Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Пусть 1 = 1аг'1в)е ' ' 111в) ) 1) сила тока в прямоли- нейном проводнике — 1 ( в ( 1 длиной 2й Цилиндрическая система координат выбрана так, что линейный ток направлен вдоль оси з и симметричен относительно начала координат. Вектор Герца П = = 10, О, П) определяется формулой Пгр ~ 3) 1а ~па)р ~ се,г Ц) ггс) Ц между точками )М(р, уг), г) и вн где П" = , Л расстояние й )МаЫ р) С) Е = рае1е11аП+ йгП, Сопротивление излучения равно Н = — гкгогП. в= '))а~г" ~г'г~е,-аг' ), если 11 — г) =Я) =О. Н, 21 ср в = ' Д' "" — ) "" г ) а а Указание. Нормировка П получается из условия вблизи тока.
Входное сопротивление линейного тока определяется следующей формулой метода наведенных э.д.сл Л = — — /Е;(Ма, Ма', з)йз) 4з 1 1а Подставляя сюда вместо Е, выражение и интегрируя по частям, получим приведенное выше выражение для Л. 104. Если диполь полуволновой, то 1 = 1а~(з) при — ) < г < ), где ш 11з) = соз йе, Й = —, е П = 1 ~П '1М, М„, — О) Кг',е1~, входное сопротивление полуволнового диполя Гл. Ъ'1й У1гавиеиин эллиптического типа Активная составляющая входного сопротивления или сопротивление излучения г 1 )'1 — саво „ с,/ и о Реактивная составляющая или реактанц 1 гв1во „ с о о Решение. Лля вычисления Е используется Е, =, + к П, дгП г где Ц г П о ~ М М о я з ) г г з ) Ц з — гсй,/ ~ дгг — ! дгПо дгПо Учитывая, что — = —, и интегрируя в дальнейшем по частям, дг' дсг ' получим в [и,м.,о= —" ,(1пзм, м.;* — гягзо-~г'гагге-~ + По(М, Мо, .1+ г)1'( — 1) — П'(М., Мо, 1 — г)1'Я Это возможно, если 1" (я) кусочно непрерывна.
Лля полуволнового диполя )м(я) + к~у = О, 11т1) = О, 1'( — 1) = — 1'(Х) = к. Поэтому Е,~М, М,; ) = — "' (По(М, М,,1+ ) + По(М, М,;1 — г)). Подстановка этого значения Е, в формулу 1 г Е = — — ~ Е= (Мо, Мо', я) 1Ы сЬ 1о дает Л = — — ~П (Мо, Мо',1+ я) Пг) с1г, где вп-~- ) ПогМ М, 1+ 1 в- г Полагая 1+ я = о, после несложных преобразований получаем приведенную выше формулу для Л. В частности, в практической системе единиц в=гоД' ""г — )""'г) 666 Ответы, указания и решении 105. Пусть ось я совпадает с осью волновода, .а диполь находится в плоскости я = ( в точке Мо и направлен параллельно оси я. Поле определяется одной лишь я-компонентой электрического вектора П=(О,О,П), где П = —. П (М, Мо, 'я — О, ро = 1о1 — момент диполя, 4иро о — 11ос М и Мо — точки в плоскости перпендикулярного сечения, По(М М, — ~) т;- ~-(мй.(мо) е-..~е-с~ (,) 2р, и=1 р„= ~'˄— Р, )о = ое/с, Ли -- собственное значение, а ф„-- норми- рованные собственные функции краевой задачи Ьзфи+Л фи=О в Я, Я поперечное сечение волновода., С вЂ” граница области Я.
Сопротивление излучения Гг~ 1 = !пп —, 11 — 1ЕН") еЬ е-'~"~ Го' у у 4и я „. -~- е равно м1 4и 1' Л„42(мо) 1о 2 ~/И вЂ” Л„ и=1 где Я вЂ” — максимальное число бегущих волн в волноводе, так что л, <а', л „>й'. Если диполь находится на оси круглого волновода радиуса а,то =з уи( аойо где рт — корень уравнения ,7о(р) = О. 4иро о Указание. Формула П = — П следует из общей формулы — 11ос для П, приведенной в ответе к зада ее 103. Функция источника По для волнового авнения УР ехи+й и = О в произвольной цилиндрической области с нулевыми граничными условиями была построена в задаче 45. При вычислении В1') использована формула Н1е) = 1пп ',, Ц (Е,Н, *— Б„Н'з)е)те)у о) и первая формула Грина.
') См. (7, с. 528). Гл. г»11 У»авиеиин эллиптического типа 106. Для произвольного линейного тока 1 = 1оД(я) при — ( < э < 1 функция Герца П 4 1о 1~по(М, М.:,. — ~)~(~) (~, где П (М, Мо, н — С'), дается формулой (Ц ответа задачи 105.
Мощность излучения И'е = 1огггг'г, где г 2 г" = —" г."*',*„' '»(»)/т- „его) + »)1тп1 -.его~ ), о=1 — » эс»» = г»гйг: Л„. В общем случае для полуволнового диполя в волноводе произвольного сечения Я получаются формулы 4к ~ Ф„(Мо)(1+ сов»»»»г1 — уг) 4г. ~ Фг (Мо) г1пгг згг1 — уг 4»г к»гг(Мо)(1-е е ' з»Ч — 1) с »» = гг-~- г »ь7 гйфп+Лпф = 0 в Я, ф»п = О на С, ') ч»„с(Я = 1» 'уп = —, С-- граница Я, у < 1, у, > 1. См. задачи 45 и 103. 107. Пля полуволнового диполя, лежащего на оси круглого волновода, имеем: активная часть входного сопротивления гг реактанц ггпк Д тг 4 1 е — /тг 1 ' ~ 1~0 )дг ъ'1 — тг.
' ~ У~(д )дггмчгтг.— 1 где у, = †"', 1» корень уравнения ,Уо(1г) = О, а радиус 2 Р» агйг' волновода. 108. Пусть Я (О < и < а, О < д < Ь) сечение волновода. а) Бесконечно малый диполь ориентирован вдоль оси р и находится в точке Мо(е(, уо). Сопротивление излучения этого диполя дается формулой бб8 Ответы, указания и решения г 1г [Ой... т=1 а=1 т=о п=о где 4 . пгп . птг фп(М) = г(г и,(х, У) = 1( — зш — хсйп — У, 1(аЬ а Ь г(г„'1М) = ф „1х, у) = Л( — соз — х соз — у гу = Ъ аЬ а Ь [ г ) 2, з т- О ) ' /„г г', [ аг Ьг) / г 1 = 1о сйп й(у — уг). Сопротивление излучения равно г ккт г кп ( к ) г г"гг д1а) "ь ' ' е" а Ь ~ 2Ь~ 2ЬЬ 8,, 2 з!в — асов — уг + — ~ соз— пг=г п=о Р „[йг — ( — ) (Л „ < йг) где Лта — я —, + —, в=О, п ~ О.
Верхние пределы суммирования находятся из условия Л„,„< к~. гети = 1е Лтп~ зета = й Лтп ° г — г Пределы г1' и гг", Хг и Х' таковы, что Лмв, Лег,к наибольшие 1 собственные значения., при которых ге,пп и хтн вещественны. В наиболее интересном для практики случае волны Нго имеем Фго = О, г(до(х, У) = 1( — соз — х: Лго = ) — ) \/ОЬ а а и для В~"~ получаем формулу Слэтера г к 1г Г 'и -1 "',(:Й7 1формулы (1) и (2) даны в практической системе единиц). б) Пусть полуволновой диполь ориентирован вдоль оси у, а его концы находятся в точках Мгрг, гуг) и Мг1е1, уг), причем уг — гуг = Л к = — = —.
Распределение тока в диполе дается формулой 2 Ь ПОПОЛНЕНИЕ 1. Различные ортогональные системы координат Пусть х, у, 2 декартовы координаты некоторой точки, а 21, хз, хз криволинейные ортогональные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражается формулой + 1~у + Аз 61~~х1 + 62дх2 + Мхз' где (з = 1, 2, 3) метрические коэффициенты, или коэффициенты Лама.
Ортогональная координатная систома полностью характеризуется тремя метрическими коэффициентами 61, 62, Ьз. Приведем общее выражение для операторов 3гаг1, 111н, го1 и оператора Лапласа 21 в ортогональной криволинейной системе координат: з х 1 ди 3гаг1 и = зз — — з„ д Ь,д, 1=-1 1 Г д д д 111гя А = Ь Ь ~ (6262А1) + (6261А2) + д (6162Аз)~ Ьг6261 1дхг дхг дхз Ьгз, д дхг 61А1 6222 6323 д д дхз дхз 62А2 ЬзАз гогА = 1 ЬП1262 626262 1дхг ( Ьг дхг) дхз ( Ьз дхз) дхз ( Ьз дхзУ1 1. Прямоугольные координаты.
61=1, 62=1, Ьз=1 дА дА„ дА, 111гяА = — *+ —" + — ', дх ду д. ' Х1 Х~ Х2 У~ ХЗ ди . ди . ди ига11и = — з+ — з + — Й дх ду дз где 21, 22, зз единичные базисные векторы, А = (Аг, Аз, Аз) произвольный вектор, и — скаляр, А, = Аз(хг, хз, хз), з = 1, 2, 3, и = и(хг, хз, хз). Дополнение дА, дА„ гоФА = Ьи = и„+ и„„+ ие,, где в, з и й — — направляющие единичные векторы осей т, р, з. 2. Цилиндрические координаты. хз=т, Уз=у хз=з связаны с прямоугольными координатами уравнениями т = тсояу, у = тюпу, Координатные поверхности: т = сопев цилиндры, у = сопев плоскости, з = сопя1 --плоскости.
Метрические коэффициенты равны йз =1, йз =1, так что ди 1 ди . агае1'и = — вз + — — зз + д. ° ду 1 д 1 ОАз с11чА = — — (тАз) +— т дт т дд ди . — зз, дз (1а~. е~.). Оп, ер,) . ~~ а, ~ 1ам,~. 3. Сферические координаты. тз — — т, тз=д, те=у связаны с прямоугольными координатами формулами т = тяшд соя у, д = тв1пд вшу, .з = тсовд.
Координатные поверхности: концентрические сферы т = сопяя, плоскости у = сопв1, конусы д = сопвц Мстрические коэффициенты равны пз = 1, вз = т, Ьз = т яш В, так что ди . 1 ди . 1 ди . ягае1 и = — вз + — — зз + . — вз. дт т дд тюпВ ду Йч А = —, — (т Аз) + — (в1пдАз) + , 2 1 дАз тз д.
тв1пВ дд тяшВ ду ' з д дт А, й д д ди дз А„ А„ 671 Дополнение гав А = ~ — (в1пВАз) — ~ 22+ 1 ~д . дА21. тв1пВ ~дВ двг 1 ~ 1 дА2 д 1. 11д дА21. + — ~ . — — 2ттАз)~ вг + — ~ — (тАг) — ] вз, т ~в1пВ дуг дт ] т ~дт дВ 1 1 д (гдгг) 1 д 7. дп) 1 дг.
гги = — — ~т — ~ +, — ~вш — ~ + тг дт 1 деl топйпВ дВ 1 дВ/ тгвшгВ двое 4. Эллиптические координаты. тг Р~ определяются с помощью формул преобразования *= ге, 2=' ДР— Пз-еч, где с масштабный множитель. Метрические коэффициенты равны Лг 2 Л2 2 йг = с~1 , йг = с~( ., Ьз = 1. =.4 Л -1 = 2')/ 1-Лг Координатные поверхности: Л = сопв1, — — цилиндры эллиптического сечения с фокусами в точках т = ~с, у = О, 12 = сопв1 семейство конфокальных гиперболических цилиндров, г = сопв1-- плоскости. 5. Параболические координаты.
Если т, В полярные ко- ординаты точки на плоскости, то параболические координаты могут быть введены с помощью формул т — . В т — В лг = Л = 222твш —, тг = р = ъ'2тсов —, яз = г. 2' 2' Координатные поверхности Л = сопв1 и р = сопв1представля- ют собой пересекающиеся параболические цилиндры с образующими, параллельными оси з. Связь с декартовыми координатами дают формулы и= — (12~ — Л ), у =Лр, Метрические коэффициенты 121 ~2 Ъ~Л + 22: йз 6. Эллипсоидальные координаты.
Вводятся с помощью уравнений (а > д > с). 2 „г 2 +, +, = 1 (Л > — сг) (уравнение эллипсоида), г 2 2 +,'~ + = 1 1-сг > 12 > -дг) 02-В о. 62+12 ег+12 1уравнение однополостного гиперболоида), 672 Нопоппепие +, =1 ( — Ьэ>и> — ая) аэ-Ьп Ьз+и сэ+п (уравнение двухполостного гиперболоида).
Каждой точке (я, р, з) соответствует только одна система значе- нийЛ,д, и. Параметры т1 —— Л, тз =д, тз — — и и называются эллипсоидальными координатами. Координаты и, р, з выражаются явно через Л, р, кс Коэффициенты Ламэ равны ) 1 (Л вЂ” и)(Л вЂ” и) 5 1 Ь вЂ” РКд — Л) 2 Нз(Л) ' 2 Нз(д) < -ЛК -д) 2 Нэ(и) где Н(з) = (з=Л,р,и). Оператор Лапласа можно представить в виде +5.-чзэс,— "„(пы'— ,,"):-п-.~и»к (п()йЯ Частное решение уравнения Лапласа, зависящее только от Л, У = У(Л) дается формулой где А и В .—.
произвольные постоянные. 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты. а) Вырожденные эллипсоидальные координаты (н,Д, ф для вытянутого эллипсоида вращения определяются при помощи формул и = сзшДсозЭз, р = сзшаз1п~3з1пу, я = ссЬасоз)3, где с — масштабный множитель, О < а < оо, О < Д < я, — я < у < я. Координатные поверхности: вытянутые эллипсоиды вращения а = = сопз1, двухполостные гиперболоиды вращения Д = сопят и плоскости ~р = сопза Дополнение Квадрат линейного элемента дается выражением е/з =с 1зЬ'а+яп Я1е1о +ор )+с зЬ ояп Де1р~, откуда для метрических коэффициентов получаются значения 61 = 62 = с зЬ а+ з!и А Ьг + Ьо = сяЬоз1п13.
Уравнение Лапласа имеет вид (з1, ), /'я1„д 1 1 д 1' ди'1 1 д / . ди) сг1зЬг а 4-япгд) '1зЬо до 1, да/ з1пд д~З 1, дд / 1 1 ) дги1 яЬ' о яп 1З / дггг 1 б) Система вырожденных эллипсоидальных координат 1а,)З,1о) для сплюснутого эллипсоида вращения определяется с помощью равенств я = ссЬаяш/Зсоя р, р = ссЬаяш1Зя1пу, г = сяЬосозр, О < а < оо, О < /З < я, -я < р < я.
Координатные поверхности; сплюснутые эллипсоиды вращения а = сопзФ, однополостные гиперболоиды вращения /З = сопзг и плоскости ~р = сог1з1, проходящие через ось г. Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассматриваемой системе координат имеют вид еЗя = с 1сЬ а — яш /З)1еЗа +енг ) + с сЬ ая1п,9еар, 1 1 д ( ди1 1 д (е диз) гЬи г ~ (сЬ а 1 + ) я 1п /З ) + сг(сЬго — япгд) ~сЬо да 1 до/ яп,9 дд 1, дд,/ 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
