лл1"(1з(л,е, ) ~'," ' л)ллл».
— о Указание. При д = д(х, у, х) выражение (3) преобразуется в (4) путем замены т Р= 2аД вЂ” г 6 1. лл(х д, Я, 1) з 1 аль (' лйл )' л'(ь, 6, з) х ,О о (х -Оз+ (у- у)'+ ( — й' 4аз1 — ехр ( ~) (У ") ( () л(л, (1) ~ 4азЛ Если Д(х, у, я) не зависит от у, то и .. о ~"ллу" (, ( о-ле+о-ле( — ехр — ( ~) ',( ~) 1(С, л,) е(~. (2) Указание.
Применить преобразование Фурье с ядром 1 ейзл л лил л зщ рл 2лЛз., зЛз в полупространстве — со < С, л1 < +оо, О < ~ < +ос. Если же 1' не зависит от у, то нужно применить преобразование Фурье с ядром ы — е' ~ зшрл, при — оо < ~ < -ьсо, О < ь < +со. Указание. См. также решение задачи 69 гл. П1, 62. лл(х, у, х, 1) =, х (2а зля)з х /, з Д ехР ~ — ( 8), (' 1) ~ 1'ф 69 т) л)дл(л1. (Ц Если Дх, у, 1) не зависит от у, то ь, о = — '1' " 1',*р(- *, "* ) л(л, )лл. (2) Указание.
Применить преобразование Фурье, предлагаемое в указании к предыдущей задаче. Гв. К Уравнения парабовичееного агапа 6 3.и(х,у,х,е)= /е(С /е/ц //(бг/,б)х ,Ю о (х-Оге-Ь-у)'4-( -6' + 4агс < (. — 6'+ Ь вЂ” у)'+ ( + 6' ) ) 4аг1 У к а з а н и е. Применить преобразование Фурье с ядром 1 «з оо) сов гг~ 2ызхз!г в полупространстве — оо < 6 г1 < +ос, 0 < ~ < +ос. 64.
и(х, у, я, 1) = х 1 (2а /я)з У к аз а н и е. Применить преобразование Фурье, предложенное в указании к предыдущей задаче. 65. и(х, у, я, 1) = / ге/",,/"(, ( в-ее+о-.)'(.-ог), о (х — б) + (у — у) + (г + з) 4аге — гв/ «р( — в ~ о о о ~ ~ ~ (г (Ле, уо)го. 4аг1 о Если / не зависит от у, то 1 и(х,я,1)=, х 4яагс „//ле о(, ( о-о* 6 -о*)„„,( в-о +(+о'( — гв/ *р( — в — ~ ~ ~, ~ )Й (агс.
4аг1 о Указание. Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром 1,(гсз.о,й и сов из + йсйпиз 2пггез!г е ,г гвг 488 Ответы, увязания и решения в полупространстве — оо < с, у < +со, О < г,' < +со. Если у не зависит от у, то нужно воспользоваться преобразованием Фурье с ядром 1 гхс Р сов РЯ -Я гг Яш Р~ — е' гг р2 -я 112 при — оо < с < +со, О < я < +со. См.
также решение задачи 65 гл. 111. 66. и(х, у, 2, 1) = )(+о~а:, ) ° Π— г — о о 2 (х Я)2+ (у 21)2 Я (2+ Г)2 Если 1 не зависит от у, то и(х,х,1)= .,/ 2 /г1С)Г(х+ДД(С,т)х (х — 1) Я- (2 Я- я) ) "- (-— 4ая(Я вЂ” г) Указание. Воспользоваться преобразованием Фурье, предложенным в предыдущей зада ш. г "'(-' ° ')=„.,'. У(, ."1" И ~~ ° ~ )х о о 68.
и(х, у, х, 1) = 12 11 = /,4('~2121 ~(~, бя в,) С,(х, у, я, ~, 21, г,', 1) г1~, 2 = 1, 2, 3, — о о причем в случае а) под интегралом стоит Сг, а в случае б) С2, в случае в) Сз,. где С1(х,у,2,4,181„1)= ехря — 2 ~х ( ( -о') 11ЬО ягхя ( 4аяг Е оо 12 ' г 21й п 1 ) . Йггх . Йп1 . пггу . пня х з ехр — гг а —., + —, 1 ягп — ягп — яш — ягп —, 12 12) Я, о=1 С2(х, у, х, С, 21, г,, 1) = ехря —, ~ х 2 ( (. — С)2 ) 1,12а,г 2 ( 4а'я -~-ео /2 2 2 ~ П вх™Я ППУ ™ПЧ Е-(-" (- -Н""- (, 1; 1, ) ~ Я, и=-О 489 Г и К Уравнения парабоаичеепого плана 1 при А =О, ел= 2 1 при йфО, 1 при и =О, еи— 1 при пфО, где Лл и 1гп -- соответственно положительные корни уравнений Л' — Ьг г аг с181~Л вЂ” и с181г1г— 2ЛЬ 2д1г игл = асс18 —, гдл = атс18 — ", Р 1л --- коэффициент теплообмена.
Указание. Применяя преобразование Фурье по г и(х, у, и, 1) = — I и(х, у, б, 1)е' л е1б лг2п 2 е ,((х, у, Р) = / дх, у, д)е"с е(~,. (2) мы придем к уравнению и начальному условию (4) Замена — 'л-"г— и=с — а 'о(х у о 1) приводит к уравнению В оп лги и начальному условию у~, , = 2"(х, у, о) (4') 2ехр(- ) а (х, у, ~, 6 у, С, 1) = а~/ 1 — в г гыг г „гр е х(ЛлсовЛлб+Ьв1пЛЯ(лгпсов1лпу+Ьв1п1лау)(1гп сов1гд+Ьв1п1гог1) = '- (- 2 ехр — +ж (Лг + 1гг)( ' + лг)е л Р~ л, а=1 х вйп(Льх + лил) в1п(Лес + 1ое) вш(р„у + фп) в1п(д и + фо), 490 Ответы, указания и решения Граничные условия для и будут те же, что и для и. и находим методом разделения переменных, а затем, подставив его выражение в (5), применяем к и обратное преобразование Фурье, при этом после выполнения интегрирования по р получатся выражения, приведенные в ответе.
с1 6 9. и(т, у, е, 1) = / с1з /сЬ1 /г'(с, г1, Д) Сс(т, д, з, с, г1, ~, Е) сгс, о о о г = 1,2, причем граничным условиям а) соответствует функция Сы получающаяся из функции Сс ответа предыдущей задачи заменой множителя ехр — на множитель 4агС ехр — — ехр аналогично в случае б) Сг получается из Сг заменой ехр 4— ~ 1 -О') 4агС ехр — 1,~) + ехр Указание. В случае а) следует применить синус-преобразова- ние Фурье по я, а в случае б) косинус-преобразование по ж Далее задача решается аналогично предыдущей. 70.
и(т, уг, г, 1) = е о г / с1~ /т с1т' /~(т', .уг', ~) С,(т, ср, з, т, ср', ~, 1) дср', г = 1, 2, 3. — о о В случае а) с: = 1, Сс(т, ср, з, т, ср, с, 1) = сов гс ( уг — ср'), 2 при п=О, 1 при пфО, Рво . положительные коРни УРавнениЯ У„(1с) = О. с об В случае б) г = 2, Сг(т, ср, з, т', ср, с,, 1) = Мо,=е Е уг(р ) ~1 —— с. Согг Рв 491 Гв. К Уравнения парабовичеепого плипа 2 при п= О, 1 при тлфО, 1л~~"~ корни уравнения ~11лл) = О, д~~ л > О, 1л~"~ > О при и ~ О. В случае в) г = 3, Сз'1т, лр, г, т, лр ., ~, 1) = ехр ( —, ) В-оо,у„<т л ) У„( л ) л лг 2 при и=О, 1 при п~О, ли~~ 4 — положительные корни уравнения ~ ~1 <р) + 61п<1л) = О. то лол Замечание. В случае б) корню р = О соответствует собственная функция, равная тождественно константе. Указание. Задача решается аналогично задаче 68.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
