Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 90
Текст из файла (страница 90)
н и с. Требуется найти решение волнового уравнения О, удовлетворяющее при у = О граничному условию о = О на бесконечности †.. условию излучения 1пп ~/г ( — + вайо) = О (1) Указа г1го+к о = до или — = О, де или l до 1пп 4о( — — вайо) = О (,д. (2) Решением второй краевой задачи будет 1 е™а и(х, у, г) = Ц Ц еЯ, ц) К е1Ч = — Ц У(4, ц) Ж е1ц. У к аз а н и е. Зля построения функции источника С использовать метод зеркальных изображений. 37.
а) С(М, Р) (Н (Иг) Н (йгг )), Гл. Ъ'11. Уравнения оллиптииееиоео типа и имеющее при г о 0 логарифмическую особенность, т. е. представи- мое в виде Оо (йг) + и. о Мы пользуемся условием излучения в форме (1) в связи с выбором временного множителя в форме е' '. 38. Потенциал скоростей точечного источника равен е П = Яо —, 4иг ' где (Ео -- производительность точечного источника. Скорость и = — ягад Г имеет радиальную составляющую ие=(й+ЧК Давление р = 4ксро~'. Полная излучаемая в единицу времени мощность (среднее по времени значение о4ой еро 8о. Безразмерный акустический импсцанс г коро 1 (йч- -) еро 1+ д,„ Если г достаточно велико, то (=1+ — +...
Ь Указание. Для вычисления скорости и и избыточного давления р использовать формулы дб' ие = — —, р = 4йсроП. дг ~ Поток энергии вычисляется как среднее по времени значение произвсдения давления на скорость 1 = — Ве(ри*) = Полная мощность излучения в~ о1оое П = 1' 4кго = 8и 39. Пусть Ро(0, О, — а) -- прямоугольные координаты точечного источника звука, Р,(0, О, а) его зеркальное изображение в плоскости е = О. Потенциал скоростей равен 4 4 614 Ответы, указания и решении прн 1ем где О .— угол между РеМ и РиРы М(х, у, я) -- точка наблюдения. На больших расстояниях от источника (в волновой зоне) имеем г1 = г+ 2асозО, гак что — в 1Х 'еее (1 + — яаь сое в) 4ит Интенсивность излучения 1' = 2Узв ~сов(2аа соз О) + 1]. Полная мощность излучения /а а а, П=2ш'/Ув1~ООО= е е(1+ ) =Па~(1+ ). о где Узв и Пзв интенсивность и полная мощность излучения точеч- ного источника, рассмотренного в задаче 38.
40. В этом случае при х = О будет иметь место граничное условие равенства нулю потенциала скоростей ХХ = О,так что 4яг 4яг! Х)еЛдсре Х яп 2ай'~ ( яп 2ай) 41. Указание. Требуется доказать, что им(Р) = и, (М), где им(Р) . значение в точке Р решения волнового уравнения с источником в точке М, ир(ЛХ) — решение в точке ЛХ, источник в точке Р.
Для доказательства следует использовать формулу Грина. 42. Требуется найти частные решения уравнения Ьзи+ а+Л и=О д~и при условии ди — = О (и потенциал скорости) дп и и условия отсутствия волн, приходящих из бесконечности (условия излучения). Существуют частные решения в вице бегущих волн и„(М, г) = Ан1У„(ЛХ)е'ы' (М = М(х, у)), где э„=,йТ- Л„. Л„и ф„(М) собственные значения и собствснныс функции мембра- 615 Гл. Ъ16 Уравнения эллиптического типа ны, имеющей форму перпендикулярного сечения Я трубы, сзг~п + Лп~п — — О в Я, = О 1С .- граница Я).
дф„ ди с Если Лп, < к~, а Л„,в з > йг, то сУществУет по бегУщих волн. ПРи и > по имеем и = АпугпДМ)е ""~'~, рп = зссЛп — кг - -. затухающие волны. Заметим, что всюду мы будем предполагать собственные функции нормированными к единице. Наибольшая допустимая длина волны, могущей распространяться в трубе, 2п. Атаке = л для круглой трубы радиуса и Лп „, 2,613а. Фазовая скорость с /, Л. Избыточное давление 1э = — 1йсрои. Скорость частиц вдоль оси г равна о: = — 1упи. Поток энергии через поперечное сечение трубы Уп = Мп~ ~~~ф, с1$ .
Ьсро'у = — йсро уп~Ап~ Для трубы круглого сечения радиуса а имеем оо Л„= Л,„= (Р- ), арт и = Л1~ и'Р~ еп = Рт п,=О, п ~ О. Поток энергии згт.п = — ~Ап~ коро где 11т --- коРень УРавнениЯ ~1,(Р) = О. -(п1 Для трубы прямоугольного сечения О ( х ( а,. каи ви " соз — х сов — у 1п, пз = О аЬ а Ь Поток энергии г ~п,п = (Ат,п~ Ьсро 2 О < р < Ь имеем 1, 2, ...). 616 Ответы, указания и решения 43. а) Ся1М, Р, г, 1",) = ~ ~"~ ) "~ ) е 2ве„ а.=а где веа = зГЛа — 1е; Л„и 1рн -- собственные значения и собственные функции первой краевой задачи: еЛгер„ + Л„1р„ = О в поперечном сечении Я, 1в„= О на границе С сечения Я: б) СеМ Р ее) з Ф ~~)ч~(~) — мб~ — (~ 2мы а=О где ве„= у'˄— кг; Л„и у1„собственныс значения и собственные функции второй краевой задачи авгФа+Лафа=О в Я, " =О.
ди с круг радиуса и, то Если Я „Н)) где ) 1 при п=О, ') 2 при п~ О, р корень уравнения в'„(р) = О, а р корень уравнения Е,а *1 -(а) ( 1 1 ) О Указание. Слсдует применить метод разделения переменных к неоднородному уравнению ~1ги + —, + й О = — ве(М, г), дги г дег где у произвольная функция,и представить решение в виде Если искать и(М, г) в виде '~М, г) = ~..Мф.~М), а.=1 то для е (г) мы получаем уравнение ин — ге~ О„Я = — У'„(г), у„= ~~~(Р, г) ф„(Р) 11пр, решая которое, наидем О„= / е "Р ~')„Я И~ Гл.
Ъ'11. Уравнения эллиптического типа или И 44. Функция источника для полубесконечной трубы г > О произвольного сечения Я: а)С(М,Р,г,~)=~ "~ ) и )е "~зЬэс„г; 2м, п=ч со б) С(М, М',, б) = ~ ~'"'М)"" ~М ) .=-С сЬ п=з Здесь фп и у)„ собственные функции первой и второй краевых задач для мембраны Я эсп = ъ/˄— Ьз, эсп =,/˄— йг. Указание. Применить метод отражения к функции Я„(г) = е где сЬ рпг сЬ р, (1 — С) Кп(г, ь) = г сЬр„(1 — е) сЬр„с р вЬр1 при г(Ч, при я>(, где рп = ь'Лп — Ьг, фп(М) и Л„- - собственная функция и собственное значение краевой задачи счлгф +Лифа=О В Я, =О На С, дй, ди где Я поперечное сечение резонатора, С граница Я. Указание.
Рассматривая уравнение (см. задачу 42) для потен- циала скоростей ЬзГ+ — + Ь 11 = — ДМ, г) 2 дээ с граничными условиями Гн ~ = О, 11л ~ ~ ч = О (Х боковая поверхность резонатора) и полагая о"(М, г) = ~ и„(г)ф„(М), так что: а) Яп(г) = е "1~ '~ — е -11+-"1 = 2е "1зЬэспг; б) лп(з) = е "1С "1+ е н"1С~'1 = 2е СсЬнйпз. 45. Функция точечного источника, дающая пространственное распределение для потенциала скоростей, равна С(М, М', з, Д = ~~ вр„(М)в)э„(М')К„(г, Д, 618 Ответы, указания и решении получаем для ггп(я) уравнение о.н — р'.о = — 1" Оя), Его решение имеет вид о„'оО) = о„'(1) = О.
! оп = /К„(я, Д) Г„Я И~, Палее см. задачу 43. 2.Излучение мембран,цилиндров и сфер. 46. Скорость о = оое * ', я > О. давление р = срооое ', я > О. — Ыг Поток энергии (среднее по времени значение) 1е = 0 5 сроооо Удельный акустический импеданс 47. Если на границе я = 0 скорость , = ,1.) = ~ А 1, ( †"- .) го=1 где рт --- корень уравнения 1о(р) = О, то ог(г, я) = ~~~ Ать (~— г) е 4 1о ~ — "" г) е = (я > 0), п=г гппг а — радиус трубы. давление Ев зо("— г)е ""'= (я>О), т=в где агро Вп = — 4т. т Если о(г, 0) = А 1о (~~ г), то при т>1, при т= 1. 0 вгроА /йг рг о где К„(я, о) - соответствуюшая функция Грина для уравнения и 2, о„— рпоп = О.
619 Гл. Ъ'П. Уравиеиин эллиптического типа Средняя скорость поршня 1е = Др') А — 0,428А. р1 Импеданс Р роси рэ 1,г аэ Поток энергии через поперечное сечение ~~рва'А'У,'(р,) 21 йэ — — ' аэ 48. Радиальная скорость Н~ ~(йг) Н, Яа) Давление Н Кг р = зсроио Н~~~ ()са) Импсданс Р Но '1Ю б= — =1 ", ' =1+.. Роси Н~э~(йг) Па больших расстояниях, при йг» 1, .имеем 1 ехр ~ — з (Ь вЂ” — ) ~ +... 1 и р=, в — ех)з( — 1(Ь' — — )) з-...
Поток энергии 1' = О, бри„* = Ь)н,'" 1ы) Р У к а з а н и е. Требуется решить уравнение Лги+а и =0 в области г > а при дополнительных условиях и~„, = оо и /ди 1пп ъгг ~ — +1йи) = 0 (условие излучения). ') дг 620 Ответы, указания и решении 49. Избыточное давление равно р я~ггареисН (Ь") ~и = — ) . (г( о 2к В волновой зоне ехр ( — г ((ег — — ) ~ Р = зУ' Р.ж +..., ,~т -- (-'(""--)) гг„= гещго у(— +..., с вгг ~ = 1. Полная излучаемая энергия на единицу длины цилиндра приближенно равна П = к Регги ие. 3 2 г Указание. Использовать разложение Н, (т) = — +...
при малых т, (гг 2г Н (и) = г( — ехр ( — г ~т — — ) ~ при больших к. 50. Лавление р = А соз~рН, (кг). Радиальная скорость и„= — соз РН (гйг), гА (гу сро Удельный акустический импеданс . Н, (йа) г,"( ) — гсрвис Нд( ( (ка) Коли ка « 1, то 2к и а Рдив згг с 2 к(ак) Й ) Здесь, как и всюду для давления и скорости, множитель е'" опущен. причем Зо « ~ы Полная излучаемая мощность на единицу длины г г П = ) )' геггр = — Рсиг а ис 4с о Реакция воздуха на единицу длины цилиндра в направлении его движения г' = ~ар(а, Зг) соз (а е(р = гка ясрсис ). а Указание.
Учесть, что граничное условие имеет вид и,~ = иосозиг. я=а 621 Гл. 1'Н. Уравнения эллиптического типа 51. Если Д(~р) = — + ~(а созтув+ Ь ешти), где ао = — /Пр) Ьр, о а = — у1 Д(ув) созвирс(р (т = 1, 2, ...), 1 2к,/ о 1 Ь = — ~ ~ (~р) з1п ту с(уг, о то р= ~~ (А„,созт~~р+В,„з1птр)Н~~~(йг), а=о где горо ~т — сп от~ Н (Ьа) — осро Вт =,гу Ь~ Н„, (Ьа) гсро ио Н(" (ьа) 2 ' (т=1,2, ...), Ао ао Но (Ь') 2 Н,"У(Ь ) При у'(Ф = ио и мы получаем (а„, соо т~р + Ь, ош т р) Н1'У (Ьа) ' ао = — а,=Ь„,=О т)0 2 Н,'"(Ьг) Н~ (йа) получаются решения задач 49 Н~ ~(Ьа) т.е, реп|ение задачи 48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
