Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (DJVU) (1125138), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Если ось г прямоугольной системы координат направить вдоль ОО, то 585 Гл. ЪП. Уравнения эллиптического типа 14. а) Если поверхность земли совпадает с плоскостью г = О, то распределение концентрации эманации в земле дается формулой где эс = ~( —, Д. постоянная распада, Р коэффициент диффузии, )д Д вЂ” — плотность источников. б) Поток эманации через поверхность земли ди эса . кь д=Р— = — е дг л=е х 15. а) Если г = О поверхность земли, а источник находится в точке (О, О, й), то концентрация где ° — ге'+(* — вг ° — нее"-(* ~п' б) Поток через поверхность земли г = О равен где ,, = ур + йя.
16. Требуется определить с,)о и Ь. Лля этого, пользуясь данными наблюдений, т. е. величиной д(р), находим полный поток через поверх- ность земли Я = ~/с1(р)рйрйр = 1„)се о в затем интеграл г х=()~еев ич =-ОЛ((в ( ) еве о в в и=-О .сев Еи э = Яой / ' с~р = ЩЬ /е "'ьв аС = Цой. Ко(эсй),. с г,.йэ 1 = сэойКс(эсй). Из формул (1) и (2) имеем ЬКо(эсй)е' ' = —. (2) Отсюда, поскольку 1 и Я известны, определим величину й и затем по формуле (1) . мощность источника с)е. Положение источника в горизонтальной плоскости определяется, очевидно, по максимуму наблюдаемого потока о(р).
— е ~зйэся 3 — (1 — е - сп эсй) при О<г<й, при Ь<г<со, 586 Ответы, унаэвния и решения 2 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях при соответствующих однородных граничных условиях. а) Граничные условия и10) = О, и11) = О, собственные значения ' = ( †) оп=1,2, ...), собственные функции кп и„(т) = яп — и, квадрат нормы собственных функций '0е„~! = 1/2. б) Граничные условия '<О) = О, '<1) = О, собственные значения Лн=( — ) 1п=0,1,2,...), собственные функции и,е к) = соз — т гп = О, 1, 2, ...), квадрат нормы г 1 (2, п.=О, 2 "' " ~2, пфО.
в) Граничные условия е10) = О, и'11) = О, собственные значения г 2 Лн = ~ )~ (и =О, 1, 2.....), 21 собственные функции я12п -~- 1) и„1т) = яп т 21 квадрат нормы 1п=0,1,2, ...), '8и„~! = 1/2. г) Граничные условия е'(0) — )не(0) = О, в'(1) + Ьгег(1) = О, 1. Собственные колебания струн и стержней. 1Т. Обозначим е = е(к) амплитуду отклонения точки струны с координатой к. Требуется найти решение однородного уравнения и +Ли=О Гл.
Ъ'1Ь Уравнения эллиптического типа где 62 > О, 62 > О, собственные значения Л„определяются из трансцендентного уравнения сб,Л1 (1 +6).Л (1) Л-Ь,Ь, или 'КР1= ., Ь „, Л» =р., (Ь, -Ь 62)Р 2 662' собственные функции ип(х) = ЯЛ„соя,/Ли х+ 62 яш ь2Л„х~, Хс2Л„+ 62 квадрат нормы (61+ 62)(Р" ~1н62) (г = 1 2 2(Р~ + Ь~)(Р2, + 62) В частном случае при 62 = 62 уравнение (1) принимает вид 2ЬРЧ Р Р2~12 62 ' ~а ' д) Граничные условия и(0) = О, о'(1) + Ьв(1) = О., собственные значения Л„определяются из уравнения 2 яяп = — ~~Г Л„= ~," (п =1, 2, ...), собственные функции ип(х) = яш у2Ли х., квадрат нормы 2 ~~'-~~ = 2 + 2(Р2 ~ 621 ) е) Граничные условия и'(0) = О, и'(1) + 6и(1) = О,.
собственные значения Л„определяются из уравнения И Р' "' 12' собственные функции и„(х) = соя лссЛ,х, квадрат нормы 2 1 + 2 2(Р2 -Ь 6212) 18. Уравнение продольных собственных колебаний неоднородного стержня имеет вид — (Е(х) — )+Л и=О Е=( дх ( с~х) (Е2 (х > хе): 1Р2 (х > хе) а) Граничные условия и(0) = О, и(1) = О, 588 Ответы, уиазаиия и Решения где а1 — а2 собственные функции аг 'л„ аг ,л„ в111 — Π— х) аг при х <хо, и„(х) = при хо <х< 1, и'Л„ вгп —" (1 — хо) аг квадрат нормы 2вгп "(Š— хо) иг Р11 о 'л„ 2 вгп хо б) Граничные условия и'(0) = и'()) = О. Собственные значения определяются из уравнения и1Л геЛ аг Р, СК вЂ” хо + агрг 1К вЂ” () — хо) = О.
аг аг Собственные функции иеЛ„ а1 при 0<х<хо, ,/Л„ а1 ии(х) = сов Д вЂ” х) при хо<х<1, квадрат нормы РА1 — хо) 2совг "(Д вЂ” хо) аг + 2 сове "хо аг в) Граничные условия и'(0) — )11и(0) = О, и'(1) ~- )гги(1) = О. собственные значения определяются из уравнения л л агР1 сСК вЂ” хо + агРг сСК вЂ” () — хо) = О, а1 аг 589 Гл. Ъ!18 Уравнения эллиптического топо Собственные значения где а! — — —, аз= Собственные функции Х„(х) Хг(хо) У„(х) ! и (хо) о„(х) = при 0<х<хо (и=1!2, ...), при хо < х < 1 Х„(х) =,( Л„соз — х + а! л! зш — х, , Л„.,/Лч а! а! У„(х) = УгЛо соз —" (1 — х) + агйг з)п " (1 — х).
Л„ ъ~Л. аг аг Квадрат нормы а о о Указание. Требуется найти нетривиальные решения (о(х) при 0 < х < хо, (о(х) при хо < х < 1 однородных уравнений '+ Л о=О, аг ! — Л о + — о=О, аг г удовлетворяющие граничным условиям а) или б), или в) и условиям сопряжения в месте разрыва коэффициентов уравнения р! = В, гггю = гого при х = хо. Решение удобно искать в виде Х(х) Х(хо) о(х) = ( ) У(хо) при 0<х<хо, при хо < х < 1., где Х(х) удовлетворяет уравнению Х + —, Х = 0 и граничному л аг условию при х = О, а )с(х) удовлетворяет уравнению Кв + — )с = 0 и граничному условию при х = 1. г л й, — — гк а! а! р! — +а,гя а! определяются из уравнения л ГЛ вЂ” хо Ьг — — ок — (1 — хо) а! а аг аг +а р — хо а! аг аг 590 Ответы, указания и решения Собственные функции ортогонольны с весом р(х): о /и„(х)ит(х)р(х) 4х = Р,~Х„(х)Х (х) е1х+ рз/У„(х)Ут(х) е1х = О, Пз ~ П, !!2 / 2~ ) ~ ) 1 Рв /Х2( ) 1 + Ра /1ез о о о ео 19.
Груз помещен на конце х = 1. Граничное условие на этом кон е имеет ви ц д и'(1) = — Ли(1). Р Собственные фУнкции 1ил(х)) УдовлетвоРЯют Условию оРтогональности с нагрузкой /ит(х)и„(х)Р1х)дх + Мит11)и„(1) = 0 пРи пз ~ и. о Квадрат нормы собственной функции ил(х) определяется по формуле 1 !!ил !! = / ил1х)Р(х) о2х -~- МолИ) (и = 1, 2, 3, ... ). о а) Конец х = 0 жестко закреплен, и(0) = О. Собственные значения определяются из уравнения с1яу'Лл1 = М = — ./Лт собственные функции Р квадрат нормы !!ил!! = — ~- — Л„1+ —. г 1Р 2Р Формулы для поправок к собственным значениям: 1) если нагрузка М мала, то 1 — — +... л 2 ~ц ! я12п -Ь 1) где Л~ 21 --- собственные значения ненагруженного стержня со свободным концом; 2) если нагрузка М велика,то 2 Ркп \2 где Л = ~ — ) собственные значения стержня с жестко закреп- л 'Л 1 ) ленным концом х = 1, 591 Гл.
Ъ'11. Уравиеиин эллиптического типа б) Конец х = 0 свободен, и'(0) = О. Собственные значения определяются из уравнения 19 зс'Лп1 = М вЂ” — тссЛ„. Собственные функции Р квадрат нормы )(и„(! = — ~1+ —, Л„) + —. Р в) Конец х = 0 упруго закреплен, и'(0) — Йи(0) = О. Собственные значения Л„определяются из уравнения 6 — — Л„ ЛХ 1бЬ/Л„1= Р (п=1,2,3, ...). (1+ — Ь) йЛ. Собственные функции Хи(х) и„(х) = Хп (х) = ъ/ Ли соз У'Лп х + й зш тУ Лп х.
Квадрат нормы ~!и !!2 1 1!Х 1~2 Указание. Пинамичсское условие нагрузки конца х = 1 имеет вид Мип — — — Еи,(1, 1). Полагая и(х, 1) = и(х)Т(1), получим после разделения переменных для и(х) уравнение оп+ Ли = О, и'(() = — Ли()). Р Условие ортогональности следует из формулы Грина /~~пЕ(ит) итТ(ип) ' с1х = (~пот итси~а~ о где Ци) = (Еи')'. При вычислении нормы следует пользоваться характеристическим уравнением.
20. Сосредоточенная масса М находится в точке х = хо. а) Оба конца струны жестко закреплены, и(0) = О, и(1) = О. Собственные значения Л„определяются из уравнения сйи ' ха+сук "() — хо) = — ЛсгЛи. а а ар 592 Ответы, унавания и решении Собственные функции ъеЛ в1п — х при О < х < хо, ъеЛ„ а ..(х) = а при та <х <е.
вш Π— хе) ъеЛ,. а Квадрат нормы 2 апв хе 2 апв (1 — хо) а а б) Оба конца струны свободны, и'(0) = О, и'~е) = О. Собственные значения Ла определяются из уравнения С Л" *, + Гя Л" (г -хе) = -М Л„. Собственные функции ,/Л. сов — х а при 0<х <хе л ипЯ при хо <х<е. ъеЛ„ сов —" <г — хо) а при 0<х<хе, Х (х) Хе(хе) У„(х) при хо<х<), У (хв) и„(х) = Квадрат нормы , ъЛ. 2сове "хе 2сове " Ц вЂ” хе) а а в) Концы струны упруго закреплены, и'(0) — Ь|и(0) = О, и'()) + Ьзи()) = О. Собственные значения определяются из уравнения л л абе — ъ'Лея — Д вЂ” хе) аЛ1 — ъ Лс2 — хо ам + ' л' аде ея — (1 — хе) о ъеЛ аЬ, ея — хе ч- ъ'Л а а Собственные функции Гл.
Ъ'11. Уравнения эллиптического типа Хп(х) = Л/Лисов х+ або яш х, ,'Л.. йЛ. а а 1„(х) = ьуЛп соя — (1 — х) + абз в1п " (1 — х). ,ГЛ.. йЛ„ а а Квадрат нормы ~~и ~!' = ~и„'(х)рс1х+ Ми„',(хо) (и = 1, .2, ...). о 21. Уравнение собственных поперечных колебаний однородного стержня имеет вид ици~ — — и = О, аэ 2 где а = —, Е модуль упругости,,7 момент инерции попереч- рЯ' ного сечения относительно своей горизонтальной оси, р плотность стержня, Я . площадь его поперечного сечения. а) Оба конца жестко заделаны, и=О, и~=О при х=0,1, 4 Л„= аз —" (и = 1, 2, ... ), где д„ корень уравнения сЬ1есоя1э = 1. Собственная функция ии(х) = А„((сЬ1е„- — соя1е„-) (яЬ1с„— я1п1с„)— "1 "1/ х .
хЛ вЂ” (сЬ 1с„— сов 1еп) (ЯЬ 1н„— — сйп 1эи — ) ), где А„произвольный множитель. б) Оба конца свободны, по=О, по~=О при х=О, Л =а 4 (п=1,2 ...) где 1еп - коРень УРавнениЯ сЬ1лсов1л = 1, х=1, ии(х) = А„((сЬ ~" х+ сов ~" х) (ЯЬ1с„— сйп1с„)— — (сЬ1з +совр ) (вЬ вЂ” х — в1п — х) ~. И . Р п п ЗВ Б.М. Булак в др. в) Один конец (х = 0) заделан, второй конец (х = 1) свободен, и=О, и =0 при т.=О; и =О, и =0 при х=1, 4 Л„= а~ —" (п = 1, 2,... ), где 1еп .- коРень УРавнениЯ сЬ1с соя 1с = — 1, 504 Ответы, указания и решения и„1х) = Ан ( (с6 — х — сов — х) 1в6 дн — вш ди )— р , И вЂ” 1с6 Да — сов аз) (вй — х — в1п —" х) ). И е Р 2.
Собственные колебания объемов. 22. Пусть х = О, х = а, д = О, у = Ь --. стороны прямоугольника. а) Если граница мембраны жестко закреплена 1и = 0 при х = О, а; у = О, Ь),то собственные значения 2 собственные функции и „1х, у) = вш ~™~ хвш 4 б) Граница мембраны свободна 1ия = 0 у = О, Ь), 7Гп д~ прих=О,а; ия — — Опри ет и и „1х, д) = соя — хсов — у, а Ь )(ит,,()~= — я я„, во=2, яя=1, ЙФО. в) Пве противоположные стороны х = О, х = а жестко закреп- лены 1и = 0 при х = О, а), а две другие --. д = 0 и у = Ь --- свободны 1иу — — 0 при д = О, Ь), е ак к 7П 7Га и„, а1х, У) = вш — хсов — У, а Ь Йит ня~ = — аЬян, г) Пве соседние стороны х = 0 и д = 0 жестко закреплены, а две другие стороны свободны, в12т -'; 1) . ион -'е 1) и „1х,у) =яш хсйп у, ~2 аЬ 4 д) Все ребра прямоугольной мембраны закреплены упруго, и,10, у) — 6зи10, д) = О, ия1а, у) + боинга, у) = О, ия (х ° О) 6зи(х 0) — 0 ия (х Ь) + 64 и(х Ь) — 0 ° Гл. 911.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
