Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Т1. иЛт, лр, г, 1) = о =1"~Р '1<"' ' '<":' "' ' о о о В случае а) г = 1, С~ получается из Сл предыдущей задачи з)г 1 заменой множителя ехр —, ~ на множитель 4агл ЕХР г ЕХР г В случае б) л = 2, Сг получается из Сг предыдущей зада~и ь)г ) заменой множителя ехр —,, ~ на множитель 4агл ехр — ~,~) + ехр 72. и<т, лр, г, 1) = "о то / лЦ ~т' л1т' /~<т, лр', ~) Сл<т, лр, г, г', уг', ~, 1) олог', г' = 1, 2. — о о Ответы, унаэания и решения В случае а) г: = 1, асоуго ъ'из . „,--,'=,-„("— ;,')'=,;(";„')..., ео 1гь — положительные корни уравнения Х (1г) = О. (нг ео В случае б) г = 2, и иЗг 9го „~( ( — О') афро огБ . -- — -(",') --("' ") г и ниуг ого ~1 при пфО, Ен ) 2 при п=О, 73.
и~с, уг, .з, 1) = ео Ео = / еК /г'Йс' ~~(т., ~р', ~, 1) С;(с, уг, е, ге, Зг', ~, 1) Жр', г = 1,2. о о о В случае а) г = 1, Сг получается из Сг предыдущей задачи .)г 1 заменой множителя ехр —, ) на множитель 4а'"1 ) ехр — ~, ) — ехр В случае б) г = 2, Сг получается из Сг предыдущей задачи ь)г 1 заменой множителя ехр — ) на множитель 4агс ехр —, ) + ехр рь > О при и ф-О, рь > О, и„— корни уравнения (нг (Ог (нг Уй-(р) =О о <о> Корню 1го соответствует собственная функция, тождественно равная константе. Га. К Уравнения парабоаичеепого поипа 493 го 74. и(т,«р,1) = / ре(р ~Яр, уо') СДт, ор, р, у', 4) йр', г = 1, 2. о о В случае а) г = 1., С,(г, ~р, ро ~р', 1) = «-оо ( Оа — ( е ' ',1 (Лр)( (Лг)Ло(Л о1п — ~ сйп — ~. у'о я то го уоо Ого о В случае б) г = 2, С:(г, р, р,р', 1) = «-оо — ~е " 'о (Лр)Л (Лт)ЛМЛ сое соя «оо г го ео Зов «го п=о й 1 при пфО, е„= 2 1 при п= О.
Если воспользоваться известным соотношением для функций Бес- селя Г г гз е " 3,(от)1„(ут)те1т = — ехр ~ — ) 1„ — Ц 2ггг 4дг " ( 2дг / ' о Ве(гг) > — 1, (Асаф < —, 2' получим Г г г1 е ' 1 (Лр),1 (Лт)ЛВЛ = —, ехр ~ — ) 1 — о Лге 1 Г р+т1 /рг по уго 2агг ( 4агг ) го ( 2агг) о Поэтому Сг и Сг можно представить в виде ( т «р п=г т +р п.=а 1 — при п=О, еп — — 2 1 при и ~ О.
Указание. Частные решения уравнения ди г(ди 1ди 1 ди) — =а —,+ — — + —, де 1 дгг т дт тг доог ) ищем в виде П(т, уг, 1) = %(т, 1)Ф(уг), требуя, чтобы в случае а) и б) выполнялись соответствующие граничные условия. Ответы, указания и решении В случае а) это приводит к частным решениям и„с'т, е) вш сро и = 1,2,3,..., а в случае б) — — к частным решениям ис,(т, 1) сов сро п = 0,1,2,3, ... В обоих случаях и„(т, 1) является решением урав- пения д'и„1 ди,. ( ро) + — —, и„ дта т дт та ди я дс =а 0 < т, 1 < +сю.
(1) в случае б) З-оо ивет, ср, 1) = с и„(т, е) сов (3) сро о=о п7Гср ср) = и~ в ряд по вш — в первом случае и в с=о сро втором, найдем начальные условия для сс„Ст, 1): Разлагая ~(т, пир ряд по сов во усо в случае а) ео иа(т, 0) = уоЯ = — ~~1т, ср') сйп Йр'; Ззо з сро о 14) в случае б) ,о и„(т, 0) = у„ст) = — ~Ят, ср') сов йф. и ф О,. Ч~о,' сро 14с) иврит, 0) = УоЯ = — /УЬт, р') сКвз'.
о Решение уравнения (1) при начальном условии (4) или (4'), огра- ниченное при т — + О, ищем в виде иоУт, 1) = / / [У„(р,с)УЫ,Лр)Л» 1Лт) ЛИЛ рйр, о о используя интеграл Фурье — Бесселя — Ханкеля') г'ст) = / / г'с'р)1 (Лр)з,(Лт)ЛсКЛрсКр, и > — —. о о ') См. С42, с.
459-500). Решение исходной краевой задачи ищем в виде суммы этих частных решений; в случае а) ист, оз, 1) = ~ сссс 1т, с) гйп (2) Ззо а=с 495 75. Решением краевой задачи ди г (дги 1ди 1 дги) — =а 1 + — — + — 2, 0<р<р, дг '1 дтг т дт гг дрог ) ' 0 <г <+ос, 0<1<+оо, (1) и(г 0 1) =О, ' ' "' =О, .0 < г <+ос, .О <1<+ос, (2) др и(т., ор, 0) = 1(т, 1о), 0 < ор < ооо, 0 < т < +оо, (3) является и(г, ~р, 1) = ~Ар' / 1(р, уг')С(р, г, ~р',~о, 1) рд)р, (4) о о где (2п -Ь 1)яяг' .
(2п -Ь 1)хгг х я1п яш 2зго 2зго 76. и(т, ~р, я, 1) = то то — г1~ /г'г(г' /)(г, ф', ~) С(г, ф, г, г', ф', (, 2) гДр', г' = 1,2. — о о В случае а) г, = 1,. где Сг найденов задаче В случае б) г = 2, где Сг найдено в задаче 74. Указание. Если применить преобразование Фурье по я, то задача сводится к задаче 74. 77. Решением краевой задачи го<г<+оо, 0<1<+со, является 21то Р (1 — е " г ')1г(г, Л) бЛ е,/ оог(тоЛ) + гчог(тоЛ) Л о (4) Га.
К Уравнения парабоаичееного егина — гЛ'г — 1е о ~ гу<г„.,гг (Лр)!д..п (Лт)ЛИЛ х гто гтв ехр ( — ) .Сг, 2а зги 74. ехр ( — ) 2а ч'Я и(го, Х) = (7о = сопя1, 0 < 8 < +со, и(т, 0) = О, го < г < +оо, (1) (2) (3) Ответы, указания и решения где К1»«Л) = во1«оЛ)»7о1«Л) — «Уо(«оЛ),Уо(»Л). (б) У к а з а н и е. Воспользоваться интегральным преобразованием Вебера с ядром»К(г, Л) на интервале го <» < +ос, а именно; сначала, применяя это преобразование к уравнению 11), получить уравнение для образа Вебера искомой функции е в(Л, 1) = / ««1», 1) »К(«Л Л) «1»., (6) о а затем, найдя и(Л, 1), применить формулу обращения Вебера Г и1Л«1) ЛК(г«Л) «РЛ и1», 1) = 7« l у,'С,л)+л,'(.Л)' а (7) 2.
Построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла. 78. Указание. Справедливость утверждения проверяется непосредственной подстановкой функции и(х, у, е, 1) = и«(х, 1)пз(у, 1)из(з, 1) в уравнение (1) и начальное условие (2). (2а з«Я)в ) 4ааг указание. Если в задаче 78 положить 7«(х) = б(х), уг(у) = = б(у), Ь(е) = б(я)«то сразу же получится, что функцией влияния мгновенного точечного источника тепла для пространства — оо < < х, у, е < +со является произведение функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — оо < т < +со, — оо < у < < +оо, — со < е < +со.
80. и(х, у, х, 1) = х 1 (2а з/т«) з „)))„,( «.-«««+(.—.««+(.-««*)«««, „«„„,„,, 4аг« к Г(~, «1, ~, ») «76. «1«1 сК. (1) Указание. Формулу 11) можно получить совершенно элементарно, но не строго, используя физический смысл функции влияния, полученный в решении задачи 79, и рассматривая искомую температуру и(х, у, е, 1) как результат сложения действий мгновенных элементарных источников, распределенных в начальный момент с плотностью 7(х, у, е), и непрерывно действующих источников, распределенных с плотностью Е1х, у, х, 1).
Гв. К Уравнения парабовичеепого п(ипа Формула (1) может быть получена также с помощью формулы Грина, аналогично тому, как это было сделано в решении задачи 68 гл. П1. 81. а) Сз (х, у, х, (, 71, (,', 1) = ~екр 4 1 ( ( (х-Оа+(у-Ч)'+( -З)а (2.,У;1) ~ 4аге (х — ) +( — ~) +( + ) 4аге б) Сг(х, у, х, С, )ь (,, 1) = 1 ~ ) (х — с) + (у — п) + (г — ~) (2а итие)в ( 1.
4аге (х — С) -~-(у — 77) -1-(г -(- б) 4аг7 в) Св(х, у, х, С, 7), Г, С) = ( -б)'~(у- )г+( -Ог + (2а иЯ)в 4аое ( — ) +Ь вЂ” ) +( +~) ,в (".-..„,( (к-оз~(.—.)'+(.+( .)') г~ о 82. а) и(х, у, х, 1) = е ( ((( / 7(71 / ((~., 71, (,)Сз (х, у, г, ~, 7/, („1) (з(, + о З-ео + а~~в(т Ц Ф(~, ц, т) Сз(х, у, х, (, )ь О, Х вЂ” т) дС й1 + о + ~7)т / К Ц Р(б,.
у, С, т) Сз(х, у,, ~, 71, С, 1 — т) 7(~ йц; о о б) и(х, у, г, й) = / (К Ц Д~) ц, Д Сг(т„у, х, 6 ц, ~, К) о(4дц— о — а, ) 7(т Ц Ф(б, 71, т) Сг(х, у, х, (, 71, О, 1 — т) 71( й1 + о -(- и + ( е(т / ("ь Цр(ч 77 ь, т) С2(ч 7( ь х у х, 1 — т)7)е 678 32 Б.М, Будка и др. Ответы, указания и рвтаения в) и(х, у, з, 1) = / гЦ О ((», тб») Сз(х, у, г., », ц, », 1)г(» г(ц + о + аз'( г(т Ц Ф(», ц, т) Сз(х, у, з, », ц, О, 1 — г) гг» йц + о + ( гтт / гт» О Р(», 21, », т) Сз(х у з» ц» 1 — т)г)»гттр о о 83.
У к а з а н и е. Воспользоваться методом, предложенным в указании к задаче 79. 84. а) С(х, у, х, », ц, », 1) = Е.,т 4а21 ) ~-- Г ( (2-»+2211) 1 -.(- ', ') -- г ехр (2а ъткт)з <, ( 4азт и =- — оо (х — »)' Ф (у — ц)2 — ехр О(— ~ 2 ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~ » ~ ~ ~ ~ ~ г ехр (2+»-т 2п1)2) 1 ( 4азт ) х 4азт )~у) (2а згткт)2 х — ~ ~ехр —, 1 звз зги 12 п=г б) С(х, у, з, », ц, », 1) = ехр ( ' ", ~ ( (х — ») + (у — ц) -~-оо 4азт ) х ( (2 — »+ 2п1)2 ) (2а зги) 2 ( 4аз1 (х — ») + (у — у) + ехр < ехр (— (» -'г» Ф 2п1) ) 1 4азт х 4аот ) ( (2а гтрк)2 — !) ... " и .—— О в) С(х, у, 2, 6 ц, », 1) = ехр ( ', 2) ц( — — )2 -,'.— г »)2 з ( )2 — ехр ехр ц = Х 4а'1 Ц (2 7 1)2 2 х-т ( (2п+ Ц тгта ) (221+1)тгя (2тт+1)тг» 21 21 ппе Гв.
К Уравнения парабовичеоного изина г) С(х,у,г,4,2),~,1) = 12а ъ'Я) г -~-Ог 222 Е е (Лг+ь )1+2ь х п=1 Ьз)плах)1л„созл 4+ 6зшл„с), х (Л„сов Л„х 2- л2 ьг Л„положительные корни уравнения сся1Л = 2Л6 85. о) Сг (х, д, г, х', д', г', «) = ( ехр 12а игЯ)з ~ (, 1 4агг „ь= — ж 1х -Ь х' -> 2п12) 1у — у' -г 2Иг)г (д -1- у' 4- 2Иг) Я Сг(х,д,,х,д,,1) = ( 12 — г ) ехр —, +во г 4а21 ) т-2 / ) 1х — х'+ 2пй)г ) (2а игЯ)з 2 2 ( ' ( 4агс 1х 4- 2 + 2п1 )г (у — у' + 2И2)г (зу 4- д' -1- 2Иг) г У к а з а н и е. Воспользоваться предложением, сформулированным в задаче 79. 1 86.
а) Сг = х (2аиг г)з ( а — '22222) ( 2 +*' 222) )) (д — у' 4- 2п212)2 (у -Ь д' -Ь 22пВ) (г — г' -Ь 2п1з)г (г 4- г' -Ь 2п1з) б) Сг получается из Сг, если всюду в скобках перед е поставить знак плюс. Указание. См. указание к предыдущей задаче. 500 Ответы, указания и решения 87. а) С(т, ~р, я, т', иг', з', 4) = (г — е) +т +т '5 ехр (2а чтЯ) з 4аЧ вЂ” ехр 4аге б) С(т, ~р, я, т', ~р', г', 2) = "р( ( -'( ( (е — г) +т +т 4агг ( ч ( ( 2тт соз (Зг — уг' — 2й — ) 1 ехр г + (2а игяв)з 4агг -'-( ° ' -') г) + ехр 4агг Указание. Пусть мгновенный источник находится в точке Рв с координатами (гэ, ~р', з') (рис. 47). Строим последовательно: симметричноо отражение Рг точки Рв относительно плоскости 1, затем Рис. 47 симметричное отражение Рг точки Рг относительно плоскости П, затем симметричное отражение Рз точки Рг относительно плоскости 1 и т.
д., помегдая в случае а) в точках с четными номерами мгновенные источники положительной единичной мощности, а в точках с нечетными номерами отрицательной; в случае же б) во всех этих точках помещаются мгновенные источники положительной единичной мощности. Мы имеем ~АОР, = — ег', ~АОРг = уг'+ 2 —, ~АОР = — (зг'+2 — 1, пг т/' КАОР,~ = уг'-Ь4 —, ЕАОРГ = — ~Зг' Ч-4 — 1, т' тп1 ' 501 1"л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
