Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 92
Текст из файла (страница 92)
(2тп — Ц1ттт+ Ц ат и" -~-3 3 -~- 1 1з . Зт 5а... (2т — Цз(2тп а- Цз(т -Ь Ц 64. На шар падает плоская волна — тятеато ро = Давление в рассеянной волне р, = ~~ В ~~~т(кт)Р„1соя В), т=-.о где ( — т)а(2т -Ь ЦАтр' (р) ~ттт — ~,г П1ти тп т= 1, А"'(р) В ЗА ро~' '(р) — р4" (1т)р ЛХ~ = — О(ро+ рв)„—, соя Ва еИ, з где М = — и рт масса шара, или 3 24 '~ =,' ОЗО+рв)„.—., созда)11. (Ц Граничное условие при г = а можно записать таким образом: д 1ро+1 )~ = т:озд. (2) Веро дт Перемножая (Ц и (2), исключим ~ и получим граничное условие на поверхности шара 2арт д — (ро + рв) = ро сояд /(ро +рв)т —.аРт1сояд) ятпд с~В, 3 дт т=а о (3) где Р, (соя В) = соя В.
рт плотность шара. Радиальная составляющая скорости Ов = — ~ В ~~~~ (Ь)Рт(сояВ) еро т=о (по поводу значения трт и т,' см, задачу 62). 66 Решение. Уравнение движения центра тяжести шара под действием воздуха имеет вид Гл. Ууб Уравнения эллиптического типа Пользуясь разложением плоской волны по ро = Ае ни '"'В = ~ Атэрт(кг)Рт(соз д), т=е сферическим функциям ( )т(2 +Ц 1 и полагая рв = ~ Вт~~~~(1т) Р (соз д), т=е получим из (3) в силу ортогональности полиномов Лежандра — А =1 В А ф' (Р) при ш у'.
-1. б~ 1(Р) рв = ~ Вт~~„1(Ит) Р (соз В), т=о где ~~о РО= — а, Р=йа., с а 4. 'Установившиеся электромагнитные колебания 1. 'Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные формулы Грина-Остроградского. 66. Уравнения Максвелла 1 дР гоСН = — —, с дс' 1 дЮ госК = — —— с де в непроводящей среде без источников е(1яВ=О, В=РН, (1) с(1о Р = О, Ю т сЖ При резонансе, т. е.
при Р = но, Вз = — Аз ~,,'(~) . ь'1 ~(Р) Если на шар падает плоская волна, то Аз = — 3~,'. Если же нет внешнего поля, то мы получаем характеристическое уравнение РО~~ (р) = Рз 1 — э Рзз (Р) из которого определяется частота ео «свободных» колебаний шара, вызванных вне|пней средой. Указание. См, предыдущую задачу. 634 Ответы, указания и решении в криволинейных ортогональных координатах имензт вид е дЕ1 д д — 11262 д = д ЬЗНз — д 2 2, с дз дхг ' дхз дн, д д — — ЬгЬз — = — ЬзЕз — — Ь2Е2, дз дх, дхз е дЕг д д — ЬзЬ1 =, Ь1Н1 — ЬзНз, с ' дг дхз Х1 и дН.
д д — — Ь21ц = . Ь1Е1 — ЬзЕз, с хз дх1 дЕз д д — Ь1Ь2 — = — Ь2Н2 — — Ь1 Н1, с дз да с дхг и дНз д д Ь1Ь2 — Ь2Е2 Ь1Е1~ с дс дхс дх2 д д д Ь2ЬЗН1 + 113Ь1Н2 + Ь1Ь2НЗ дх1 дхг дх. д д д — Ь2ЬзЕ1 + — ЬзЬ,Е, + — Ь1Ь2Ез = 0 дхс дх2 дхз сас 2 Ьгд г + Ьгг г + Ь,1 г) (2) Если зависимость полей от времени дается множителем е ™, то в этих уравнениях надо произвести замену, пользуясь соотношениями 1 дЕ 1 дН 1' Ш 1ЬоЕт, — — = — '1ЬоНт ~ Ьо = —, п1 = 1, 2, 3) . (3) с дг ' с дз 1 с' В сфеРической системе кооРдинат х1 — — г, хг = д, хз — — 1Р и Ь1 = 1, Ьг = г, Ьз = ггйпд.
В цилиндрической системе координат хз=р, хг =уз, хз=2 и Ь1=1, Ьг=с, Ьз=1 21А+Ь А= — — щ, 4х с г 4х са1Р + К. 1Р = — — Р, е Ьг причем р = — йнА, (2) Е РШ1 т.е. скалярный потенциал может быть исключен (,у --- вектор плотности тока). Выражение для ЬА в произвольной ортогональной криволинейной системе координат имеет вид ЬА = — гоС гоФА+ Игас1 с)1гуА, Указание. Использовать выражения для огсераторов йн и гоо в криволинейной системе координат 1см. Дополнение). 67.
Если зависимость от времени дается множителем е' '~1, то для векторного потенциала и скалярного потенциала можно написать уравнения 635 Гл. Ъ18 Уравнения эллиптического типа где д Г'гг Г д д д-, 1гзйг Гдхз дх! д пз гд д дхг Ьгйг дхг дхг 1 д йг Г д д + ~ — — ~ — ГГйгАГ) — — ГГ"зАз)~— й,й,~дх, й,й,!д з дхг д йг Гд д — ~ — (з А ) — (ЬА )) )Ь, дхг йгйз дхг дхз 68. В однородной проводящей среде уравнения Максвелла имеют вид ) =О, р=о, дотов гое Н = — аЕ + — —, Г1гн Е = О, 42Г е дЕ е е дз' го1Е = —— р дН Г11чН = О.
е дз Полагая 1 дА Е = -ягае1Гр — —— с дз Н = — гозА, 1 и получаем для А и сг уравнения ер дгЗг 4кар др сг дгг сг дз ' ер д А 4гпгр дА е' дзг с' дг ' причем А и уг связаны условием Лоренца ер двг 42ГГГр с дз е Если зависимость от времени типа е '""', то д + кг О кг ер 2 + . 42ГРГГм ег сг (2) (3) (4) (о) (3') ') См. )17, с.
420). 1 дй. 1 дР. 1 дй. 8гае1 гР = — гг + — 22+ — гз,. Ггг дхг Ьг дхг Ьз дхз 4' = Г11чА = „„~ ГГГГГ262Аг) + (йгГГГзА2) + (6262Аз)~, 1 Г д д д йг Ггг Ггз дхг дхг дхз где гг, ггГ гз --. единичные направляющие векторы координатной системы, Аг, Аг, Аз компоненты вектора А. 636 Ответы, указания и решения ,ЬА+ А~А = О, 14') сз =,, с11иА, (5') т. е. при а у': О волновое число к всегда комплексно. 69. Если в вакууме Са = О, е = 1, д = 1) нет токов и свободных 1 дП зарядов, то, полагая А = — —, сз = — 61у П., получаем е де' 1 дП . 1дП Н = — гоС вЂ”, Е = игаса с11иП вЂ” —, дг дд поляризационный потенциал П удовлетворяет уравнению 1 дгп 12) Для временной зависимости типа е нм имеем Н = — гкгоСП, Е = ягас1 с11нП+ йгП, и сзП+ кгП = О.
12') Магнитный вектор Герца П' вводится так: 1 дгП' Н = йгас1 с11нП' — — —, е' дгг ' 1 дП' Е' = — — гоС вЂ”, е де причем Е = гоС гоС П, Н' = гоС гоС П'. В проводящей среде для установившихся полей 1 е ™) П и П' формально вводятся так же, как и для вакуума; однако в этом случае под к~ надо понимать величину кг есс г . 4иал + г сг с 70. В сферической системе координат имеем: а) для поля электрического типа 1Не = О) дбе г 1 джесс Е + ьггг Ев дгг г дгдд' 1 дгН г вспй дедсз' Н, = — ' —, дй ' — йе дСГ Нв = .' Уд Ьпс 1 дп (4) Для временной зависимости типа е им имеем Н' = ягас1 61уП'+к~П', Е' =гкгоСП', (2') саП' + кгП' = О.
14') Используя уравнения 12') и (4') для П и П', можно формулы для Е и Н' переписать иначе; Гл. Зт10 уравиеиин эллиптического таила б) для поля магнитного типа (Ет = 0) Е,'=О, Ег Ег тз1по дог ' о т до ' дгГ 1 дгГ 1 дгГ дтг ' в т дедд' "' тч1п0 дтд причем потенциалы Н и Г удовлетворяют уравненинз дг11 1 д / дг1; 1 дг11 дтг тояпо до 'з дО 3 то в1ггго догг ЬН+ кгН вЂ” — — = О, т д» а функции и = Нт, и' = Гт удовлетворяют волновому уравнению сзи+ йги = О. В цилиндрической системе координат (х, 1о, р): а) для поля электрического типа 1Нз = 0) доН г 1 дэба дгН дз' ' " р догдз' о дрдз' Н, =О, Н„= — ей —, Н„= — —; дН гк дН др' " р др' б) для поля магнитного типа (Ез = 0) имеем Е,'=Ог — Ы дН др' " р дог' Н~ до +ьгГ Нг 1 дГ Нг дГ дз' ' ""' р дэгде' о дрдз' причем Н и Г удовлетворяют уравнению (2) или (4) (6) дгН 1 д / дН'З 1 дгН +- — ) р — )+ — +йгН=О, дгг р др гз др) рг дзгг (6) или Ьсг'+ к~Н = О.
Отсюда получаем Н = П„Г = П',. В сферическом случае НфП„и ГфП„'. У к а з а н и е. Для доказательства основного утверждения задачи надо подставить выражения для составляющих полей через Н (или Г) в уравнения Максвелла, расписанные в ортогональной криволинейной системе координат (см. задачу 66), и потребовать их выполнения; из этого требования следует уравнение для Н (или Г). ~гН+дН Е 1 дгс' +гшр 1 дГ дхгг ' Ьг дхгдхг с Гз дхз' 1 дои иор 1 дГ Ез аз дхг дхз с йг дхг ' 639 Гл. сс11. Уравнения эллиптического топо [И'го11У) п = [гос Г, п) И', [1У го1 И') п = [Црас1|р, аЦ = (Аа)(ргас1ср, п) — (А, рас1се)(ап).
В силу формулы Остроградского / с11г[(а р ас1 ср) Г[ с1г = / ((Уп) (ягас1 ср, а) с1ш (2) Под знаком поверхностного интеграла в формуле (1) стоит выражение г'а, где Е = ~У(ягас1 ср, и) — (ЕУ ягас1 ср) п — [гог ЕУ, п) ср + (Гп) кгас1 ср = = (Оп) бгас1оэ+ [йгас1ср[сУа~]+ [пго10~)ср. (3) Подынтегральное выражение, стоящее в левой части, имеет вид Фа, где йтас1 ср[ = (- — 1к), 1 ~ 1 ср[ и — п, ср[ ~в еэ е Поэтому Уг[ = (- — сй) ~ср(е) ((~Уп) п+ [и[1Уп))) — [го17Уи) у(е) 1 еу и, следовательно, 11пс (Угс1п = 4кб(Мо). е-ве э Поскольку 1гш ( Ф с1г = О, то мы получаем в пределе е — се э' 0(Мо) = — [ Фс1т — — [ Рс)п 1 г 1 4к У или ЕУ(Мо) = — /((гогго1ЕУ вЂ” кэЩоэ+ рас1<рбЫ1У) с1гм— — — ~ ((Бп) ягас(се + [[пТУ) ягас1 ср) + [и го1 О) ср) Йгм. (5) 1 Ф = (го$ го1 1У вЂ” йг П) ср + ягас( ср с(1г ~У. Вектор а является, таким образом, общим множителем для всех членов формулы (1), и так как он произволен, то на него можно сократить; в результате мы получаем формулу /Фс(г = /Х'Йт, (4) з в если точка Мо не принадлежит области Т.
Если же точка Мо находится внутри Т, то мы опишем вокруг этой точки небольшую сферу Ев радиусом е и применим формулу (4) к области Т вЂ” Т,, ограниченной поверхностями Х и Хе. Оценим величину Р на Ев. Заметим, что 640 Ответы, указания и решении где 2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах. 76. Направим ось 2 цилиндрической системы координат р, у2, 2 вдоль оси цилиндра. Пусть е, ус, о параметры окружающей среды. Существуют волны вида Е = Еое аеас се з~'~ [а > О), Нос — са -с-с се — д) ~ [12 > 0) т. е.
волны затухающие. Здесь приняты обозначения 75. Е[Мо1 = — ус Се — й сРУ + кгас1сес11У У) с1т— 2 т 1 г — — [ )сйоус[пН) уз + [[пЕ) ягас1 уе) + (пЕ) ягас1 уз) сЬ, 4./ Н[Мо) = — / [у кексу ср) ест+ 1 т 1 г . + — / ) ейое [пЕ) — [[пН) 5гас) уз) — [пН) йгас) уз) сЬ, 4./ Ю р= ~, й= —,~ел, йо=-. г е е Указание. В общей формуле (5) в ответе 74 положить соот- ветственно 1У = Е и Н = Н. Во втором случае справа появляется слагаемое / [тсу)уз сУа, которое следует преобразовать к объемному ин- тегралу с помощью формулы / [пЯ узсуа = /1 — [у 5гас1 са) + узгосу) сСг.
[1) и т Лля ее доказательства надо умножить обе части на произвольный вектор а и использовать соотношения [пЯауз = п[уа) уз, с11у[у, а уз) = а узгоС у — [у гоС пуз) = а1узгоСу — [у йгас1~р)),. так что / а[пЯ у2 суп — / с1су[у, ау2) сут = а / )Сегосу — [у 5гас1 у2)) суг. г т 7' Отсюда в силу произвольности а и следует (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
