Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Прежде чем искать решения последнего уравнения, удовлетворяющие условиям 538 Ответы, указания и решения это приведет к уравнению н „и+ 1„в+у(и) 2г Рвов тв /' „(и),~ йв Рза," Ргз (2') где д = Лто При этом условия (1) примут вид (у(0)/ (+ос, у(р) = О. (3') Решения уравнения (2'), удовлетворяющие граничным условиям (3'), ищем в вилс (4') у(и) = 7в(т) — 7вМ. Подстановка (4') в (2') дает — 1о(/4 = — — '"., — ", т( уо(т) — Ув(7г)) г7Х, йв Рза', д'/ (5') где Рвов тв г г гв = и Р,а'; й.' Полагая где р„-- положительные корни трансцендентного уравнения (6), не- трудно установить следующие соотношения ортогональности ) для собственных функций Я (т) рассматриваемой краевой задачи 7г (Ри) + г 7г (1ги) ~ пйн тп: тц /' тВв(т)Рв„,(т1 в1т = ' ( Р' 1 (7) в 0 при т~п. 70.
и(т, 1)— + ~ АиВ„(т) зш '~ ", (1) тв и=1 0 Для этого после выполнения интегрирования в правой части (б) с помощью соотношения (2) (7, с. б38), нужно воспользоваться первым из соотношений (21) (7, с. б37, 638), положив и = 1. )'См. (38). что приводит к следующему уравнению для определения значений 7в, соответствующих собственным значениям Л = — рассматриваемой тв краевой задачи ,7о Ы + яг 7г (р) = О ), 540 Ответы, указания и решения Подставляя (10) в (11), получаем уравнения СЯ.
(й'о) + Р1о(й.е) = 0,1 СУоЯго)+Р1о(Его) =0 ) (12) Мы разыскиваем нетривиальные решония уравнения (8), удовлетворяющие граничным условиям (11), поэтому константы С и Р не должны одновременно обращаться в нуль, следовательно, определитель системы (12) должен быть равным нулю.
Так мы приходим к трансцендентному уравнению 7о()его)1е(йго) — 7о(йго)уе()его) = 0 (13) для определения собственных значений нашей краевой задачи )оы кз, ..., йт ... В качестве собственных функций можно взять Л„(о-) = Л(йнг) = 1о(1а,ге)Уо()аког) — УоЯнго)7оЯаг) (14) Эти функции ортогональны~) на отрезке 0 < г < го с весом г. Пля доказательства этого утверждения заметим, что уравнение (7) можно переписать в виде — — ~г — ~- — (о — )~ ) — к~Л = О. (15) Положим в уравнении (15) Л = Л„(г), к = кн, а затем Л = Л (г) и Й = й,т умножим первое из полученных равенств на гЛ (г), а второе на гЛ„(г), вычтем результаты и проинтегрируем по г от нуля до го,.
') Ортогональность В„и Л может быть доказана и без подробного исследования их поведения при о = О. Возьмем уравнения е1ЬЛ (г) — К„В (г) = О, 7зЬВ (г) — й„',Л ,(г) = О, е1 = Ьм умножим первое на В„,(г), а второе иа Л„(г) и вычтем; мы придем к раЛшеаееЛо — Лое1е1 Л„= (к~ — йо )Л Л .
Проинтегрируем это равенство по кругу К с границей Г, О < г < ге, О < зо < 2я и воспользуемся формулой Грина "-'-"'-.0 =П "".-"."" =1('-"';— К г — Л„"') ав о- / ( " ЬЛ,о — е1Л ) сЬ = О, (17) г так как на окружности Г, г = то, имеет место Л ,(го) = Л (гв) = О, Л' (го) = Л (го) = О. Если 1о,„ ~ к„ (к , й, ) О),то из равенства (й',-й ) ЦЛ Л.аа=о следует равенство 'о '( Л, В о1а = О, т.е. ~гЛ,„(г)Л„(г)йг = О, о о 542 Ответы, уноэония и решения г г ее го в1г!(й е $) — ошш$ огЕг ~~г г~г 74. и(т, 8) = евро ' ~ "е ) ь' [Е (Й то) — Еогрг го))И (г) и=. 75. Решением краевой задачи , =а ~,'+ — — у, г'<т<г**, О<1<+со, и(т', г) =и(г'*, г) =О, 0<Е <+ос, и(т, 0) = Яг), иггг, О) = лагг), т'* < т < т**, является и1т, 1) = ~ ~ЕАосовг',аЛ„1) + Внв1гг(аЛ„ЯН„Я, (4) о=1 где Н~(т) = Ео(тЛо)Но ~(г Лн) Ео(г* Ло)ЕТд (гЛо) Л„- - положительные корни уравнения ,Уо(т*Л)Но ~(г'*Л) — Юо(т*"Л)Но г(т*Л) = О, вВ1Л т ) у'( ..**) —, '( .') У ~~")~"~ )~' (5) (7) и(г,8) = НЯв1погЕ+ ~~ В„ЯЯз1паЛ„Е, (1) ге(г) =, х ог'р У.
( ' ) Н,'" ( ' ) Н,'" ( " ) У. ( " ) — 1, (2) Ег(й„го)Л„(г) " й5.оу,(йв.)Е,'(йо.) где Н„и В имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Гл. У1. Уравнения гиперболичеекого типа Н„( ) = Л,(Л,.)Н,"'(Л„г"*) — У.(Л„г" )НО~(Л„г), (3) л„ положительные корни уравнения ло(Лт*)Но ~(Лг'*) — 3о(Лт**)Но ~(Лт') = О. (5) -~-со и(т, 1) = ~(А„соя аЛ„1+ В„яьпаЛ„1)В.*„(г), п=о Н,*, = Л~(Лпт)Но Р(Л„г*") — Л,',(Лпт'*)Но (Л„т), (2) Л„--. положительные корни уравнения Уо(Лт')Но ~ (Лг") — 3о(Лт**)Но ~ (Лг') = О, (3) / ор(г)К„*(т) йт / тф(т)й*„(т) йт В„= тре*е(г) Йт / Д*г(т),1г А„= -~-оо г а пи ы пкг Т8.
и(г г,1) = ~А„1о г — — —, соя — сояы1+ п=а е~ + ~ В пло (и'" ) сог соЯ1а —и , + а, (1) то то ж, п=а /1(г) соя еЬ, пп ы ( пп и — — 1е то е2 а2 В ае А п и = 1, .2, 3, ..., (2) Ао= ', „, /Х()1: (2') 1ыгуе ( — ) а)о п=1,2,3,..., (3) Вот = —,, ~тля ( — ) 1о ( ) е1г, о (3') р„„тп = О, 1, 2, 3, ..., положительные корни уравнения,уе(р) = О.
544 Ответы, указания и решении 1' -~-т г и(т, я,1) = ~~ А сЬе — ', — —, УО~ — ) сов~Л+ ит ш /пттй а ~тв )) т=е еее ия 2 т - 'пгиг то ) тг и, т=в , /' л ) . ("„'„'"), т2 а2 ' тг О2 в в р„, ш югг сЬ2 — ".' — — сов — Ия,. п = 1, 2,..., тг „г О о Ат— гоев'(Рт) 2А„ Ват г г Авв (, д ш ВО = — — ~ сЬΠ— — — вгя т= ~ / а О 1гт, т = О, 1, 2,..., .-- положительные корни уравнения Уг(д) = О. 80. Потенциал скоростей равен и~т, я, 1) = ~~А„Я„Ясов созигг+ 1п=е -~-ве 2 2 + ~~ В, К* (2) соз — сов 1а Лг + —,, (1) т т=в Ке„Я = КО(Хит*)1О(Хит) — КО(ХОт)1О(Хит*ге иге ю х„=, — —, и,=1,2, ...'),. Уг аг~ (2) ВО(т) = л'о ("' ) уе ( †) — ЮО ( †) 4 ( ), (З) А„= /Дя)соз в12, и = 1, 2, ..., 1В 1т *) О ') Здесь предполагается, что х„ действительное; в противном сдучае Кв и 1о заменятся на Хо и зв.
Замечание. Члене множителем созиМ в равенстве (1) является частным решением уравнения удовлетворяющим неоднородным граничным условиям задачи. 79. Потенциал скоростей равен Гл. У1. Уравнения гинербоаичееного таина .4о =, „„«7 17(г) 7«г7 1 «В)7(т"*) о (4) Н,*„(з) = 1О(Л„7т)НО ~ (Л„,7"") — фЛ т")НО ~(Л,Пт), Л положительные корни уравнения ,1О(Лт*)НОВУ(Лт**) —.«О(Л,„"')НОПУ(Лт') = О, А„ / тЕ,(т)Я(т) бт В 77тв т'* / 7'Я"'7(т) 7«т 81. Потенциал скоростей равен ( -~-сс и(т, я, «) = ~ у А77Н„'(т)сЬя~/Лг — —, сояат«+ П=О -~-сс 7П + ~ ~Ва„,К(т) сов сов«а Ла + ™,и, П, П7=-О Л„*(.) =,1.(Л„.)Н," (Л„'") —,1,'(Л,„.*")Н,"(Л„.), Л„(н = О, 1, 2, ...) положительные корни уравнения ,1,'(Л *)Н," (Л **) —,1,'(Л„т* )Н® (Л *) = О '), / т)(т)К(т) 7« А т Л-„' — в«7 «Лг —, 7Кг(т) 7«т т = 1, 2, 3, ..., 2А ~ ., а7 тлвгг В = — " «ОЬя~/Лг — — соя е«г о,п=,", ~(' и а О а В О = — )' .77 я ~/Л вЂ”.
7« А„ 7 ' п аг о ') Здесь предполагается, что Л„> — для всех и = О, 1, 2, ... а За Б.М, Будак и др. 546 Ответам, указания и решения 82. и(г, р, 1) = где д --. положительные корни уравнения 7„(д) = О, он) /2 при и=О, (1 при пфО, та — — радиус мембраны, (ты уоз) — точка удара. У к аз а н и е. Можно сначала считать., что импульс К равномерно распределяется в момент 1 = 0 по элементарной площадке узо < уо < ( уоз+ аоуо, тг < т ( тг+ вот, т.е.
что начальные условия имеют вид и (т,ез,О)=0, 0<ез<уоа., 0<~ <тв, К на указанной плогцадке, ие(т, .д, 0) = 0 вне указанной площадки, а затем в решении, полученном при этих начальных условиях, перейти к пределу при е)вр — э 0 и Ьт -э О. Можно воспользоваться также импульсными дельта-функциями для формулирования начальных условий, полагая и(т, уо, О) = О, О < уо < уоа, О < т < тв, К ие(т, уз, 0) = — б*(т — тз)б(уо — уоз), Р где дельта-функция б(уо — уоз ) определяется обычным образом, а функ- ция б*(т — т,) определяется равенствами тб*(т — тз)1(т) опт = Д(т1), если тв < тг < та., "о тб'(т — тз)Дт) г1т = О, если тз лежит вне отрезка (т', твн~, "о какова бы ни была непрерывная функция г" (т). Таким образом, .произведение б*(т — тз)б(уо — узз) является обычной дельта-функцией для плоской области; умножая ее на.
элемент площади в полярных координатах т дт е(уо и интегрируя по рассматриваемой области, мы получим 1 или О, смотря по тому, принадлежит точка (ты уо1) этой области или нет з). ') См. также [7, с. 270). Глн У1. Уравнения еиперболичееного типа 83. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи оаи я ) дои 1 г1и 1 ози ( 0 < гр < 2я, 0 < 1 < +со, (1) и„(то, гр, 1) = О, 0 < гр < 2гг, 0 < 1 < +ос,.
(2) и(т, оо, 0) = иот соя оо, ие(т, гр, 0) = О, 0 < т < то, 0 < гр < 2я,. для него получается выражение .~-оо и(т. гр, 1) = ио соя гр ~ А„,1, ( — ) соя —, 1д„т1 ар„1 о=1 где 1гп положительные корни уравнения о'г(1г) = О, а 2„г /то,~г (~"") йт А„= то(д'„— 1)ло(рв) 84. и(т, гр,. 1) = -~-со — —,1г (~ ) / соя(р — огт) яш Р" (1 — т) йт, (1) где 1г„положительные корни уравнения Хг(р) = О,. о о ~з,((т),1г ( — ") йг. 2~т)'(т),1г ( — ") йг о о (2) Замечание. Можно получить решение и в другой форме. Зля этого сначала нужно, не заботясь о начальных условиях, найти частное решение неоднородного уравнения обращающееся в нуль при т = то в виде е1(т, гр, 1) = Л(т) соя(гр — аЛ).
Применяя метод вариации постоянных с использованием вронскиана 2 цилиндрических функций И'(йг(я), Жг(я)) = —, для Л(т) нетрудно получить выражение Гл. У1. Уравнение гиперааличееного типа 8Т. илт, лр, 1) = вшыв ~ ~л ( — ) (Ап сов ир + Вп в1п плр) + чаг п=о 1 Л" Л + ~ ~л'„~ ~— 2) (А„сов плр+ В„О1пплр) вш л'о та и, пл=о 1лл„положительные корни уравнения,1„(1л) = О, г 2 Ао = лыгач ~Р'1лр) л)ва' Ап' = лыгач ~Р'1лр)сов тлаа алов и = 1, 2, 3, ..., Вп = ыта ~~Оллр) влп илреллр, 1 а 2 л 1 л.,( — )л„( )л а Ап, п, т = О, 1л 2, 3, 2ыВ ~тЛ ( — )1 ~ т)дт а Впт п = 1, 2, 3, ..., т=0,1,2, Указание. Сначала целесообразно найти частное решение уравнения дли г ~ д~и 1 ди 1 дли =и + — — + —, два ) дт' т дл л" дрг удовлетворяклщее граничному условию и(та, лр 1) = г'л,лр) вшалй Это частное решение естественно искать в виде 11Лт, лрл 1) = $'(т, лр) вшшй 88.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
