Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Тороидальные координаты. Система тороидальных координат 1а, /З, Зг) определяется при помощи формул сзЬосояго сяЬоя1пгг сяпд Х=, Д= сЬо — соя 11 сЬо — соз1З сЬо — соя,З ' где с — масштабный множитель, .О ( а < со, — я < 1З ( я, .— я < < 1о ( Я. Координатные поверхности суть торы а = сопя1 2 ер — сс1Ьо)г+гг ( с ) 1р /гг+рг) сферы /З = сопя1 1г — сс181З) + р плоскости ~р = сопяй 43 Б.М. пудики др. Дополнение Квадрат линейного элемента в тороидальной системе координат имеет вид 2 »Ф» + »сЬ а — сов53)2 метрические коэффициенты равны 6.=6,= ', 6,.= сйа — сов33' и сЬа — совд' и оператор Лапласа дается следующим выражением; д ( вЬа доз) д ( вЬа дв») да» ей а — совд да/ дд» сЬа — сов,3 д53/ 1 д и + 1с1 — сов33) в др ' Удобно вводить вместо и новую функцию о с помощью соотношения =~/21 — 2 »- при этом уравнение»зи = О приводится к уравнению 1 1 Паа+ОЗД+Псе»ЬС1+ 4Е+ 2 ОИФ вьв * 9.
Биполярные координаты. а) Биподярные координаты на плоскости. Переменные д1=а, т2=53, из=в называются биподярными координатами, если имеют место равенства овЬа овш53 и = Я = сЬ а — сов д сЬа — сов;3 Метрические коэффициенты равны 61 — 62 — 63 — 1. сЬ а — сов,З ' б) Бисферические координаты т»=а, яг=)3, из=32 определяются при помо»ци формул свй» а сов 3» св1п а вш 35 свЬ53 Х сЬд — сова' сЬд — сова' сйд — сова' где с — — постоянный множитель, О < а < 33, — со < /3 < оо, — и < < 3» < 11. Эти формулы можно представить в компактной форме з + вр = с» ссй, ' (р» = »/тз + 92). а -ь »д 2 Координатные поверхности суть: веретенообразные поверхности вращения а = сопвФ 2 1р — сссба) +г = ( — ) 675 Яово»»некие сферы 12 = сопвФ 2 р + (2 — ссцЬД' = ) з,вЬд) откуда следует сяво лз = сЬд — созе Ьг — Ьг— сЬд — сова' и уравнение Лапласа принимает вид д ( вша ди ) д ( вше дп») до ) сЬд — сове до( дд 1 сЬД вЂ” сова дд / япо(сЬд — сова) д»рг При решении уравнения Лапласа удобна подстановка '2»е — 2 Тогда для функции е получается уравнение 1 1 е +ьзз+п сзяа — — и+ е.
=О. вшг о 10. Сфероидальные координаты. а) Вытянутые сфероидальные координаты .,=Л,=р, хз= р» =с»е, »= е1»'-цз-~ц ° е, *=,Лл'-»ц» — ец Л)1, — 1<р<1, О<»р<2я» Лг — рг г Л'— »,= у, ", »,=,у ",, »,= ~(» -цр-„>. ~/ Л вЂ” 1' ' ~I 1-рг ' б) Сплюснутые сферондальные координаты я»=Л, тг=л, яз=цг, е, »=.Д» -ц~Г-е'» Поверхности Л = сопзз сплюснутые сфероиды» 4» = сопз1 однополостные гиперболоиды. Метрические коэффициенты )Л'- г' 61 = с»1 ))' Л' — 1' 112 = с»1,, Ьз = сЛр.
,»Лг г Ч 43* плоскости р = сопва Выражение для квадрата линейного элемента,в пространственных биполярных координатах имеет вид ,г Йз~ =,, [его -~-еяг +яп ась ), (сЬ д — сов а) г Дополнение 11. Параболоидные координаты. Переменные хс Л~ хз сп хз 'Р определяемые соотношениями 1 х = Лд соя Зз, у = Лсс я1п ср, з = — [Лз — дз), называются параболоидными координатами. Метрические коэффициенты равны Ьс — — Ьз = ~/Л + Р~, Ьз = Л1с.
Координатные поверхности Л = солях, р = сопяс являются параболами вращения вокруг оси симметрии Ох. П. Некоторые формулы векторного анализа Обозначения: а . — векторная функция, и . скалярная функция. [[аЬ]с] = [ас)Ь вЂ” [Ьс)а, [а[Ьс]] = Ь[ас) — с[аЬ), у,гас1[ии) = и ягас1и + и ягас1 и, с1ггя[иа) = аягас1 и + и Йга, гог[иа) = [аягас1и]+ иго1а, йн [аЬ] = Ь го$ а — а гоа Ь, гессена = рас1с1гяа — сЛа, ягас1[аЬ) = айнЬ+ Ьс1гяа+ [агосЬ] + [Ьгоса], гоз[аЬ] = айгЬ вЂ” Ьс)гяа+ [Ьсу)а — [аЧ)6., где [6 с')а = Ьх — + Ья — + 6. —. дх Я ду дх 111. Специальные функции 1.
Тригонометрические функции. соек=1 — — з + — х —...= — (е +е ) =с6[сх), з 1 4 1 и 2! 4! 2 3 1 я 1 м япх = х — — з + — зя —... = — [е" — е ' ) = — сап[их), Зс 5! 2с соя[х + у) = соя х соя у — яш х яп у, яш [х + у) = яп х соя у + соя х яш у, 1 1 соя х соя у = — соя[х + у) + — соя[х — у), 2 2 1 1 яп х яп у = — — соя[х + у) + — соя [х — у).
2 2 ЯОВОоноиио 2. Гиперболические функции. сЬз = 1+ — з + — з +... = — (е + е =) = сов(гз), 2 1 4 2! 4! 2 яЬг = г+ — з + — хе+... = — (е — е ) = — гв1п(гг), 3! 5! 2 сЬгз — яЬ'г = 1, сЬ(х -~- у) = сЬхсЬу+ яЬхяЬу, яЬ(т+ у) = яЬхсЬу+ сЬхяЬу. 3. Интеграл ошибок. Ф(г) = — /е '" да. о Разложение в ряд при малых з 1 гз го Ф(г) = — (г — — + — —... огя (, 1!3 2!5 Асимптотическое разложение при больших з Ф(з) = 1 — — (1 — — + — +... 1 е ' / 1 3 4 4.5.6 ~ г (2г)4 (2 )о В таблице 1 даны значения Ф(х) для 0 < х < 2, 3.
4. Гамма-функции. Г(з) = ~с '1' 'й (Бег > 0), Г(я+1) = зГ(г), о Г(п+1) = п.Ь Г(1) = 1, Г ( — ) = огя, Г(.)Г(1 —,) =, Г(2е) =' Г(,)Г(.+'), Г(я) 4 ъ''2яг' а~ге для я >> 1. Бэта-функция 1 Г(*) Г(у) Г(х -~- у) о ,' г = 2 / в1п~ ~~реев~о ~1ооур (Кех > О, Веу > 0). о Дополнение 5. Эллиптические функции. ох ,, о - с во — «" ") 1 =оп (х, Й), = саад 1х, Й), =сп (ж, Й), = оп (х., Й), 1 4х Π— ')Π— 1' О' к'= / й = вш а, Й = сова. 6.
Функции Бесселя. 1 .1».(в) = р ~~о ° ого+ +о 1~ ""!' %'(" 1)!' а=о 1це в > О), и — в [21 (-') +т — ~( +1)~,1„( ) — 1 ~ ~" -- ~~-о- „„~~~(,-+, )~, Х„(в) =— где ф(п) = —, ГО и) Г(п) ' Хо(в) — 1 — (1п в — 0,11593), и = О, 2 г-.~о к Я„(в) — 1 ' Н, п=1,2,3, ..., н,„Я вЂ” 1 11 — вш ~в — — я(л+ — )) (В.ег > О), /2 . 1 1 679 Яоволнение Я и(я) = ( — 1)",7п(х), М вЂ” п(я) = ( — 1)" Жп(х), ,7п(я) %„'(х) — Л„'(и) Ми(х) = Ь(1в, Мп) = —., %в,(х) 1„(я) — М„(х) 1„г(х) = Ь(У,„, Х„) =— (определитель Вронского), е 'я "яг = ~~ 1„(х)е '"и и= — ао — г=мп -~-ш яп(х) = — (' е' ' "'"и~'"ийр (и -- целое число), 2х l Рекуррентные формулы 2п — г„( ) =г„,+г„„, или 2Я„',(х) = 7п г — Я„гг — [ "г„(х)) = "Я„„ Их " " ' Нх ~ х" ~ х" У~ = — Ум [хУг(х)[' = хне(х), яея(ох) хе(х = — х~ [яе(ах) + бах)), 2 / х~(ох) хат = — т, 1Е (ох) ит — ~(ох)~т--е(ох)). К„(х) — + ' Н +..., л>О, 1 „(х) = 1п(х), К„(х) = К „(х), х Ке(х) — ~ — (1п — + С) +..., С = О, 5772...
постоянная Эйлера. я — ~0 ~ 2 Здесь Я„(х) = А,1„(х) +В%„(х) любое решение уравнения Бесселя ( ы )~(! )~ Функции мнимого аргумента 1„(х) = ( —.),7„(гх) — ~ е, 1„(х) = ~~ (-',)'"" я=о К,(х) = — яз"" Х~ ~(гх) — >,~е *, 2 и .-~ос г 2х 680 Дополнение 1„(х)К„'(х) — 1„'(х)К„(х) = га(1„, К„) = - -, 1„(х)К„ 1(х) + 1„ ,(х)К„(х) = — г1(1„, К„) = — , 1„ г(х) — 1и.н (х) = — 1„(х)., 1„ (х) + 1„ ог(х) = 21„'(х), Некоторые интегралы е "1о(ЬЬ) — = — [Ъ'а~+ Ьг — а]", аЬ" о (2Ь)" Г (и -Е 1/2) Г (1/2) (аг -ь Ьг) ."Нг ' о е " Я (ЬЬ) е11 = ~ 1п о/ао + 1гг а о (а, Ь вещественны и положительны).
— ( — ) Ро (сов О) и=е ~ — ( — ) Р„(соя У) при г < го., при г > го, о=а (п + 1) Р„тг (х) — х(2п + 1)Ри (х) + пР„, (х) = О, 2" и! дх" Уравнение присоединенных функций юг ~(1 — х')у']'+ п(п+ 1) — ™,) у = О, 1 — хг 1 Р(т)~ )Р1~~] ) 1 2 (и+ ™)! Ь т 1, и = п, 2п+1 (и — ии)! кп ~" ] О, к г- п, — 1 р(то( ) г1 2)т/2 ~ Р е"'"' = ~(2п+ 1) Гогу„(р) Р (сов В), Т. Полиномы Лежандра.
Уравнение ~(1 — хг) у']'+п(го+1) у = 0 ( — 1 < х < 1), 681 Яопоппение т, п(Р) оп~-т/2(Р) у 2р ~(2п+ МР(ро)фп(р)Р. (сояВ), и=-О (2п + 1) оп (Ро ) Я~ ( Р) Рп (сое В), и=-О г < го, т > то, р=lег, Ро = кт'о Р-(Р)Й' (Р) — (,',"(Р)Р~,(Р) = —: О) ене ~ ~ ОО ец" ~ ~ /1 (р) = : ~ (Р) = ~- — т) Р Р Р 8. Гицергеометрическая функция Е(а, Д, у). Уравнение г(1 — е)уп + [у — (а+,3+ 1)я) у' — аДу = О, еи( )1 ) 1 а)т а(аи 1)Р1т-'и 1) 2 1 у 1.2 у(у+ Ц у = уя = х' тГ(а — 1+ 1, Д вЂ” у+ 1, 2 — у, е), Рп(е) = Р (- , П + 1, 1, 1 ' ) = (-1)пР (- , и, + 1, 1, 1 + ' ), Конфлюэнтная (вырожденная) гипергеометричсская функции Г=1"(,у, р) =1+ Р+ ( +')' +„., 7 1 Э(Э+1)е' йгр т1е р — + ( у — р) — — аг" = О.
Цре Нр р(т)( ) (и ' тп) 2 тп 2 1 — ет 2 'ттт1 (и — тп)! (1 — я ) У Е(тп — п,тп+п+1, тп+1,, ). ) 683 Дополнение Таблица Корни характеристических уравнений оо(р) = 0 и,У~ (р) = 0 Корни р„ уравнения о'о(р) = 0 Корни р„ уравнения У~(р) = 0 Корни р„ в уравнения го(р) = О Корни р уравнения ,7~(р) = 0 2,4048 5,5201 8,6537 11,.7915 14,9309 3,8317 7,0156 10,1735 13,3237 16,4706 18,0711 21,2116 24,3525 27,4935 30.,6346 19,6159 22,7601 25,9037 29,0468 32,1897 б 7 8 9 10 Таблица уо(Р) Корни характеристического уравнения = — р ЛМ 0,0 0,01 0.,02 0.,03 0,06 0,08 0.,10 0.15 0,20 0,30 0.,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 1.,5 2,0 3,0 4,0 5.,0 6.,0 7,0 8.,0 9.,0 10.,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 0,0000 0,1412 0.,1995 0,2814 0,3438 0,3960 0,4417 0.,5376 0,6170 0,7465 0.,8516 0.,9408 1,0184 1,0873 1,1490 1,2048 1,2558 1.4569 1,5994 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2.,0937 2,1286 2,1566 2 1795 2,2509 2,2880 2,3261 2,3455 2,3572 2 3661 2,3750 2,3809 2.,4048 3,8317 3,8343 3,8369 3,8421 3,8473 3,8525 3,8577 3,8706 3.,8835 3,9091 3,9344 3.,9594 3,9841 4,0085 4,0325 4,0562 4,0795 4,1902 4,2910 4,4634 4,6018 4,7131 4,8033 4,8772 4,9384 4.,9897 5,0332 5,1773 5,2568 5,3410 5,3846 5,4112 б 4291 5,4516 5,4652 5,5201 7,0156 7,0170 7,0184 7,0213 7,0241 7,0270 7,0298 7,0369 7,0440 7,0582 7,0723 7,0864 7,1004 7,П43 7,1282 7,1421 7,1558 7,2223 7,2884 7,4103 7,5201 7,6177 7,7039 7,7797 7,8464 7,9051 7,9569 8,1422 8,2534 8,3771 8,4432 8,4840 8,5116 8,5466 8,5678 8,6537 10,1735 10,1745 10,1754 10,1774 10,1794 10,1813 10,1833 10.,1882 10,1931 10,2029 10,2127 10,2225 10,2322 10,2419 10,2519 10,2613 10,2710 10,3188 10,3658 10 4566 10,5423 10,6223 10,6964 10,7646 10,8271 10,8842 10,9363 11,1367 11,2677 11,4221 11,5081 11,5621 11,6990 11,6461 11,6747 11,7915 13,3237 13,3244 13,3252 13,3267 13,3282 13,3297 13,3312 13,3349 13,3387 13,3462 13,3537 13,3611 13,3686 13,3761 13,3835 13,3910 13,3984 13,4353 13,4719 13,6434 13 612ог 13,6786 13,7414 13,8008 13,8566 13,9090 13,9580 14,1576 14,2983 14,4748 14,5774 14,6433 14,6889 14,7475 14,7834 14,9309 16.,4706 16,4712 16,4718 16.,4731 16,4743 16,4755 16,4767 16,4797 16,4828 16,4888 16,4949 16,5010 16,5070 16,5131 16,5191 16,5251 16,5312 16,5612 16,5910 16,6499 16,7073 16,7630 15,8168 16,8684 16,9179 16,9650 17,0099 17,2008 17,3442 17,5348 17,6508 17,7272 17,7807 17,8502 17,8931 18,0711 684 Дополнение Таблица 4 Корни р„характеристического уравнения Уо(р) Хо(~Р) — Юо(Р) 1о(кр) = О 62,8304 25,1294 12,5614 8,3717 6,2767 5,0196 4,1816 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 15,7014 6,2702 3.,1230 2,0732 1,5485 1,2339 1,0244 31,4126 12,5598 6,2734 4,1773 3,1291 2 5002 2,0809 47,1217 18,8451 9,4182 6,2754 4,7038 3,7608 3,1322 78,5385 31,4133 15,7040 10,4672 7,8487 6,2776 5,2301 Таблица Корни характеристического уравнения Гбр = —— й 5 0 0.1 0,2 0,3 0.,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.,0 1,.5 2,0 3.,0 4.,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 1,5708 1,6320 1,6887 1,7414 1,7906 1,8366 1,8798 1,9203 1,9586 1,9947 2,0288 2,1746 2,2889 2,4557 2,5704 2,6537 2,7165 2,7654 2,8044 2,8363 2,8628 2,9476 2,9930 3,0406 3,0651 3,0801 3,0901 3,1028 3,1105 3,1416 4,7124 4,7335 4,7544 4,7751 4,7956 4,81об 4,8358 4,8556 4,8751 4.,8943 4,9132 5,0037 5,0870 5,2329 5,3540 5,4514 5 5378 5,6078 5,6669 5,7172 5,7606 5,9080 5,9921 6,0831 6,1311 6,1606 6,1805 6,2058 6,2211 6,2832 7,8540 7,8667 7,8794 7,8920 7,9046 7,9171 7,9295 7,9419 7,9542 7,9665 7,9787 8,0382 8,0965 8,2045 8,3029 8,3914 8,4703 8,6031 8,6587 8,7083 8,8898 9,0019 9,1294 9,1986 9,2420 9,2715 9,3089 9,3317 9,4248 10,.9956 11,0047 11,0137 11,0228 11,0318 11,0409 11.,0498 11.,0588 11.,0677 11,0767 11,0856 11,1296 11,1727 11,2560 11.,3349 П,4086 11.,4773 11.,5408 11,.5994 11,6532 11,7027 11,8959 12,0250 12,1807 12,2688 12,3247 12,.3632 12.,4124 12,4426 12,5664 14,1372 14,1443 14,1513 14,1584 14,1654 14,1724 14,1795 14 1865 14,1935 14.,2005 14,2075 14,2421 14,2764 14,3434 14,4080 14,4699 14 5288 14,5847 14,6374 14,6860 14,7335 14,9251 15,0625 15,2380 15,3417 15,4090 15,4559 15,5164 15,5537 15,7080 17,2788 17,2845 17,2903 17,2961 17,3019 17,3076 17,3134 17,3192 17,3249 17,3306 17,3364 17,3649 17,3932 17,4490 17,5034 17,5562 17,6072 17,6562 17,7032 17,7481 17,7908 17,9742 18,1136 18,3018 18,.4180 18,4953 18,5497 18,6209 18,6650 18,8496 685 Дополнение Таблица Первые шесть корней ) о уравнения и 18 о = С -П из П Все корни этого уравнения действительны, если С > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
