С.В. Петров - Лекции (1124220), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Îïåðàòîð ˆl2 ýðìèòîâ, ïîýòîìó p̂2r òàêæå äîëæåí áûòüýðìèòîâûì; ïî ýòîé ïðè÷èíå âûáèðàåì p̂r â ñèììåòðè÷íîé ôîðìå1r̂ r̂p̂r =p̂ + p̂ .2r r dfx df ∂ r y df ∂ r z df ∂ rr̂++= −i~ ⇒∀ f = f (r)p̂ f = −i~rr dr ∂ x r dr ∂ y r dr ∂ zdrr̂∂⇒ p̂ = −i~ ,r∂rïîýòîìó p2 =ïîñêîëüêó ìû àïðèîðíî ïîëàãàåì, ÷òî p̂r äåéñòâóåò òîëüêî íà ôóíêöèè r. Àíàëîãè÷íî ∂ fx∂ fy∂ fzi~∂f∂r∂fr̂= −i~++= − 2 xr+ fr − fx+ yr+ f r−p̂r∂x r∂y r∂z rr∂x∂x∂y∂r∂f∂rdf2i~r̂∂2−f y+ zr+ fr − fz= −i~ −f ⇒ p̂ = −i~+.∂y∂z∂zdrrr∂r rÒàêèì îáðàçîì, 2∂1∂1 ∂∂ 1122p̂r = −i~+, p̂r = −~+++=∂r r∂ r2 r ∂ r ∂ r r r2 2ˆl22 ∂p̂2r∂2+++ V (r).⇒ĥ== −~∂ r2 r ∂ r2µ 2µr2∂f∂fdfi~ˆlz = xp̂y − y p̂x ; ∀ f = f (r) ˆlz f = −i~ x−y= 0, àíàëîãè÷íî= − (xy − yx) ·∂y∂xrdrˆlx f = ˆly f = 0, òî åñòü îïåðàòîð ˆl2 = ˆl2 + ˆl2 + ˆl2 äåéñòâóåò òîëüêî íà óãëîâûå ïåðåìåííûåxyzϕ, θ.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðàĥ ψ = Eψ ⇔ (r2 p̂2r + 2µr2 (V − E) + ˆl2 )ψ = 0;ïåðåìåííûå ìîãóò áûòü ðàçäåëåíû: ψ(r, Ω) = f (r) · Y (Ω), ãäå Ω = (ϕ, θ). Òîãäà−ˆl2 Y1 2 2r p̂r + 2µr2 (V − E) f == λ.fYÑíà÷àëà ðåøèì óðàâíåíèå íà óãëîâûå ïåðåìåííûå ˆl2 Y = λY ýòî çàäà÷à íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ˆl2 , ðåøåíèåì êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ λ = l(l + 1)~2 , ãäå l = 0, 1, . . . îðáèòàëüíîå êâàíòîâîå ÷èñëî (ñì. 4.2). Òàêèì λ ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèèYlm (ϕ, θ) = Nlm eimϕ · Θlm (θ), ãäå Θlm ≡ Plm (cos θ) ïðèñîåäèí¼ííûé ïîëèíîì Ëåæàíäðà, à m òàê íàçûâàåìîå ìàãíèòíîå êâàíòîâîå ÷èñëî.

[ˆlz , ˆl2 ] = [ˆlz , ˆlx2 ] + [ˆlz , ˆly2 ] + [ˆlz , ˆlz2 ] =2[ˆlz , ˆlx ]ˆlx + ˆlx [ˆlz , ˆlx ] + [ˆlz , ˆly ]ˆly + ˆly [ˆlz , ˆly ] = −i~(ˆly ˆlx + ˆlx ˆly − ˆlx ˆly − ˆly ˆlx ) = 0 îïåðàòîðû ˆlz è l̂êîììóòèðóþò, à ïîòîìó (òåîðåìà î êîììóòóðèóþùèõ îïåðàòîðàõ ñì. 1) èìåþò îáùèéíàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé. Òàêèì îáðàçîì, ˆlz Ylm = m~Ylm ; m~ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿˆlz (ñì. 2.2).

Íà çíà÷åíèÿ m íàêëàäûâàåòñÿ îãðàíè÷åíèå m = 0, ±1, . . . ± l (ñì. 4.2).Òåïåðü ðåøèì óðàâíåíèå íà r: 2p̂rl(l + 1)~22 22−(r p̂r + 2µr (V − E))f = λf ⇔+V −E f =−f.2µ2µr213e2. Òîãäàr 2 2~dl(l + 1)~2 e22 d−++− − E f = 0.2µ dr2 r dr2µr2rÐàññìîòðèì ñëó÷àé êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà V (r) = −Ïåðåõîäÿ ê ôóíêöèè y(r) = rf (r), ïîëó÷èì 2~d22µl(l + 1)~2 e22e2 µ 1 l(l + 1)00−·−y = 0.+− −E y =0⇔y +E+ 22µ dr22µr2r~2~ rr2Ïåðåéä¼ì ê àòîìíîé ñèñòåìå åäèíèö, òî åñòü ïîëîæèì µ = 1, e = 1, ~ = 1, è ïîëó÷èìäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå2 l(l + 1)00y + 2E + −y=0rr2me mp≈ me = 1 âme + mp(íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ìàññà ïðîòîíà mp me , ïîýòîìó µ =àòîìíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò).l(l + 1)y = 0. Ïîäñòàr2= 0 ⇒ s = l + 1, −l; ïîäõîäèò òîëüêî çíà÷åíèåÄëÿ íà÷àëà íàéä¼ì àñèìïòîòè÷åñêèå ðåøåíèÿ; ïðè r → 0 + y 00 −âèì y = rs , òîãäà s(s − 1)rs−2 − l(l + 1)rs−21s = l + 1, ïîñêîëüêó èíà÷å y ∼ l → +∞, r → 0 + . Ïðè r → +∞ y 00 + 2Ey = 0.

Ïîäñòàâèâr√y = eαr , ïîëó÷èì (α2 + 2E)eαr = 0 ⇒ α = ± −2E(E ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæå√− −2Eríèÿ, ïîýòîìó −E > 0). Òàêèì îáðàçîì, y ∼ e, r → +∞. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òîçäåñü ìû íàëîæèëè íà ôóíêöèþ y äâà óñëîâèÿ y(0+) = 0, y → 0, r → +∞.  ïðèíöèïå,âòîðîå óñëîâèå íå âñåãäà èìååò ñìûñë, ïîñêîëüêó ïðåäïîëàãàåò, ÷òî òðàåêòîðèè ÷àñòèöîãðàíè÷åííû: ýòî ñîîòâåòñòâóåò âðàùåíèþ ýëåêòðîíà âîêðóã ÿäðà. Îäíàêî âîçìîæåí èäðóãîé ñëó÷àé ðàññåÿíèå ýëåêòðîíà íà ÿäðå, êîòîðûé çäåñü ðàññìîòðåí íå áóäåò.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîõðàíèòü àñèìïòîòèêó y , íåîáõîäèìî ëèáî äîìíîæèòü å¼ íà îãðàuPak rk · eαr = v(r)eαr .íè÷åííóþ ôóíêöèþ, ëèáî íà ïîëèíîì ñòåïåíè u. Ïóñòü y = rl+1 ·k=0y 0 = (v 0 + αv)eαr , y 00 = (v 00 + 2αv 0 + α2 v)eαr ; óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðèíèìàåò âèä√2 l(l + 1)2 l(l + 1)0002000−v + 2αv + α + 2E + −v = 0 ⇔ v − 2 −2Ev +v = 0.rr2rr2uuXXv=ak rk+l+1 ⇒ak ((k + l + 1)(k + l) − l(l + 1)) rk+l−1 + ak (2α(k + l − 1) + 2) rk+l =k=0k=0= 0 ⇒ ak+1 ((k + l + 1)(k + l + 2) − l(l + 1)) = 2ak (1 + α(k + l + 1)) .Ðÿä íå ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì (èíà÷å íàðóøàåòñÿ àñèìïòîòèêà y ïðè r → +∞), ïîýòîìó11∃ k : α(k + l + 1) + 1 = 0 ⇒ α = −, E = −, ãäå nr ðàäèàëüíîånr + l + 12(nr + l + 1)21êâàíòîâîå ÷èñëî.

Ïóñòü n = nr +l+1 ãëàâíîå êâàíòîâîå ÷èñëî (n ∈ N), òîãäà En = − 2 â2nàòîìíîé ñèñòåìå åäèèíö. Ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà â äðóãèõ ñèñòåìàõ åäèíèö,µe4 1íàéä¼ì En = − 2.~ 2n2Òàêèì îáðàçîì, òðè êâàíòîâûõ ÷èñëà (n, l, m) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà, äâèæóùåãîñÿ âîêðóã ÿäðà è ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà (òî åñòü áåç14ó÷¼òà ñîáñòâåííîãî ìåõàíè÷åñêîãî ìîìåíòà ñïèíà). Ñîñòîÿíèå çàäà¼òñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåén−l−1Xrψnlm = fnl · Ylm = rlak rk · e− n Ylm .k=0Ñîñòîÿíèÿ ñ l = 0 â ñïåêòðîñêîïèè îáîçíà÷àþòñÿ áóêâîé s, ñ l = 1 áóêâîé p, ñ l = 2 áóêâîé d, è òàê äàëåå.

Î÷åâèäíî, äëÿ n = 1 l = 0, òî åñòü òàêîå ñîñòîÿíèå íåâûðîæäåíî.Äëÿ n = 2 l = 0; 1, òî åñòü âîçìîæíû òðè çíà÷åíèÿ m = −1; 0; 1 âñåãî ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ. îáùåì ñëó÷àå êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè m ïðè âñåõl, äîïóñòèìûõ äëÿ äàííîãî n; ïðè ôèêñèðîâàííîì l âîçìîæíû 2l + 1 çíà÷åíèé m, òî åñòün−1P(2l + 1) = n2 .êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñ ãëàâíûì êâàíòîâûì ÷èñëîì n ðàâíàl=02.6.Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ψ ïðèíèìàåò êàê äåéñòâèòåëüíûå, òàê è êîìïëåêñíûå çíài÷åíèÿ, ïîýòîìó å¼ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ψ = Ae ~ S , ãäå A, S äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûåôóíêöèè.

Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:iii~2~2∂A∂SSSS, ïîñêîëüêó H = −i~−Ae ~ = V Ae ~ −∆ Ae ~∆ + V.∂t∂t2m2m iiSS~~∆ Ae= ∇ ∇ Ae= iiii1iS2= ∆A + 2 ∇A · ∇S + A∆S − 2 A(∇S) e ~ S ⇒=∇∇A + A · ∇S · e ~~~~~2∂S~i12i∂A2−A=VA−∆A + ∇A · ∇S + A · ∆S − 2 A(∇S) .⇒ i~∂t∂t2m~~~Ïðèðàâíèâàÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè è äåëÿ íà A, ïîëó÷èì−∂S1~2 ∆A=V +(∇S)2 −·.∂t2m2m AÊâàíòîâûå ÿâëåíèÿ íàáëþäàþòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà âåëè÷èíà äåéñòâèÿ ñðàâíèìà ñ ~, òîåñòü äëÿ ïåðåõîäà ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå íåîáõîäèìî ïåðåéòè ê ôîðìàëüíîìó ïðåäåëóïðè ~ → 0. Ïðè ýòîì∂S1−=V +· (∇S)2∂t2m óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (∇S = p).Ïðèðàâíÿåì ìíèìûå ÷àñòè:∂A11+ (∇A)(∇S) +A∆S = 0.∂tm2mÇàìåòèì, ÷òî2A∂ A2∂ ∗∂ρ∂A211∂A==(ψ ψ) =, à 2A= − (∇A)(∇S)A − A2 ∆S = − ∇(A2 ∇S),∂t∂t∂t∂t∂tmmmïîñêîëüêó ∇(A2 ∇S) = 2A(∇A)(∇S) + A2 ∆S.Òàêèì îáðàçîì,∂ρA2 ∇S=∇ −.∂tm15∇SA2 ∇S êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ∇S = p,= v ⇒= ρv = j ïîòîê âåðîÿòíîñòè.mm∂ρÎòñþäà+ ∇j = 0 â êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè òàêæå∂tâûïîëíÿåòñÿ, ÷òî îïðàâäûâàåò ââåäåíèå ïëîòíîñòè ýòîãî ïîòîêà â 2.3.Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè∂S1∂ S mv 2∂2+(∇S) = −V ⇒+= −V ⇒+ v∇ mv = −∇V,∂t2m∂t2∂tmv 2mïîñêîëüêó ∇= ∇(v, v) = mv · ∇v.22Çàìåòèì, ÷òî∂ vx ∂ vx .∂ vxdvy∂ vydvz∂ vzdvx=+·r=+ v · ∇vx ,=+ v∇vy ,=+ v∇vz ⇒dt∂t∂r∂tdt∂tdt∂tdv∂v∂v⇒=+ v(i∇vx + j∇vy + k∇vz ) =+ v · ∇v.dt∂t∂tdv= −∇V = F âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, êîòîðûé îêàçàëñÿ ïðÿìûìdtñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.Ïðîäåëàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿþò ïðèéòè ê âûâîäó: êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì êâàíòîâîé; ïðè ýòîì, èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé, äëÿðàññìîòðåíèÿ êâàíòîâûõ ÿâëåíèé ñëåäóåò çàìåíÿòü ÷àñòèöó íà íåïðåðûâíûé ïîòîê ÷àñòèöñ ïëîòíîñòüþ |ψ|2 .Òàêèì îáðàçîì, m2.7.Òåîðèÿ ïðåäñòàâëåíèé.Ïóñòü G ïðîèçâîëüíûé ýðìèòîâ îïåðàòîð.

Íàáîð ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé ϕn ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà G Pçàäà¼ò áàçèñ ôóíêöèîíàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàçëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ψ = Cn ϕn íàçûâàåòñÿ g -ïðåäñòàâëåíèåì ψ.  2.1-2.6nèñïîëüçîâàëèñü äâà ïðåäñòàâëåíèÿ êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå; ìåæäó òåì, ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ è ìíîãèå äðóãèå ïðåäñòàâëåíèÿ, îäíî èç êîòîðûõ áóäåò ââåäåíî íåñêîëüêî íèæå.Äëÿ íà÷àëà æå íåîáõîäèìî ïðîñëåäèòü âçàèìîñâÿçü ìåæäó ðàçëè÷íûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè.Ïîñòóëàò: åñëè âîëíîâûå ôóíêöèè ψ è ψ 0 îïèñûâàþò îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû,òî îíè ñâÿçàíû ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ψ 0 = S ψ (S ëèíåéíûé îïåðàòîð), à èõ êâàäðàòû îäèíàêîâû ïî àáñîëþòíîìó çíà÷åíèþ (ψ, ψ) = (ψ 0 , ψ 0 ) (çàìåòèì, ÷òî â ñêàëÿðíûõïðîèçâåäåíèÿõ èíòåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ðàçíûì ïðîñòðàíñòâàì).(ψ 0 , ψ 0 ) = (S ψ, S ψ) = (ψ, S+ S ψ) = (ψ, ψ) ⇒ S+ S = 1, òî åñòü îïåðàòîð S, ñâÿçûâàþùèéðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðåí.

Ïîëó÷èì òàêæå ñîîòíîøåíèå äëÿ îïåðàòîðîâ, çàïèñàííûõ â ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ: ïóñòü ψ2 = A ψ1 , ψ20 = A0 ψ10 ⇒ S ψ2 = A0 S ψ2 ⇒ψ2 = S+ A0 S ψ1 = A ψ1 ⇒ A0 = S A S+ îïåðàòîðû ñâÿçàíû ïðåîáðàçîâàíèåì óíèòàðíîãîïîäîáèÿ.  ÷àñòíîñòè, äëÿ C = A B, C0 = A0 B0 C0 = S A S+ S B S+ = S A B S+ = S C S+ , òî0åñòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ âî âñåõ ïðåäñòàâëåíèÿõ. Íàêîíåö, F =(ψ 0 , F0 ψ 0 ) = (S ψ, S F S+ (S ψ)) = (ψ, S+ S F ψ) = (ψ, F ψ) = F ñðåäíåå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîéâåëè÷èíû òàêæå íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâëåíèÿ.Ïðåäñòàâëåíèå Øðåäèíãåðà.

 ýòîì ïðåäñòàâëåíèè âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ñóùåñòâóåò òîëüêî ó âîëíîâûõ ôóíêöèé, òîãäà êàê âñå îïåðàòîðû ÿâíî îò âðåìåíè íå çàâèñÿò. ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà âûïîëíÿåòñÿ óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, òî åñòü, â ÷àñòíîñòè,êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèåì Øðåäèíãåðà.16Ïóñòü çàäàíà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ψ(x, t0 ), à H 6= H(t);òîãäà ψ(x, t) = U ψ(x, t0 ), ãäå U îïåðàòîð ýâîëþöèè. Ââåä¼ì−U(t, t0 ) = ei~kH(t−t0 ) = X 1 · − 1 H(t − t )0kk!~è ïîêàæåì, ÷òî òàêîé îïåðàòîð äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ýâîëþöèè. Î÷åâèäíî,U(t0 , t0 ) = 1, U+ U = 1; ïðîäèôôåðåíöèðóåì U ïî âðåìåíè:∂Ui∂U∂= − H U ⇒ i~(ψ(x, t0 )) = H U(ψ(x, t0 )) ⇒ i~ ·(U ψ(x, t0 )) = H(U ψ(x, t0 ))∂t~∂t∂t óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ôóíêöèè U ψ(x, t0 ), êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, è ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîéôóíêèöåé ñèñòåìû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t (ψ(x, t)).Ïðåäñòàâëåíèå Ãåéçåíáåðãà: ïî àíàëîãèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì Øðåäèíãåðà ïîñòðîèìïðåäñòàâëåíèå, â êîòîðîì ÿâíî îò âðåìåíè çàâèñÿò íå âîëíîâûå ôóíêöèè, à îïåðàòîðû).Âûáåðåì S = U+ = e ~ H(t−t0 ) , òîãäà ψG (x, t0 ) = S ψS (x, t); äëÿ îïåðàòîðîâiFG = S FS S+ ⇒∂ FG= Ṡ FS S+ + S FS S˙+ = Ṡ S+ S FS S+ + S FS S+ S Ṡ =∂tii= (H FG − FG H) = [H, FG ],~~iïîñêîëüêó FS 6= FS (t), Ṡ = − H S .

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíî óðàâíåíèå íà FG , êîòîðîå~âìåñòå ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì FG (t0 ) = FS (â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îïåðàòîðû âïðåäñòàâëåíèÿõ Ãåéçåíáåðãà è Øðåäèíãåðà ñîâïàäàþò) çàäà¼ò óðàâíåíèå äâèæåíèå Ãåéçåíáåðãà ∂ FG = i [H, F ]G∂t~FG (t0 ) = FS .Çàìå÷àíèå: â äàííîì ñëó÷àå ïîä îïåðàòîðîì H ïîíèìàåòñÿ ãàìèëüòîíèàí, çàïèñàííûéâ ïðåäñòàâëåíèè Øðåäèíãåðà, òî åñòü H = HS . [H, HS ] = 0, ïîýòîìó (êîììóòàöèîííûåd HGñîîòíîøåíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ) [H, HG ] = 0 ⇒= 0 ⇒ HG 6= HG (t) ⇒ HG = HS = H.dtÏðèìåð: ðàññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâp̂2ëåíèÿ Ãåéçåíáåðãà; H = G +V (x̂G ). Óðàâíåíèÿ Ãåéçåíáåðãà äëÿ îïåðàòîðîâ p̂G è x̂G èìåþò2mâèä:∂p̂iG ∂ p̂G = − ∂ V (x̂G )= [H, p̂G ]∂t~∂t∂x⇔ ∂ x̂G = i [H, x̂G ] ∂ x̂G = 1 p̂G ,∂t~∂tm∂Vdïîñêîëüêó [H, p̂G ] = [V (x̂G ), p̂G ] = [V (x̂S ), p̂S ] = [V (x), −i~ ] = i~(x̂G );dx∂x1 21i~[H, x̂G ] =[p̂G , x̂G ] = −([x̂G , p̂G ]p̂G + p̂G [x̂G , p̂G ]) = − p̂G .2m2mm(ïðè âû÷èñëåíèè êîììóòàòîðîâ èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îò âûáîðà ïðåäñòàâëåíèÿ).Ïîëó÷èì ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ äâóõ êîíêðåòíûõ ñëó÷àåâ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû17è ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà.

Äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöûp̂G = const = p̂S ; x̂G =Äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà V (x) =∂V= 0, ïîýòîìó∂xp̂St + x̂S .mmω 2 x2,22∂p̂∂x̂GG22 x̂ = x̂ cos ωt + p̂S sin ωt= −mω x̂G+ ω x̂G = 0GS2∂t∂tmω⇒⇒2∂x̂1∂p̂∂x̂GGG= p̂G=mp̂G = p̂S cos ωt − mωx̂S sin ωt.∂tm∂t∂ t2183.3.1.Ïðèáëèæ¼ííûå ìåòîäû â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.Êâàçèêëàññè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå.iÏðîäîëæèì ðàáîòó ñ ïðåäñòàâëåíèåì ψ , ââåä¼ííûì â 2.5: ψ = Ae ~ S ; ïóñòü A = eT ,iiòîãäà ψ = e ~ S+T = e ~ W .

Ïîäñòàâèì ψ â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðàii 0 iWi 001W00002ψ = W · e~ , ψ = e~W − 2 (W ) , ïîýòîìó~~~22~i~11i~ 00−· W 00 +· 2 (W 0 )2 + (V − E) = 0 ⇒W −(W 0 )2 + (E − V ) = 0 ⇒2m ~2m ~2m2m~⇒ i~W 00 − (W 0 )2 + 2m(E − V ) = 0. Ðàçëîæèì W â ñòåïåííîé ðÿä ïî :i 2~~W = W0 + W1 + W2+ ...ii íóëåâîì ïðèáëèæåíèè W = W0 , ïðåíåáðåãàåì â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà ÷ëåíîì,ñîäåðæàùèì ~; òîãäàZ p10 2(W ) = E − V ⇒ W0 = ±2m(E − V (x))dx;2m 0pâ êëàññè÷åñêîéìåõàíèêå2m(E − V ) = p ÿâëÿåòñÿ èìïóëüñîì ÷àñòèöû, ïîýòîìóRW0 = ± pdx + C0 . Óñëîâèåì äîïóñòèìîñòè ñäåëàííîãî ïðèáëèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàëîñòü÷ëåíà, ñîäåðæàùåãî ~, òî åñòü d dλ W000 1~1⇒1⇒ 1,~ dx W 0 dx (W00 )2 2π02π~ äåáðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû ÷àñòèöû.

Характеристики

Список файлов лекций