С.В. Петров - Лекции (1124220)
Текст из файла
Ñîäåðæàíèå1. Îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ.22. Âîëíîâàÿ ìåõàíèêà.2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . . . . . . .Èçìåðåíèå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. . . . . . . . . . . . .Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà è åãî ïðîñòåéøèå ñëåäñòâèÿ.Ïðîñòåéøèå çàäà÷è êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . .Çàäà÷à îá àòîìå âîäîðîäà. . .
. . . . . . . . . . . . .Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. . . .Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . .3. Ïðèáëèæ¼ííûå ìåòîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. . .Ñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé. .Íåñòàöèîíàðíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé.Âàðèàöèîííûå ìåòîäû. . . . . . . . .Àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå. . . . ......................................................................................................................................................................................................................4458101215161919202324264. Ïðèìåíåíèå ôîðìàëèçì Äèðàêà ê ðåøåíèþ çàäà÷ êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
274.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.4.9.Îáùèé ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè. . . . . . . . . . . . . . . . .Îïåðàòîð óãëîâîãî ìîìåíòà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñïèí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñèììåòðèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè. . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Ñëîæåíèå ìîìåíòîâ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåõàíèêà òâ¼ðäîãî òåëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Îáùèé ñëó÷àé çàäà÷è î ãàðìîíè÷åñêîì îñöèëëÿòîðå. . . . . . . . . .Âòîðè÷íîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
. . . .Îïèñàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñ ïîìîùüþ ìàòðèöû ïëîòíîñòè..............................................272829323335353637c Ñ. Â. Ïåòðîâ, 2003.Âîïðîñû è êîììåíòàðèè ìîæíî îòïðàâëÿòü ïî e-mail himer2001@mail.ru èëè áðîñàòü âICQ 257457884.11.Îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ.Îïðåäåëåíèå: Ôóíêöèîíàëüíûì ïðîñòðàíñòâîì L2 (ãèëüáåðòîâûì ) íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé f : R → C, èíòåãðèðóåìûõ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé âìåñòå ñî ñâîèìêâàäðàòîì (òî åñòü f, f 2 ∈ R(R)R ). ∗ ýòîì ïðîñòðàíñòâå ìîæíî ââåñòè ïîëóñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ∀ f, ψ ∈ L2 (f, ψ)x = f ψdx.RÎïðåäåëåíèå: ëèíåéíûé îïåðàòîð A+ : E → E, äåéñòâóþùèé â åâêëèäîâîì ïðîñòðàí-ñòâå E , íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûì ê îïåðàòîðó A : E → E , åñëè ∀ f, ϕ (f, A ϕ) =(A+ f, ϕ); â ñëó÷àå A = A+ îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâûì.
Î÷åâèäíî, äëÿ ýðìèòîâàîïåðàòîðà A, ∀ f, ϕ (f, A ϕ) = (A f, ϕ) = (ϕ, A f )∗ . Ïî÷òè âñå îïåðàòîðû, ðàññìàòðèâàåìûåâ êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ÿâëÿþòñÿ ýðìèòîâûìè (ïðè÷èíà áóäåò ðàçúÿñíåíà â 2.1).Çàìå÷àíèå: äëÿ îïåðàòîðîâ, çàäàííûõ íà åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íàä R, ýðìèòîâñêîå ñîïðÿæåíèå ýêâèâàëåíòíî îáû÷íîìó ñîïðÿæåíèþ, ðàññìàòðèâàåìîìó â êóðñå ëèíåéíîé àëãåáðû.d(α ∈ C) è óñëîâèÿ åãî ýðìèòîÏðèìåð: ðàññìîòðèì ëèíåéíûé îïåðàòîð A = α ·dxRRRâîñòè.
∀ f, ϕ (f, A ϕ) = α f ∗ dϕ, (A f, ϕ) = α∗ · ϕdf ∗ = α∗ f ∗ ϕ|R − α∗ f ∗ dϕ. ÏåðâîåRRRñëàãàåìîå îáðàùàåòñÿ â íîëü, ïîñêîëüêó ôóíêöèè f, ϕ èíòåãðèðóåìû íà R âìåñòå ñî ñâîèìè êâàäðàòàìè; òîãäà óñëîâèåì âûïîëíåíèÿ (f, A ϕ) = (A f, ϕ) ñòàíåò α∗ = −α, òî åñòü Aÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâûì â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà α = ki, k ∈ R.Îïðåäåëåíèå: îïåðàòîð A íàçûâàåòñÿ óíèòàðíûì, åñëè ∀ f, ϕ (A f, A ϕ) = (f, ϕ). Ýòîîçíà÷àåò, ÷òî (f, ϕ) = (f, A+ A ϕ) ⇒ A+ A = 1 ⇒ A+ = A−1 .Îïðåäåëåíèå: ìàòðèöà îïåðàòîðà A+ íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííîé ê ìàòðèöå A îïåðàòîðà A; ìàòðèöà ýðìèòîâà îïåðàòîðà íàçûâàåòñÿà ìàòðèöà óíèP ýðìèòîâîé, Pòàðíîãî îïåðàòîð óíèòàðíîé. Çàìåòèì, ÷òî (ψk , B ψi ) = Bji (ψj , ψk ) = Bji δkj = Bki =jj(B ψk , ψi ) = (ψi , B ψk ) =òî åñòü ýðìèòîâî ñîïðÿæåíèå ìàòðèöû ñîîòâåòcòâóåò å¼òðàíñïîíèðîâàíèþ ñ ïîñëåäóþùèì êîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì âñåõ ýëåìåíòîâ.
Àíàëîãè÷íóþ îïåðàöèþ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê ïðÿìîóãîëüíûìè ìàòðèöàì â ÷àñòíîñòè, âåêòîðàì(ñòîëáöàì), êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ýðìèòîâñêè ñîïðÿæ¼ííûå ñòðîêè. Ñîîòâåòñòâåííî, äëÿýðìèòîâûõ ìàòðèö âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî B = B+ , à äëÿ óíèòàðíûõ ìàòðèö B+ = B−1 .++∗B∗ik ,Îïðåäåëåíèå: ñïåêòðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ åãî ñîá-ñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñïåêòð îïåðàòîðà äèñêðåòåí, åñëè ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéêîíå÷íî èëè ñ÷¼òíî, è íåïðåðûâåí, åñëè ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòêîì.Òåîðåìà 1 (ñâîéñòâà ñïåêòðà ýðìèòîâà îïåðàòîðà): ïóñòü îïåðàòîð A ýðìèòîâ,A ψn = λn ψn , ∀ n (ψn , ψn ) = 1.
Òîãäà ∀ m, n λn ∈ R; åñëè λn 6= λm , òî (ψm , ψn ) = δnm .4 λ∗n (ψn , ψn ) = (A ψn , ψn ) = (ψn , A ψn ) = λn (ψn , ψn ) ⇒ λ∗n = λn ⇒ λn ∈ R. Ïóñòüλn 6= λm , òîãäà λ∗m (ψm , ψn ) = (A ψm , ψn ) = (ψm , A ψn ) = λn (ψm , ψn ). λm , λn ∈ R, ïîýòîìó(ψm , ψn ) = 0. Òåîðåìà 2 (î êîììóòèðóþùèõ ýðìèòîâûõ îïåðàòîðàõ): äëÿ òîãî, ÷òîáû ýðìèòîâûîïåðàòîðû A è B êîììóòèðîâàëè, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíè èìåëè îäèíàêîâûåíàáîðû ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.4 ⇒ Ïóñòü A ψn = λn ψn ; ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà λn íåâûðîæäåíî. B A ψn =λn B ψn ⇒ A B ψn = λn B ψn , òî åñòü B ψn ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííîé ôóíêöèåé A ñ ñîáñòâåííûìçíà÷åíèåì λn . Çíà÷èò, B ψn = µn ψn .2ψ1→ −Åñëè æå λn âûðîæäåíî, ìîæíî ñîñòàâèòü âåêòîð ψ = ...
èç îðòîíîðìèðîψrâàííûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ. Ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ýðìèòîâîé, à ïîòîìó ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ñ ïîìîùüþ ïîäîáíîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îñóùåñòâëÿåìîãî ìàòðèöåé U: U+ BU = b; ñîãëàñíî ñâîéñòâàì óíèòàðíîé ìàòðèöû Uψ ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìîé âåêòîðîâ, êîòîðûì ïî-ïðåæíåìó ñîîòâåòñòâóåò ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λn→−→−→−îïåðàòîðà A. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, B U ψ = BU ψ = Ub ψ , òî åñòü ôóíêöèè U ψi ÿâëÿþòñÿñîáñòâåííûìè âåêòîðûìè B.⇐ A ψn = λn ψn , B ψn = µn ψn ⇒ B A ψn = λn B ψn = λn µn ψn = A B ψn , òî åñòü[A, B]ψn =0, à ïîñêîëüêó ψn îáðàçóþò ïîëíóþ îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó ôóíêöèé, òî[A, B] = 0. Îïðåäåëåíèå: êîììóòàòîðîì ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A è B íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûé îïå-ðàòîð [A, B] = A B − B A.Ñâîéñòâà êîììóòàòîðîâ: ∀ A, B1.2.3.4.[A, B] = −[B, A];[A, B + C] = [A, B] + [A, C];[A, BC] = [A, B]C + B[A, C];[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 òîæäåñòâî ßêîáè.Îïðåäåëåíèå: δ -ôóíêöèåé Äèðàêà íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé íà èíòåãðèðóåìûå íà R ôóíêöèè òàê, ÷òîZbf (x)δ(x − x0 )dx =f (x0 ), x0 ∈ [a, b],([a, b] ⊂ R).0, x0 6∈ [a, b].aÇàìå÷àíèå: ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî L2 ìîæåò áûòü äîïîëíåíî âîçìîæíîñòüþ íîð-ìèðîâêè íà δ -ôóíêöèþ, òî åñòü âåêòîðàìè f : (f, f ) = δ(0).
 äàëüíåéøåì, åñëè ýòî íåîãîâîðåíî îñîáî, âñå óïîìèíàåìûå ôóíêöèè áóäóò ÿâëÿòüñÿ ýëåìåíòàìè òàêîãî, "ðàñøèðåííîãî" ïðîñòðàíñòâà L2 .Îïðåäåëåíèå: ôóíêöèåé îïåðàòîðà A f (A) ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð, ïîëó÷àþùèéñÿ ïîä-ñòàíîâêîé A â êà÷åñòâå àðãóìåíòà ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè f â ðÿä Òåéëîðà. Íàïðèìåð,+∞P AnA.e =n=0 n!32.2.1.Âîëíîâàÿ ìåõàíèêà.Ïîñòóëàòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè.Ïðèíöèï íåîïðåäåë¼ííîñòè: â êâàíòîâîé ìåõàíèêå íåâîçìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòüïîëîæåíèå ÷àñòèöû ñ çàäàííûì èìïóëüñîì â çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè, òî åñòü íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü å¼ òðàåêòîðèþ.1.
Ïîñòóëàò î âîëíîâîé ôóíêöèè: â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèå ÷àcòèöûïîëíîñòüþ îïèñûâàåòñÿ çàäàíèåì å¼ âîëíîâîé ôóíêöèè ψ(r, t); ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî âî âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèÿ ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â îáú¼ìå dV âáëèçè òî÷êè r0 âìîìåíò âðåìåíè t0 ðàâíà |ψ(r0 , t0 )|2 dV , à âåðîÿòíîñòüòîãî, ÷òî ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â îáRëàñòè D â ìîìåíò âðåìåíè t0 , ñîñòàâëÿåò |ψ(r, t0 )|2 dV.
Òàêèì îáðàçîì, êâàäðàò ìîäóëÿDâîëíîâîé ôóíêöèè ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè â îïðåäåë¼ííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ýòî íàêëàäûâàåò íàψ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñëîâèå íîðìèðîâêè (ψ, ψ) = 1 (çàìåòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò èâîëíîâûå ôóíêöèè, íîðìèðóåìûå èíà÷å, ñì. 2.2). Ñîîòâåòñòâåííî,ñðåäíåå çíà÷åíèå êîRRîðäèíàòû ÷àñòèöû ìîæåò áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëå x = |ψ(x, t0 )|2 xdx = ψ ∗ xψdx. ÄëÿRRíàõîæäåíèÿñðåäíåãîRR çíà÷åíèÿ ôóíêöèè êîîðäèíàòû f (x) ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ôîðìóëóf = |ψ|2 f (x)dx = ψ ∗ f ψdx = (ψ, f ψ)x .Çàìå÷àíèå: ñîñòîÿíèå ñèñòåìû N ÷àñòèö îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåéψ(r1 , . .
. , rN , t).2. Ïîñòóëàò ñóïåðïîçèöèè: åñëè ÷àñòèöà ìîæåò íàõîäèòü â ñîñòîÿíèÿõ, îïèñûâàåìûõ âîëíîâûìè ôóíêöèÿìè ψ1 è ψ2 , òî îíà ìîæåò íàõîäèòüñÿ è â ñîñòîÿíèè, îïèñûâàåìîìâîëíîâîé ôóíêöèåé C1 ψ1 +C2 ψ2 , ãäå C1 , C2 ïðîèçâîëüíûå îòëè÷íûå îò íóëÿ ïîñòîÿííûå.Ìåæäó òåì, ìíîãèå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íå òîëüêî êîîðäèíàò,íî è èìïóëüñîâ; ïðè ýòîì îòûñêàòü ñðåäíåå çíà÷åíèå èìïóëüñà, èñïîëüçóÿ êâàäðàò âîëíîâîé ôóíêöèè â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, íåâîçìîæíî.
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû ââåä¼ì âîëíîâóþ ôóíêöèþ èìïóëüñà Φ(p, t) (|Φ(p0 , t0 )|2 dp âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òîâ ìîìåíòR ∗ âðåìåíè t0 èìïóëüñ ÷àñòèöû ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò p0 äî p0 + dp). Î÷åâèäíî,p = Φ pΦdp = (Φ, pΦ)p .Ñîãëàñíî ãèïîòåçå äå-Áðîéëÿ âñÿêàÿ ÷àñòèöà îáëàäàåò ñâîéñòâàìè âîëíû, äëèíà êî2π~òîðîé ñîñòàâëÿåò λ =; ñîîòâåòñòâåííî E = ~ω, p = ~k .
Ìîæíî çàäàòü âîëíîâóþpiôóíêöèþ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû òàêæå êàê óðàâíåíèå âîëíû: ψ(x, t) = Aei(kx−ωt) = e ~ (px−Et)(ïîñòîÿííàÿ A îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó ñîãëàñíî óñëîâèþ íîðìèðîâêè êâàäðàòà ìîäóëÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè). Ïîäîáíûé âûáîð ψ èìååò ïîä ñîáîé ôèçè÷åñêîåîñíîâàíèå, ñâÿçàííîå ñ èíòåðïðåòàöèåé âîëíîâûõ ñâîéñòâ ÷àñòèö êàê îñîáûõ âîëí ìàòåðèè(âîëí Äå-Áðîéëÿ ), èíòåíñèâíîñòè (êâàäðàòû àìïëèòóä) êîòîðûõ îïðåäåëÿþò âåðîÿòíîñòüíàõîæäåíèÿ ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.Ôóíêöèÿ ψ(x, t) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà Ôóðüå:ZZii11px~ψ(x, t) = √· Φ(p, t) · e dp, Φ(p, t) = √· ψ(x, t) · e− ~ px dx2π~2π~RR(ïðè ïîäñòàíîâêå â ýòè èíòåãðàëû âîëíîâîé ôóíêöèè ñâîáîäíîé ÷àñòèöû åñòåñòâåííûìîáðàçîì ïîëó÷àåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ èíòåãðàë, èíòåðïðåòèðóåìûé êàê δ -ôóíêöèÿ; ïîäðîáíååñì.
â 2.2).  äàííîì ñëó÷àå Φ(p, t) ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé èìïóëüñà, õîòÿ íåò íè÷¼òêîãî îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ôàêòà, íè îáúÿñíåíèÿ èìåííî òàêîãî âûáîðà âîëíîâîé ôóíêöèè4ñâîáîäíîé ÷àñòèöû.  ïðèíöèïå, âñå ðàññóæäåíèÿ, ïðåäøåñòâóþùèå òðåòüåìó ïîñòóëàòó,ÿâëÿþòñÿ ñêîðåå èëëþñòðàöèåé âûáîðà p̂, íåæåëè ñòðîãèì âûâîäîì.ip∂ψîêàçûâàåòñÿ · Φ(p, t), íî,Èòàê, Ôóðüå-îáðàçîì ψ(x, t) ÿâëÿåòñÿ Φ(p, t), à îáðàçîì∂x~ïî òåîðåìå Ïàðñåâàëÿ, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôóíêöèé ðàâíî ñêàëÿðíîìó ïðîèçâå~ ∂äåíèþ èõ Ôóðüå-îáðàçîâ, ïîýòîìó p = (Φ, pΦ)p = (ψ, ·ψ)x .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
