Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 88
Текст из файла (страница 88)
уравнения эллиптического типа 595 Собственные значения Л „определяются из уравнения [11(Ц)2 + [р(21)2 (11 (21 где (лт и Р„коРни УРавнений (11 (гг1 ( 62)Р ф(р а) = (5~ + й )р(" бр (рси)' — 52йз ' и „(и, у) = [р(~~ совр(1(и+ Ьз гйпр(1(л~ [р(~( совр( (у+ Ьз з(пр(2(у~ х 1 г(.2'Т+" з(ье'г»( (' ди б) Граница р = а мембраны свободна ~ — = О при р = а [ др л,„= (и- ), где р(„1 корень уравнения ~„'(р) = О, ( р„, соз 11(г, ( 1 а ((и „(( =, . [(р~„"() — и ],У„(р(„~) (гп=1,2, ...; п=О, 1,2,,). [ а ((гг -(- Ьг) [(и ) + 51(гг) [2 2[(р( З)г „112) [(„(11)г „52) [ (г (уз+ Ум) [(р ) + (гзЬз) 2 2[(~ (2()г ( 52) [(~ (21)г ( 52) 23.
Начало полярной системы координат (р, (о) поместим в центр круга, радиус круга равен а. а) Мембрана жестко закреплена,. и[ еа = О. ( ) г Собственные значения Л, „= ( ' ), где рт корни уравур пения г'и(р) = О: (иг а ке [~~ ( (п()] е = э[1, гг 2(. О В частности, при и = О (о( и = ии, = 1Е(~ '" р), [(и ((2 = 112КЭ12(р Е(). 596 Ответы, указания и решения гг ди в) Граница мембраны упруго закреплена, 1 — + йп = О, ~д л „=( — "-), где Р— корень номера ш уравнения ггб Р,7,', (Р) + а6,7„(р) = О, „(р,е)=г„(" р)( . ' ( =О.г,г,...; =1,2,...), г ~~и ~~2 ка е„[а262+ ~,г,г~12 — п21,уг~ргбй) 2 Р~;„~ или Ь-,.!Г = " ~1е .. ~ 'Гг,',(е'"')$ (г) Формула (1) удобна при малых 6, формула (2) при больших 6.
Предельный переход в (1) при 6, — г 0 дает выражение для уи,н „'уг задачи б); предельный переход в формуле (2) при 6 — > со дает 8и „'82 для первой краевой задачи а). Указание. Требуется решить краевую задачу на собственные зна гения д 2г дггз 1 дг — — )р — (+ — +Ли=О (р<а), р др ~, др( рг дгрг )и(0, гр)) < со; а) и(а, гр) = 0; б) — (а, гр) = 0; в) — (а, гр) + 6и(а, гр) = О. ди ди др др Решение ищется в виде произведения и(Р, гр) = КР)чп,гр).
Метод вычисления нормы указан в ~7, с. 643). Вывести общую формулу г. (е,) ' = '-,' ~г."Ы+ (1 — — "',*) гГ(е)~ 24. Обозначим аз Ь, с ребра параллелепипеда. а) Если п = 0 при и = О, а; у = О, Ь; г = О, с, то / г г Ьг', [ аг г сг кт, ггь е тгlс 2 аЬс ит,ньв = ЗШ вЂ” тЗШ вЂ” УЗШ вЂ” 2, ~~и а и Ь~~ Нормированные собственные функции )г 8 пт,п,ь — ~/ ипьи,ь ° у аЬс Гл. 1'11.
Урабиеиин эллиптического типа б) Если заданы граничные условия второго рода ил=О при а=Оа, :иу — — О при у=ОЬ; он=О при г=О,с, то / г г Ьгх Ло, „)„. = пг [ —, + —, + —,[ (т, п, й = О, 1, 2,...), [аг Ьг со[ ктп кп кЬ ит а у = сов — асов — усов — я, а Ь с аЬс ( 2, 1 = О, Оот,и,я~[ = стеаею еэ = ~ 1 О 8 ' ~: уу( Нормированные собственные функции 1 ит, и,у — ит,о...й. ![.с.,у[~ в) Нля третьей краевой задачи (иг Ь(и)с=о = О, (ил + Ьги)э=а = О~ (иу — Ьзи)у — о = О~ (иу ( Ьби)у=б = О, (4)- — Ьзи) — о = О, (иг + Ьби) =.с = О имеем Лт.
и,, = [р[Ц1 + [д~'1~ + [д,"~, где р , .р, ру --. корни следующих уравнений: ЬО (г) (з) (И (Ь 1 ) (г) [р(()) — Ь(Ьг [р(~)1 — Ь4144 ся)а с = (З) (Ьб -)- Ьб)р(з) [р( ) ЬЬЬб и,„ь = х ( ) у„(р) гу( ), (*)=(М." е Ри +У б Еойи) (~"')' С(Ь) =(Е. ° иь Ь+ б ' «. г) ( 1 ОО с ОО 1 ( е)* ь) г,(.) =(е, ° .б„*-~бу р, *) (з) (з) . (з) 1 (и"')*+"' [2 'И "')г+ гШ -'")'+ ') ! х — + Ь (ЬЗ + Ь4) [(р ) + ЬЗЬ4) х к з с (Ьб + Ьб) [(и>-,.
) )- ЬбЬб) 2[(р(')) -уЬЯ [(р(з)) 4-Ьг] 598 Ответы, указания и решения 25. Выбираем сферическую систему координат (г, д, ев) с началом в центре сферы радиуса а. Исходное уравнение Ли+Ли = О или а) Первая краевая задача: о = О при г = а, 2 ( ~ +112!11 Лн т = ~ ~'" ) (и = О, 1, 2, ...; т = 1, 2, ... ), а О!-~ 1 121 где д -- корень номера т, уравнения ,у„„д(р) = О! / ! е!гг~ а (2) где У~О(9, р) = Р~О(созд) ) 21пбр при 1( О, ~1 Р~О(х) = (1 — х ) 2 —, Рн(х) -- присоединенная функция, Р~е~ = Р„(х) полипом Лежандра, !ен1Х) ! ве-~-1/2(Х)! ч 2х !е 1„+1!21 т 2 8 тт,,О'= ф.~"'" .) ~~ .„О~<д, И', 1О~ > ~~г 2яе!(и -е Ц! (2п в- Ц(п — 1)! 1~0, 2 до б) Вторая краевая задача: — = О при 1 = а. Формулы (1), (3) .
(7) дг (5) или 1 1 +1!2(! ) Х +1! 1! ) — О 2/х / ! +!дн з (9) 1 и-~-1 !' 21 сохраняют силу: только в атом случае под р следует понимать корень уравнения ф„'(11) = О, Гл. Ъ15 Уравнения эллиптического типа в) Третья краевая задачек до — +Ьо=О при г=а. дг Все формулы задачи 25 а), кроме формул (2) и (8), остак>тся в силе; Ог-гг,г2г р„, теперь означает корень уравнения 1лл(г,'„(1л) + аЬл(г,(1л) = О, или 1 — 2аЬ пл-1/2(гг) 2 ~п- г/2(гг) 21л (10) ка 4 4р п(п+ 1) + аЬ(2 — аЬ) уз (' [п~-л,гг~) 1, „,~„ Р или а) Первая краевая задача: -"=(-,")' ( — ')' 1 дэ д' — — + —,+Ли=О.
р дрэ де о=Оприр=а, 2=0,1, (п=0,1,2,...; т, Й=1,2,...), где 1л " корень номера т уравнения,7п(1л) = О, (п1 кЬ Л р 'г )(созгггр, лг Оп,„я = ЗШ вЂ” 2Яп Р) а ) (81пп1о, до до б) Вторая краевая задача: — = 0 при р = а, — = 0 при 2 = О, 1, др д Лп ь=~ — )+( — ) (п=0,1,2,...:т=1,2,...), Оп Ь = СОЗ вЂ” яо„— Р где р корень номера т уравнения эп(р) = О, (п1 г йоь,ьй = ы, 2 '((лл~ ~) — и ~ э (1л„';~). пт, г ) 2 т и пг 26. Выбираем цилиндрическую систему координат (р, гр, 2), на; правив ось 2 вдоль оси цилиндра и поместив начало координат на нижнем основании цилиндра, а радиус цилиндра, 1 высота цилиндра.
Исходное уравнение краевой задачи на собственные значения имеет вид лало+ Ло = 0 боо Ответы, указания и решении до в) Третья краевая задача: — -~- Ьео = О при р = а, —, — Ьго = О др д» д. при»=О, — +Ьго=О при д» оп,, ь(р, уг, ») = Ув(»),7„~ (рт а ив сов иу» -~- Ьг згп иу» Яь ~») = г, иь ее,;г Е 1г~ (Ьг -и Ь )и 12;и1 = иг — ЬгЬ» ' р з1 р' корень уравнения йпг коРень УРавнениЯ 1»1 (Р) + аЬв1п(Р) = О, 2 [ а ; а=0,1,2,...), где или Л,т„(р) = " ~, ~1„,(р~„"~)Х„(р~,",~Ь) — Л„,(р~"~Ь)Н„(у»~",~р) ~, (2) ,т„1 й'Ь) где р„, корень номера т трансцендентного уравнения (п1 1п (ар) Ье„(ЬР) —,У„(Ьр) М„,(а1») = О, которое можно записать также в следующем виде; в (ар) гзЬ,(ар) 7„(Ь1») У.(Ьр) ' г 1 р а ~ 2Ь» + ~ ОО)г г) уг~ 1п)) 2 р~",~ + (1п + Ьг)(ие + Ь»Ь») 2 21иег + Ьг)(иег+ Ьг) Указание.
Решение ищется в виде произведения о( р ) =1'(р р)~(») После разделения переменных для Ъ (р, уг) получаем задачу 23, а для» (») -" задачу 17. 22. Выбирается полярная система координат (р, уг). а) Первая краевая задача: о = О при р = а и р = Ь, Кп п(р) = 3пО»тд р)гУп(2»е„~а) — ЛпО»„да)ХпО»е„'р), (1) бо1 Гл. Ъ'11. Уравнения эллиптического типа Здесь Яп(х) функция Неймана и-го порядка, 1п1)г г 2е Л'(РП'~а) — 3~(р)"Ь) [ 2, п = О, 1 п Ф О ди б) Вторая краевая задача: — = О при р = а, р = Ь, д,г иш, п(Р, 'Р) = ггт, п(Р)+п(Р): (5) или Я, „(р) = " Р '[У„(р[,",1р)Я„'(РР~Ь) — Я,',(рф1Ь)гн'„(р~„",~р)~~, (5') У.'(Ь Й') где рт — корень номера,т уравнения Сп1 э",,(ар) юг„(ар) .Рьр) Ь;,(Ьр) ' (б) Собственное значение Йи „~! = ке„()Л,„„[! и.[ 1 1~г [ [ Ьг[ ( 1~г( эдг( иОЬ) ( иг[ ( 11г) ) В частности, при п = О имеем или от п(Р) = ~( ) ~У„(Р~„;~Р)5(Ь) — 21(Ь)й~„( ~"ОР)~, (О) п2 2 [~л [~г э1(ир ) э1( р ) <о)1г уг(Ь <о>) ди а.
в) Третья краевая зада га: — — М = О при р = а, — + Ьи = О при ' др ' ар Р=Ь, ит,п(Р Р) гст,п(Р)Фп(~Р)" ) созпгр, Ф„(Р) = ~~1 Л,п п(Р) = Л„(1г'"1Р)6(а) — Ма)Яп(1г~" 1Р), (8) 002 Ответы, указания и решения где ~1лла) = *сдлс~~ а) л > 7н(урт а) Р!",' лзл,Ь) = 7,(Р~,",~Ь) + Ла(1л~"~Ь)л Р!' 6(а) = лУ„'(лз~„ба) — 7л7лл(1л~'"~а), и)."' 6Я = Мл Яул~ лЬ) + ю Мн(рыле~ Ь). Ллл„ (10) Собственные значения опрсдоляются по формуле Л,„, = ~р~„"1] (гл = О, 1, 2, ...; т = 1, 2, ...)л где ллш -.
корень номера т следующего уравнения: лил 6(а)Ь(Ь) — 6(Ь)Ь(а) = О, или 6(Ь) Ь(Ь) ' 1~г = ~~Ф ~~' Ф 1~г = Р ь' ~ лл иг г — — Л" .(а)+ 1 — ...11 Л' .(а) (11) агл„М~] 7 При Ь = 0 имеем 1(а) У,',(ар!".') з ллЬ) У 1лЬрЛаг) и формулы (8) и (11) переходит в формулы (5) и (7). Указание. Полагая и(р, уг) = Л(р) Ф(лр), получим для радиаль- ной функции Л(р) задачу — — + Л вЂ” — ", Л=О, Л(а) = Л(Ь) = 0 в случае а), Л'(а) = Л'(Ь) = 0 в случае б).
Общее решение уравнения имеет вид Лн(р) = А,7н(рр) + ВлУн(рр), лл = ./Л. Используя граничные условия при р = а и р = Ь, получим для Л„(р) выражения, приводимые в ответе. Вычисление нормы проводится обычным методом. Лля '0Л нц~ получается общая формула ООЗ Гл. Ъ'1Ь У1«авиеиин эллиптического типа При вычислении 1г и(д ' р) и Н,'„„(((„, р) при р = а и р = Ь следует воспользоваться выражением дпя определителя Вронского А,(и)Ь(,',(х) — Ь«„(и)У„'( ') = —.
28. Требуется решить краевую задачу 1 д ( дп1 1 дэи — — р — + —, +Ли=О при р<а, О<(г<оэо Р др дд р' дог при граничных условиях: а)и=О при р=а, ~р=О, е«=(во;' до ди б) — =О при р=а, — =О при ((2=0, оэ=~ро, др дф до до в) — +Ьои=О при р=а, — — Ь|и=О при ос=О, др д(э до — + Ьзи = О при 12 = зэо. Ответы: а) первая краевая задача для сектора и,„и(р,вэ)=1 *( '" р)з(п — (в (т,п=1,2,...), пв а Зэо ( ( 2 Л«пп ( ) где д„, (и( корень номера т уравнения д..(р) = О, ев ~~~..~~ ='; ~'=.(8(.О)~; пв б) вторая краевая задача дпя сектора о п(р,оэ) =1. (~ р)соз — оэ (п=0,1,2, ...; т=1,2, ...), пв ', а «(во 2 Л „„= (~— ), д(п( корень номера т уравнения,7' (д) = О, а пв а 2 выражение для,7 ( "* р) см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
