Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 95
Текст из файла (страница 95)
О Лля потенциала и = — имеем: т внутри земли (т < а) ил = ~ Апфп(йт) Р„(сов о); Гл. Ъ 1й Уравнения эллиптического типа вне земли (т > а) год из =)3 — + ~ В„~О~(Мог) Рп(сов д) = 1Ьой п=е фа„+ В„) ~~, ~ (Ьо г) Р„(соз д) п=о 1Я) ф (Ког) + В ~~~~ (Ьог) Р (соя д) (г > г'), (г < г'); п=о где (Йоа)йп(йоа) — ф~(йоа) Я( (Ьоа) Йо и , РЬп йо — (яа)Ф„,(йа) — Яй'(Ка) й (йа) чз (Ьа)рп(йоа) — — о ~ (Ьоа) Ф (Ьа) кг еы — о ~~ ~(Ьоа)Ф (Иа) — Я~О(Ьоа)~ф„(йа) 14 = 1~ ап = (2п 4-1)Ьп()сот'), Ьп = (2п+1)Я~(йог'), )3 = 21ро1со а+Ь Если земля идеально проводящая, то Ап = О, Вп = — "( " ) ~ЗЬ„.
г2'(Ьоа) В результате иг = ио — ~ ~ДЬп " " " о Р (саед). гп'(Ьо ) из =О вне земли (г > а) 2Ро ~ (2п, + Ц Ч (Ьог) Р (СОЗ д) Здесь Сп обозначает выражение 1'о т ("а) ОО Сп: ~ г Ь (й ) го (Ьоа)' Указание. Необходимо в решении предыдущей задачи совершить предельный переход при 6 — ~ О. В процессе вычислений исполь- 42 Б.М. Будок в др. См. задачу 91. 93.
Вертикалонан электрическая антенна на сферической эелвле. Антенна помещена в точке г' = а, д = О на поверхности земли. Внутри земли (г < а) 2ройо ~~, ° (2п-~-1)ч (Ьоа) ,йп(Ь.)( '.П(Ь")-С-) " Ответы, указания и решения зовать выражение для вронскиана ~.(.К!" (ж) — б.'(.)ф. (*) = .— *,. Предельный переход при 6 -о О дает 1пп(а„~З+ В„) = —, к — го " " аг Π— у21~~оа) 4. Антенна на плоской земле. д'П дрдг' Е, =О., Н Н О Н ' й дп ог др ЬП+ 1егП = О, На поверхности земли при я = О кгП кгП дПо дП о где 2 г йг еш соответствует я > О (атмосфера), П, -ь $4каш соответствует г < О (земля) 0 =1). П, ег Момент диполЯ Р = Рое '"', Ро = 1; множитель е " 'г всюдУ опУщен.
95. Электромагнитное поле выражается через магнитный вектор Герца, у которого отлична от нуля лишь составляющая вдоль оси антенны Пг = П, поэтому Е- = О. В силу аксиальной симметрии Е„=О, Е, =г' — —, .ог дП др Н= —, Н,=О, дгП дрдг' Потенциал П удовлетворяет уравнению Н, = кгП+ —. дгП дг' ' г 1еог = —,, еш' -ь г4каш ЛП+ к~П = О, где к~ = при г >О, при г <О, и условиям сопряжения на поверхности земли дПо дП По =П, = — при я=О, дг дг 94.
Вводится электрический вектор Герца П, направленный вдоль антенны. В цилиндрической системе координат р, р, е имеем П =П, =О, Пе=П. Поскольку задача обладает аксиальной симметрией, Гл. УИ. Уравнении эллиптического типа причем в„а ~0 + Повтор» Л вп — + Петар В где Гг = 4гз+ 22. Первые члены в наших выражениях означают потенциал Герца дня дипопя в неограниченной среде с соответству- ющим волновым числом (й ипи йо), ПО, ор и П, ор — вторичное излучение. 96. ВвЕдЕм СиСтЕму кООрдинат Х, 9, Х,направив Оеь 2 пЕрпвнди- кулярно к поверхности земли, а ось х -- вдоль антенны, К = ягас1 гпнП+к~П, Н = — — гогП, П = (Пт, О, П,), где П и П- удовлетворяют волновому уравнению »сйэ дП, »ОИ' (дП дП, )»сйэ дП м дд ы '» де дх / о» ду Граничные условия при 2 = О (на поверхности земли) » 2П осз дПо* о».2 дП О О» = -.
О ~2П ~2П дПО» + дПО» дП + дП» дх дх дх дх Обычно вместо П» вводится функция г': П дс' П 0» — д; » — »2 д Первое и последнее граничные условия дают: + д Р в П + й о Π—; От д — т 97. Пусть рамка с током помещена в плоскости и, 2, так что нор- маль к рамке направлена вдоль оси у. Векторы поля выражаются че- рез магнитный вектор Герца Е = 2 — го4 П, Н = к~П + игам йр П, с у вектора П отличны от нуля составляющие Пр и П», так что »о» ~ГОП, дПв )»ло дП» . О» дПв Н 12П д дпв дп= '+д ~д„+ д ( 42* ббО Отвеигы, уиаваиих и уеиаеиия Граничные условия при х = 0 ТОПОР вв А~ПО, ОПОР дПР дПОР дПО дПР дП "+ '= "+ дх дх ' ду дх ду дх Если положить ду ' ду' то вместо первого и четвертого условий получается дРо дК к=К П + — =П+ —. дх " дх 98. Помещаем в антенну начало координат. Тогда над землей е'Ро По =,, — + /Хо(Л)ЛО(Лт)е 22тгг "о ойЛ (х > 0), о в земле 2вг е РЯ П =,, +/~(Л)У~(Л~)е~ ~ ~ 'иЛ (~ < 0), "о о где 2101 Л ътЛ вЂ” йг — ЪРЛ вЂ” й "о+й' ЬРЛ2 — йог йг 2Л2 — йог+йог 'Лг — йг' 2оо йг Л т,2ЛΠ— Ц вЂ” Л вЂ” йг ,Д2 ьг О2 Дг 92 й2 2Л2 вг~ Д = Р/тг + 22.
Решение. Вводим согласно задаче 94 электрический вектор Герца П = (О, О, П- = П), причем 29 сомо 2яог е* О Я По= й, йг й +По, „р, П= йг йг л +П„„,. о+ о+ Воспользуемся интегральным разложением первичного потенциала уя е тг РО~Ло2Л е— ', =/;,~;)",, „', о и будем искать вторичное возбуждение в виде Повтор — /'Уо(Л) Ло(Лт)е Зотгг ьо 222Л (х > 0), о Потер — /У(Л) во(Лт)е~~" "о' о2Л (х < О). о По„,р и П, р, представленные этими интегралами, удовлетво- ряют уравнениям 2 ,2 РРПовтор р ООПовтор = 01 гтПвтор р й Пвтор = О Гл. Ъ'11. Уравнения эллиптического типо Требуя выполнения граничных условий 1»оПо = й П, = — при дПа дП д» д» »=О, получаем )лов(~~~ '+ср)еды=1" ("'„,с+до~эр)ы о а и ~~Ро~о(Л) + 1з)(Л)) эа(Лг) с1Л = О (Р = У'Лз — Р), а где рз = Лз — кз, 1»га = Ло — йз.
Отсюда и находим Иаэй» Л ра - и йо + й' ра йода + йар 21са~йг Л да — д "а + 1с» Р я'на + 1еа и Частные случаи: 1) Й = со, земля идеально проводящая, 1(Л) = О., 1.(Л) = — 'Л, Ра л,п По = 2 / 1о(Лг)е Р'~=~ = 2 ' ра и о П = О (в земле). Первичное возбуждение антенны отражается от поверхности земли; 2) й = 1»а, антенна в однородной среде (в воздухе). В этом случае ,Уа(Л) = О, У(Л) = О, е аап П = — во всем пространстве. Л 99. Магнитный вектор Герца П = (О, О, П) определяется следующим образом: над землей оая По = + )1 1ло(Л) эо(Лг) е "'=ИЛ (» > О), а в земле По = — + /ДЛ) эо(Лг) е"» НЛ (» ( О), й а где (а(Л) = — ' "' да да+ Р 1ео = )1(Лз — коз ((Л) л л-д и и+до и= хгЛ»-Р. Ответы, указания и решении Выражения для Пв и П можно записать иначе: П =~ ' )е'"'еЛе(Л при з>О,. т 23в(Лт\ и+ рв в П=~ ' 'ел'ЛдЛ при я<0.
г 2Ув(Лт) и+ ле в В случае идеально проводяшей земли к = оо, р = оо и П = = Пе = О. Пействие магнитной антенны компенсируется вихревыми токами, возникающими в земле. Указание. См. задачи 95 и 98. 100. Если антенна направлена вдоль оси х, то в соответствии с задачей 96 вектор Герца П = (П„ О, П.), где Пв,=~, е "' Лс~Л при е>0, Г 23в(Лт) яее Пя = — в /, е"'ЛИЛ пРи х < О, йо "23в(Лт) р в Р Пв =2(й~ — Ле)созЗз/ ) е РееЛ'т(Л, в П- = — (Й вЂ” й )соева ' ' е"~Л дЛ вЂ” О / ~уде, о я>0, я<0, о де де ка Отсюда видно, что функции Пв, и —, П, совпадают с выражениями "в для Пв и П в решении предыдущей задачи 99. др Пля функции Пе = — имеем дх дтв т'в дт Рв — — Е, Пе,+ =П + —" — при я=О. де тез дя Полагая Ро = /,(о(Л) ув(Лт) е ""= сХЛ (з > 0), в Р = /2"(Л),7о(Лт) е"= сХЛ (х < О) в где ,Лт' = Р + Ро, ,У = Лало + ИеР, д = ъ'Л~ — кл, Ро = Л/Лз — Аз, Указание.
Функция П, определяется уравнением еЛи+ Й и = 0 и граничными условиями Гл. Ъ'11. Уравнения эллиптического типа и пользуясь уже найденными выражениями для По и П,„получаем Ь(Л) = У(Л) = '("'„-", )'. Функция П, вычисляется по формуле дро дро Ц др По = — = сазов —, П- = — о соз~р —. дх дг. ' кг дг' 101. Используем все обозначения задачи 97. В этом случае поля .Е и Н выражаются через магнитныйвектор Герца П = (О, Пр, П ), где По„= ( — Ю~(Лг)е ""Лс1Л при г > О, Г 2яо о Пр — — / — ~,го(Лг)е"еЛг1Л пРи г < О, о По = 2(й~ — Ло~) згпог / о е Р" Л е1Л при г > О, о Пе = 2(кз — ко~) згпос~ о еплЛ дЛ пРи г < О. о Значения гЛси Х' даны в ответе к задаче 100.
102. Поляризационный потенциал П = (О, О, П, = П) определяет компоненты электромагнитного поля с помощью формул К = вегас(е)гоП+ й П, Н = — г'кго'еИ. Пля потенциала Пг при я>а, П= Пг при 0 < г < а получаем Пг — Пз перв + Пг втор Пг — Пг перв + Пг втор ~ где Пг = /эо(Лг) е Рг о Пг„,„— — /~г(Л)эо(Лг) е Рг~е~" о Пгпе1гв = /элг(Л)ого(Лг) еа~~ о П,..., = ~у,(Л)Л,(Л ).;"'в"' Л"Л, рг — = Л~Лг — й' Используя граничные условия дп, дп, йгПг = йгПз, — = — при г = а, дг дг Ответы, указания и решения ап, а также — = О при я = О, находим аг г г Ьгрг И)р 1'Ъ Ига йгпг г'- йггдг 1Ь Рва, Л~л) =Ь(л) = р~йг1зЬрги+ ргЦ с1г лги 103.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
