Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 86
Текст из файла (страница 86)
е. при М = — < 1, а 1 М(х — ггпу) 4- (х — ив)з 4- (1 — Мг)(уг 4- е') а(1 — Мг) йг1х, у, е, е) — —, 4иае ие)е .г е1 Мг)гуг .. б) при и > а, т.е, при М = — > 1, а аг1хг У, е, е) = 1 М(х — ив) + 1х — ие)г — 1Мг — Ц1уе Е ег) а1Мг — Ц ,1иаг гх, г)е гМе Цг г 4 г) 1 1+ в Мех 1) 4 гх,, г)г еМг Цгуг 4 г) а1Мг — Ц 4яаг 1х — ив)г — 1Мз — Ц1уг + ег) Замечание. Этим равенством решение определяотся внутри кругового конуса с вершиной в 0', осью которого служит отрицательная полуось х и отрезок 00' 1см.
рис. 56); с1яп = Мз — 1. В этом конусе корень 1х — и1)з — 1Мз — 1)1уз + ез) действителен. Если источник начал действовать в момент времени 1 = О, когда он находился в точке О, то областью, в которой вызванные им возмущения могут быть отличны от нуля, является часть пространства, ограниченная упомянутым конусом и частью сферы радиуса а1 с центром в точке 0 (причем точка 0 лежит внутри этой области, а конус касается сферы).
577 Гл. У1. Уравнения еиперооличееноео типа Рис. 56 В точку «наблюдения» А(х, у, 2) в момент 1 при и > а приходят возмущения, посланные источником из двух положений: Аг и Аг. 1гасстояния АгА и А2А равны М( И) + (х о1)г (Мг 1)( г г г) АгА = гг —— Мг 1 (х о1)2 — (М2 — 1)(уг 4- к2) М' — 1 В точке Аг источник находится в момент 17 — — 1 — —, а в точке Аг а он находился в момент а Если мощность источника постоянна и равна д, то: о а) при и ( а, т. е. М = — ( 1, а 1 аг(х, у, 2, 1)— 4ггаг (х ог)г 4 (1 Мг')(уг 4 ег)' М(х — ое)— 2 — 72— б) при и > а, т.е.
М = — > 1, 1 аг(х, у, 2, 1)— 2ггаг (х — ог)г — (Мг — 1)(дг -Ь ег) Указание. В интеграле, выражающем решение уравнения (1) при начальных условиях (2) — (х е)2 + (гу 71)2 ( г)2 г где [Ф] означает, что в функции Ф аргумент 1 заменен на 1 — —, це- а лесообразно перейти к новым переменным интегрирования о, )г, у: о = С вЂ” [Х), )г = гу — [)г), у = ~ — [Л); 37 Б.М.
Будок и др. 578 Ответы, указания и ренгення 12Я и б) при этом вместо определителя ' ' целесообразно пользоваться 1цо, бг т) Мо А7) определителем Хз(5, у, г,) ' 124. Источник находится в начале движущейся вместе с ним системы координат О'т'у'я', расположенной, как указано на рис. 56, т'=и2 — и, у'=у, я'=ж а) При и < а, т. е. М = — < 1, получается уравнение зллиптичес- а кого типа заменой переменных и' = е, у' = , я = оно преоб- ч Д Мг' Iг Мг разуется в уравнение Пуассона ,' +,, +, = — 4я (, ) д(() д(О) д(~), решением которого является функция влияния сосредоточенного источника ифгг, г,) = ~-*Л +й+~ ' или, в исходных координатах т', у', з', и(х', у',.
з') = 4яаг Ю б) При и > а, т.е. М = — > 1, получается уравнение гиперболи- а ческого типа Ои и — 1'1Ои О 'г,/+ '~М вЂ” Ц~~~)~~У)~~')' Решая его с помощью надлежащей интегральной формулы при начальных условиях ° =о=О, и. ~а=о=О, получим и(х, у, я )— 2яаг 125. Пусть электрон движется вдоль оси з со скоростью и = = сопзФ ), а = — < и < с, где с †. — скорость света в вакууме, ,е с а а = — -. скорость света в рассматриваемом диэлектрике с ди- ,/Е электрической постоянной е.
Скалярный потенциал электромагнит- ') На самом деле эта скорость будет меняться за счет излучения энергии электроном. Подробнее об этом см. ~18]. 579 Гл. Уй Уравнения гиперболического типа ного поля, создаваемого движущимся электроном, равен 2е — )г тггг О при иу — х > 7г, -- — — ) е д'у 4я е дА 4я це) егА — —, = — — 7 ', ег аег (3) причем г) е11яА+ — — = О.
° а~ е де (4) В нашем случае Я') = У~'~ = О 7~'~ = ир = иеа(х)аУу)аух — иб), (5) р = еа(х)б(у)б(г — иу). 15) Подстановка этих значений р и у в уравнения (3) сразу же дает (7) поэтому равенство (4) превращается в равенство = -~- — — = О, аА. ар (8) дя е де что позволяет все компоненты электромагнитного поля, используя (7) и (8), выразить через скалярный потенциал 7г.
г) См. )17, с. 444). 37* при ие — г ( уг. г Здесь е заряд электрона, уг = — — 1, т = гул~ + уг, причем аг предполагается, что в момент 1 = О электрон находился в точке х = = у = х = О. Компоненты векторного потенциала равны А, = А„= О, А, = е — 7г, (2) е причем Н = гое А, 1 дА Е = — 8гае1 ~р — — —. (2') с дг В каждый момент времени О У электромагнитное поле, создаваемое электроном, отлично от нуля лишь в нижнем конусе с вер- х шиной в электроне (рис. 57), а 57 эквипотенциальными внутри конуса поверхностями являются гиперболоиды вращения (иу — х)г— — уггг = сопэц Указание.
Для скалярного и векторного потенциалов имеют место уравнения 580 Ответы, указаиия и рвьиеиия Оь ~ь'ь (-')~ )" — ". 'Я( —."('--:) -~" ('-~)) 1 Ю=— 4яр где (2т — 2)С А -~- 2р з С и (т — 2)р р ' р р' р плотность массы среды, а скорость распространения продольных деформаций, Ь скорость распространения поперечных деформаций. У к аз а н и е. К поверхности малого шара радиуса г с центром в начале координат приложены упругие напряжения. равнодействующая которых должна совпадать с Г(1). Следовательно, при г ь 0 1 напряжения должны иметыюрядок —, (если только г'1ь) и- 0 и являго ется конечной величиной).
Перемещения, производным которых про- 1 порциональны напряжения, должны иметь порядок —. 1 26. Моы ( г гг 7а — ~гсовьо ~Ь вЂ” — ) + — счпш ~1 — — )~ впьд, 1 > —, а ы а а О, 1< —, а — <гвшьа (1 — -) — — совы (1 — -)) соей, 1 > —, 2Мо сов В г 1 < —, го а — ~~ г — —, ) совьа ~1 — — ) + — з1паь ~2 — — ) вшО, а Ев = а Мв1 У т 1 < —.
гв а 127. Пля смещений и, и, ш по осям и, у, з, считая, что сила Г(ь) приложена к началу координат и направлена по оси и, получаем выражение .!ь ~ь, Р)) 1" го — )о.+ —;Ы'('--:)-6'('-~) А'('-~)) гь = ... ~,.";, а1 ')" — ". 'Б( —.' ('--:)- о ('-~)) Глава уП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИ'ЧЕСКОГО ХИПА 25 и + си = — у 2 1. Задачи для уравнения Аи — иви = — у 1. Концентрация газа в точке М(х, у, я), отстоящей на расстоянии г от источника Р = Р(~, г1, ~), равна и = ча о , г = (х — г)з + (у — О)з + (я — г')з где 12 коэффициент диффузии, хз = —, Д постоянная распада.
11 В' и(М, Р) = — + где М вЂ” М(х у, г) Р— Р(с у с') (х — г)з + (у — О)я + (г — г)', ( 0 + (у Ч) + ( 0 1 1(6 6~ 0 Источник помещен в точке Р(О, л, Ч). Указание. Условие газонепроницаемости стенки э = О =О дя:=о показывает, что отражение относительно плоскости должно быть четным. 3. Функция точечного источника для уравнения Ьзи — х и=О на плоскости (и, у) имеет вид С(т, у; 6 г1) = — Ко(за ), 1 2я где Ко -- цилиндрическая функция мнимого аргумента нулевого по- рядка второго рода, 'о — о'-'; о — о' 582 Ответы, указания и регаеиия Физическая интерпретация функции источника — стационарная концентрации, создаваемая в точке л, уг ее источником неустойчивого газа, равномерно распрецеленным на бесконечной прямой, параллельной оси з и пРоходЯщей чеРез точкУ (, г1, зв, мощность источника, отнесенная к единице длины, численно равна Р. 4.
С(х, У; 6 9) = )Ко1гет) + Ка1гетз)], 1 где г7* — ет е Ь вЂ” »т. ° = 'Т вЂ” ег' г и -',- гт: 5. Если источник находится в точке 1(, тй (), то где т„ = (т — 62 + (У вЂ” т1)з + (3 — (и)з, (т — Оз + Ь вЂ” О)з + (е — (' )я („= 2п1 + (г („' = 2п1 — (. Указание. Изображения в плоскостях я = О и з = 1 являются четными и помещены в точках ((, дг („= 2п1 + () и ((, г1, ('„' = 2п1 — (). Сходимость ряда очевидна в силу наличия экспоненциальных множителей е "" и е .". под знаком суммы. 6. Если источник находится в точке 1(, г1), то ~ ~2(„( „)+1(,(;,)), где ти— т и Ои = 2п1+ т1, и„', = 2п1 — г1.
Указание. См, задачу 5. Сходимость раца видна из асимптотической формулы Ко1и) = ~/ е '+ .. 1 \гг 2.гти Ф ~ й ЮМР) — л„т- ~е-С~ 2Р ~' ))Уг„)(а,/Л„+ гев где 1М1л, у); е) — — точка наблюдения, гРЯ у): () точка, в которой находится источник, Ли и Уг„собственные значения и собственные функции плоской задачи г~зУг +Л М, =О в дйг "=О на С, ди Гл. Ъ'11. Уравнения эллиптического клипа Я поперечное сечение трубы, С его граница, и нормаль к С, 1~Ф.!~' = /'4'. д' Указание. Решение краевой задачи ВЬи — )1и = — 1 или внутри Е, Ьи — эс и= —— г 1 и ди — =О на Е, ди где С(т, О, со; р, О', у') функция источника, определяемая формулами оо п С(т,д,уо,р,О',1о')=~ ~ ',„; ' Сп(т,р), (К" '(Р где О, /сочй~р ) ) яш(й(оо при й < О сферические функции, Рп присоединенные функции Лежандра, ОО 2 (и+1с)! ) 2 при й = О, 2п-Ь1 (и — й)Р ) 1 при й у- О,. эс (С' (оса) т1„(эср) — с.
(ир) т1'„(осаЯ ос~) С'„(оса) Ъ (эст) — Яп(эсд) т1' (оса) ) С„(т, р) = при т<р, при т) р, 1и(и) = 'е нив-1/2(я): 'Чп(и) = и пил-1/2(эс). Указание. Решение задачи Ьи — эсги = — 1, и„~„-, = О представить в виде г и(т, О, ф = ~~~С(т, О, со, р, О', р'))(р, О, уг')р с(ртйпО'сИ'сйр~. о ос где Е - .поверхность трубы, следует искать в виде и = ~ ип(я)фп(ЛХ).
п=1 Зная решение этой задачи, нетрудно перейти к предельному случаю точечного источника. 8. Если источник находится в точке (р, 0', со'), то и(т, О, во) = — С(т, О, со; р, О', со'), 584 Отпеетам, указание и решении Полагая ии и зи п и = ~ ~ ииь(т)У~я~(В, ~р), ( = ~ ~ ~пь(т)~У О(В, ф, п=е Ь= — п п=е Ь= — и получаем 1 низ = (т и„з) — (м т + п(п + 1))и„ь = — 1пь(т), и~„ь(а) = О,.
ииз(т) = ~Си(т, р)1иь(р)р г(р, О г. О О О 1Си = О (т ~ р), Си(р — О, р) = Сп(р+ О, р), С'. (р+ О: р) — С~,(р — О, р) = — — „С'. (а, р) = О Оо нт) еяр ( — мт — — (х — ~) ) и(х, у, г) =— 1З 4ят где — ( — с)'+ Ь вЂ” О)'+ ( — 0'. Р и' 10.
Если т = а радиус цилиндра,то и(т) = ио о », з~хг + рг 1О (ха) У к а з а н и е. Требуется найти ограниченное решение уравнения 1зги — хги = О, т ( а при условии и! = ио. и=и(т) =ив КО(хт) КО(ха) зга 1мг(мз) а ОЬхт и = ио— = ио— ъ'т 1з1г(ха) т з1зха' 1з1г(хт) 1аз,з хтсЬмт — ОЬхт соОВ = иа ( — ~ соя В. 1згг(ха) т ха сЬ ха — ОЬ ха ~/а Кзтг(мт) ае и = ио— = 'ио 4~ Кзгг(ха) те Кпг(гзт) 1айг мт+ 1 е сов В = ио (-) — сов В. Кз1г(ха) (зт,/ ха -Ь 1 е- 12. а) б) и=ие— ~/г 13. а) б) и=ие з' ,1т 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
